দ্বিঘাত করণী-এর সমস্ত ‘নিজে করি’ অঙ্কের সমাধান||All Nije Kori Maths Solutions of Chapter 9 Surds WBBSE Class 10 Ganit Prakash -প্রয়োগ-16, প্রয়োগ-18 , প্রয়োগ-25 ,প্রয়োগ-28 , প্রয়োগ-30 ,প্রয়োগ-32,প্রয়োগ-34, এবং প্রয়োগ-36 এই নিজে করি অঙ্কগুলো মাধ্যমিকের ছাত্রছাত্রীদের জন্য সমাধান করে দেওয়া হল ।মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য এই ‘নিজে করি’ অঙ্কগুলো কষে দেখি অঙ্কগুলোর মতনই গুরুত্বপূর্ণ , তাই এই অঙ্কগুলো ছাত্রছাত্রীদের মন দিয়ে প্র্যাকটিস করতে হবে ।
দ্বিঘাত করণী-এর সমস্ত ‘নিজে করি’ অঙ্কের সমাধান||All Nije Kori Maths Solutions of Chapter 9 Surds WBBSE Class 10 Ganit Prakash
প্রয়োগ-16: $\left(3 + \sqrt{7} – \sqrt{5}\right) \times \left(2\sqrt{2} – 1\right)$ -এর গুণফল হিসাব করে লিখি ।
উত্তরঃ
$\left(3 + \sqrt{7} – \sqrt{5}\right) \times \left(2\sqrt{2} – 1\right)$
= $3\left(2\sqrt{2} – 1\right) + \sqrt{7}\left(2\sqrt{2} – 1\right) – \sqrt{5}\left(2\sqrt{2} – 1\right)$
= $6\sqrt{2} – 3 + 2\sqrt{14} – \sqrt{7} – 2\sqrt{10} + \sqrt{5} $
= $6\sqrt{2} + 2\sqrt{14} – 2\sqrt{10} – \sqrt{7} + \sqrt{5} – 3$
প্রয়োগ 18: $\sqrt{7}$ -এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক লেখো ।
সমাধানঃ $\sqrt{7}$ এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল $\sqrt{7}$ এবং k$\sqrt{7}$ (যেখানে k একটি মূলদ সংখ্যা ) ।
প্রয়োগ-20: $(7 – \sqrt{3})$ -এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি ।
সমাধানঃ $(7 – \sqrt{3})$ এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল $(7 +\sqrt{3})$ এবং $(-7 -\sqrt{3})$
প্রয়োগ-22: $(\sqrt{15} + \sqrt{3})$ -এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি ।
সমাধানঃ $(\sqrt{15} + \sqrt{3})$ -এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল $(\sqrt{15} – \sqrt{3})$ এবং $(-\sqrt{15} + \sqrt{3})$
প্রয়োগ-25: নিচের মিশ্র এবং শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীগুলির অনুবন্ধী করণী গুলি লেখ ।
$(i)2 + \sqrt{3}$
$(ii)5 – \sqrt{2}$
$(iii)\sqrt{5} – 7$
$(iv)\sqrt{11} + 6$
$(v)\sqrt{5}$
সমাধানঃ অনুবন্ধী করণী –কোনো মিশ্র দ্বিঘাত করণীর করণী নিরসক উৎপাদকের সঙ্গে ওই করণীর যোগফল ও গুণফল উভয়েই যদি মূলদ সংখ্যা হয় তবে তাকে ওই মিশ্র দ্বিঘাত করণীর অনুবন্ধী করণী বা পূরক করণী (Conjugate Surds) বলা হয় ।
$(i)2 + \sqrt{3}$
অনুবন্ধী করণী = $2 – \sqrt{3}$
কারণঃ $2 + \sqrt{3}$ + $2 – \sqrt{3}$ = 4 (মূলদ সংখ্যা )
($2 + \sqrt{3}$)($2 – \sqrt{3}$)
=$\left(2\right)^2 – \left(\sqrt{3}\right)^2$
= 4 – 3
= 1 (মূলদ সংখ্যা )
$(ii)5 – \sqrt{2}$
অনুবন্ধী করণী= $5 + \sqrt{2}$
কারণঃ $5 – \sqrt{2}$ + $5 + \sqrt{2}$ = 10 (মূলদ সংখ্যা )
আবার , ($5 – \sqrt{2}$)($5 + \sqrt{2}$)
= $\left(5\right)^2 – \left(\sqrt{2}\right)^2$
= 25 – 2
= 23 (মূলদ সংখ্যা )
$(iii)\sqrt{5} – 7$
অনুবন্ধী করণী = $-\sqrt{5} – 7$
কারণঃ ($\sqrt{5} – 7$ )+ ($-\sqrt{5} – 7$)
=$\sqrt{5} – 7$ $-\sqrt{5} – 7$
= -14 (মূলদ সংখ্যা )
