ভেদ অধ্যায়ের সমস্ত নিজে করি অঙ্ক||All Nije Kori of Ved Class 10 Ganit Prakash Chapter 13 – এখানে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) ছাত্রছাত্রীদের জন্য গণিত প্রকাশ বইয়ের ভেদ অধ্যায়ের (কষে দেখি-13 ক্লাস X) নিজে করি অঙ্কগুলোর সমাধান করে দেওয়া হল । কষে দেখি 13 এর পাশাপাশি এই নিজে করি অঙ্ক গুলোও মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ । এখানে প্রয়োগ-4 , প্রয়োগ-8 , প্রয়োগ-10 , প্রয়োগ-16 , প্রয়োগ-19 , প্রয়োগ-24 এবং প্রয়োগ-27 অঙ্কগুলির সমাধান তোমরা পাবে । তাই আর দেরী না করে তাড়াতাড়ি অঙ্ক গুলো প্র্যাকটিস করে নাও ।
ভেদ অধ্যায়ের সমস্ত নিজে করি অঙ্ক || All Nije Kori of Ved Class 10 Ganit Prakash Chapter 13|| প্রয়োগ-4 , প্রয়োগ-8 , প্রয়োগ-10 , প্রয়োগ-16 , প্রয়োগ-19 , প্রয়োগ-24 এবং প্রয়োগ-27
প্রয়োগ-4: y , x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরল ভেদে আছে এবং y =9 যখন x =4;ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি এবং y কে x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি । y=8 হলে x এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
y , x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরল ভেদে আছে
∴ ${\mathrm{y}} \propto \sqrt{{\mathrm{x}}}$
$\Rightarrow {\mathrm{y}} = {\mathrm{k}}\sqrt{{\mathrm{x}}}$ [যেখানে k হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
আবার, y =9 যখন x = 4
সুতরাং , $9 = k\sqrt{4}$
$\Rightarrow 9 = 2k$
$\Rightarrow {\mathrm{k}} = \frac{9}{2}$
∴ ভেদ ধ্রুবকের মান $\frac{9}{2}$ [উত্তর]
∴ $y = \frac{9}{2}\sqrt{x}$ [y কে x এর মাধ্যমে প্রকাশ ] [উত্তর]
এখন , y = 8 হলে ,
$8 = \frac{9}{2}\sqrt{x}$
$\Rightarrow 8 \times 2 = 9\sqrt{{\mathrm{x}}}$
$\Rightarrow 16 = 9\sqrt{{\mathrm{x}}}$
$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{x}}} = \frac{16}{9}$
$\Rightarrow {\mathrm{x}} = \left(\frac{16}{9}\right)^2$
$\Rightarrow {\mathrm{x}} = \frac{256}{81}$
∴ x = $\frac{256}{81}$ [উত্তর]
প্রয়োগ-8: x ও y চলদুটির মান গুলি হল যথাক্রমে –
| x | 3 | 2 | 6 |
| y | 18 | 27 | 9 |
x ও y এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
xy=3×18=2×27=6×9=54
∴ xy=ধ্রুবক
∴ ${\mathrm{x}} \propto \frac{1}{{\mathrm{y}}}$
এবং ভেদ ধ্রুবকের মান 54 ।
সুতরাং , x ও y এর মধ্যে সম্পর্কটি হল ব্যাস্ত সম্পর্ক ।
প্রয়োগ-10: সমীরবাবু বাড়ি থেকে 60 কিমি /ঘণ্টা বেগে গাড়ি চালিয়ে 2 ঘন্টায় স্টেশনে পৌঁছালেন । তিনি যদি 80 কিমি/ ঘন্টা বেগে গাড়ি চালাতেন , তবে বাড়ি থেকে কত সময়ে স্টেশনে পৌঁছাতেন , ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , গতিবেগ = V এবং সময় =T
এখন , দূরত্ব নির্দিষ্ট থাকলে গতিবেগ বাড়লে সময় কম লাগবে এবং গতিবেগ কমলে সময় বেশী লাগবে । সতরাং গতিবেগের সাথে সময়ের ব্যাস্ত সম্পর্ক ।
সুতরাং , ${\mathrm{V}} \propto \frac{1}{{\mathrm{T}}}$
$\therefore {\mathrm{V}} = \frac{{\mathrm{K}}}{{\mathrm{T}}}$ [যেখানে K একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
এখন V = 60 হলে , T =2
∴ $\therefore 60 = \frac{{\mathrm{K}}}{2}$
$\Rightarrow 60 \times 2 = {\mathrm{K}}$
$\Rightarrow {\mathrm{K}} = 120$
$\therefore {\mathrm{V}} = \frac{120}{{\mathrm{T}}}$
এখন V = 80 হলে ,
$\therefore 80 = \frac{120}{{\mathrm{T}}}$
$\Rightarrow {\mathrm{T}} = \frac{120}{80}$
$\Rightarrow {\mathrm{T}} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow {\mathrm{T}} = 1\frac{1}{2}$