আবার, ( $\sqrt{5} – 7$)($-\sqrt{5} – 7$)
= – ( $\sqrt{5} – 7$)($\sqrt{5} + 7$)
= -{$\left(\sqrt{5}\right)^2 – \left(7\right)^2$}
= -(5 – 49)
= 44 (মূলদ সংখ্যা )
$(iv)\sqrt{11} + 6$
অনুবন্ধী করণী = $-\sqrt{11} + 6$
কারণঃ ($\sqrt{11} + 6$) + ($-\sqrt{11} + 6$)
=$\sqrt{11} + 6$-$\sqrt{11} + 6$
= 12 (মূলদ সংখ্যা )
($\sqrt{11} + 6$)($-\sqrt{11} + 6$)
= $\left(6\right)^2 – \left(\sqrt{11}\right)^2$
= 36 – 11
= 25 (মূলদ সংখ্যা)
$(v)\sqrt{5}$
অনুবন্ধী করণী = $-\sqrt{5}$
কারণঃ ($\sqrt{5}$) + ($-\sqrt{5}$)
= $\sqrt{5}$ – $\sqrt{5}$
= 0 (মূলদ সংখ্যা )
আবার, ($\sqrt{5}$) ($-\sqrt{5}$) = – 5 (মূলদ সংখ্যা )
প্রয়োগ-28: হরের করণী নিরসন করিঃ
$(i)\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}$
$(ii)\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$
সমাধানঃ
(i) $\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{3}} $
=$ \frac{4\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
=$ \frac{4\sqrt{15}}{5 \times 3}$
= $\frac{4\sqrt{15}}{15}$ (উত্তর)
(ii) $\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$
= $\frac{3\sqrt{7} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}$
= $\frac{3\sqrt{42}}{6}$
= $\frac{\sqrt{42}}{2}$ (উত্তর)
প্রয়োগ-30: হরের করনী নিরসন করিঃ
$(i)\left(4 + 2\sqrt{3}\right) \div \left(2 – \sqrt{3}\right)$
$(ii)(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \div (\sqrt{5} – \sqrt{3})$
সমাধানঃ
$(i) \left(4 + 2\sqrt{3}\right) \div \left(2 – \sqrt{3}\right)$
= $\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2 – \sqrt{3}}$
= $\frac{\left(4 + 2\sqrt{3}\right)\left(2 + \sqrt{3}\right)}{\left(2 – \sqrt{3}\right)\left(2 + \sqrt{3}\right)}$
=$ \frac{8 + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 6}{2^2 – \left(\sqrt{3}\right)^2}$
= $\frac{14 + 8\sqrt{3}}{4 – 3}$
= $14 + 8\sqrt{3}$ (উত্তর)
(ii) $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \div (\sqrt{5} – \sqrt{3})$
= $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} – \sqrt{3}} $
= $\frac{\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5} – \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)} $
= $\frac{\left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2 – \left(\sqrt{3}\right)^2}$
= $\frac{\left(\sqrt{5}\right)^2 + 2.\sqrt{5}\ldotp \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2}{5 – 3}$
= $\frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2}$
= $\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$
= $\frac{2(4 + \sqrt{15})}{2}$
= $4 + \sqrt{15}$ (উত্তর)
প্রয়োগ-32: সরল করিঃ $\frac{3\sqrt{20} + 2\sqrt{28} + \sqrt{12}}{5\sqrt{45} + 2\sqrt{175} + \sqrt{75}}$
$\frac{3\sqrt{20} + 2\sqrt{28} + \sqrt{12}}{5\sqrt{45} + 2\sqrt{175} + \sqrt{75}}$
= $\frac{3\sqrt{4 \times 5} + 2\sqrt{4 \times 7} + \sqrt{4 \times 3}}{5\sqrt{5 \times 9} + 2\sqrt{7 \times 25} + \sqrt{3 \times 25}}$
= $\frac{6\sqrt{5} + 4\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{15\sqrt{5} + 10\sqrt{7} + 5\sqrt{3}}$
= $\frac{2(3\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + \sqrt{3})}{5(3\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + \sqrt{3})}$
= $\frac{2}{5}$ (উত্তর)
প্রয়োগ-34: সরল করিঃ $\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} – \frac{1}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} $
সমাধানঃ
$\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} – \frac{1}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} $
= $\frac{5\left(\sqrt{2} – \sqrt{3}\right) – \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2} – \sqrt{3}\right)}$
= $\frac{5\sqrt{2} – 5\sqrt{3} – \sqrt{2} – \sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^2 – \left(\sqrt{3}\right)^2}$
= $\frac{4\sqrt{2} – 6\sqrt{3}}{2 – 3}$
= $\frac{4\sqrt{2} – 6\sqrt{3}}{ – 1}$
= $6\sqrt{3} – 4\sqrt{2}$
প্রয়োগ-36: $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে , $\left(x – \frac{1}{x}\right),\left(x^3 +\frac{1}{x^3}\right)$ এবং $\left(x^2 – \frac{1}{x^2}\right) $ -এর সরলতম মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
$\therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} – \sqrt{2}\right)}$
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}\right)^2 – \left(\sqrt{2}\right)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{3 – 2}$
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \sqrt{3} – \sqrt{2}$
$\therefore (i)x – \frac{1}{x}$
= $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) – (\sqrt{3} – \sqrt{2})$
= $\sqrt{3} + \sqrt{2} – \sqrt{3} + \sqrt{2}$
= $2\sqrt{2}$ (উত্তর)
$(ii)x = \sqrt{3} + \sqrt{2} , \frac{1}{{\mathrm{x}}} = \sqrt{3} – \sqrt{2}$
$\therefore {\mathrm{x}} + \frac{1}{{\mathrm{x}}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} – \sqrt{2}$
$\Rightarrow {\mathrm{x}} + \frac{1}{{\mathrm{x}}} = 2\sqrt{3}$
$\therefore x^3 + \frac{1}{x^3}$
= $(x + \frac{1}{x})^3 – 3.x\ldotp \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x})$
= $\left(2\sqrt{3}\right)^3 – 3(2\sqrt{3})\left[\because x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}\right]$
= $2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} – 6\sqrt{3}$
= $24\sqrt{3} – 6\sqrt{3}$
= $18\sqrt{3}$ (উত্তর)
$(iii)\left(x^2 – \frac{1}{x^2}\right)$
= $\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x – \frac{1}{x}\right)$
= $2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}$
=$4\sqrt{6}$ (উত্তর)
Important Links
গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
আমাদের এই POST টি, আপনাদের পছন্দ হলে Share করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ,Whatsapp চ্যানেল জয়েন করুন এবং YouTube Channel Subscribe করুন ।