উত্তরঃ তিনি যদি 80 কিমি/ ঘন্টা বেগে গাড়ি চালাতেন তাহলে $1\frac{1}{2}$ঘন্টায় বাড়ি থেকে স্টেশনে পৌছাতেন ।
প্রয়োগ-16: ${\mathrm{A}}^2 + {\mathrm{B}}^2 \propto {\mathrm{A}}^2 – {\mathrm{B}}^2$ হলে প্রমাণ করি যে , ${\mathrm{A}} \propto {\mathrm{B}}$
সমাধানঃ
${\mathrm{A}}^2 + {\mathrm{B}}^2 \propto {\mathrm{A}}^2 – {\mathrm{B}}^2$
$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2 + {\mathrm{B}}^2 = K\left({\mathrm{A}}^2 – {\mathrm{B}}^2\right)$ [K হল একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2 + {\mathrm{B}}^2 = KA^2 – KB^2$
$\Rightarrow {\mathrm{B}}^2 + {\mathrm{KB}}^2 = {\mathrm{KA}}^2 – {\mathrm{A}}^2$
$\Rightarrow {\mathrm{B}}^2(1 + {\mathrm{K}}) = {\mathrm{A}}^2({\mathrm{K}} – 1)$
$\Rightarrow {\mathrm{B}}^2 = \frac{K – 1}{K + 1}A^2$
$\Rightarrow {\mathrm{A}}^2 = \frac{{\mathrm{K}} + 1}{{\mathrm{K}} – 1}{\mathrm{B}}^2$
$\Rightarrow {\mathrm{A}} = \sqrt{\frac{{\mathrm{K}} + 1}{{\mathrm{K}} – 1}}{\mathrm{B}}$
$\Rightarrow {\mathrm{A}} = {\mathrm{K}}_1{\mathrm{B}}$
যেখানে $\left[{\mathrm{K}}_1 = \sqrt{\frac{{\mathrm{K}} + 1} {{\mathrm{K}} – 1}}\right]$
$\Rightarrow \frac{{\mathrm{A}}}{{\mathrm{B}}} = {\mathrm{K}}_1$ = ধ্রুবক
$\Rightarrow {\mathrm{A}} \propto {\mathrm{B}}$ [প্রমাণিত]
প্রয়োগ-19: যদি 5 জন লোক 9 দিনে 10 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন , তবে 30 বিঘা জমি চাষ করতে 25 জন লোকের কত দিন সময় লাগবে ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ ধরি, লোক সংখ্যা = A , দিন সংখ্যা = B এবং জমির পরিমাণ = C
দিন সংখ্যার সাথে লোক সংখ্যার ব্যাস্ত সম্পর্ক যখন জমির পরিমাণ স্থির ।
∴ $B \propto \frac{1}{A}$ , যখন C স্থির
আবার , দিন সংখ্যার সাথে জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক যখন লোক সংখ্যা স্থির থাকে ।
$\therefore B \propto C$ , যখন A স্থির
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে ,
$B \propto \frac{C}{A}$ , যখন A ও C উভয়েই পরিবর্তনশীল
$\therefore B = K\frac{C}{A}$ [যেখানে K হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] —–(i)
প্রদত্ত , A=5 , B=9 এবং C = 10
∴ (i) নং থেকে পাই,
$\therefore 9 = K\frac{10}{5}$
$\Rightarrow 2K = 9$
$\Rightarrow K = \frac{9}{2}$
(i)নং সমীকরণে K এর মান বসিয়ে পাই,
$B = \frac{9}{2} \times \frac{C}{A}$
A=25 এবং C =30 হলে ,
$B = \frac{9}{2} \times \frac{30}{25}$
$\Rightarrow {\mathrm{B}} = 9 \times \frac{3}{5}$
$\Rightarrow {\mathrm{B}} = \frac{27}{5}$
$\Rightarrow {\mathrm{B}} = 5\frac{2}{5}$
উত্তরঃ 25 জন লোকের 30 বিঘা জমি চাষ করতে $5\frac{2}{5}$ দিন সময় লাগবে ।
প্রয়োগ-24: ${\mathrm{x}} \propto {\mathrm{y}}$ এবং ${\mathrm{y}} \propto {\mathrm{z}}$ হলে , প্রমাণ করি যে, ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2 \propto {\mathrm{xy}} + {\mathrm{yz}} + {\mathrm{zx}}$
সমাধানঃ
x ∝ y
∴ x = k1y —(i) [k1 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
Y ∝ z
∴ y=k2z —(ii) [k2 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
(i) ও (ii) থেকে পাই ,
x = k1k2z
⟹ x =k3z [ যেখানে , k1k2 =k3= ধ্রুবক ]
∴ x =k3z এবং y=k2z
$\therefore \frac{{\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2}{{\mathrm{xy}} + {\mathrm{yz}} + {\mathrm{zx}}} $
= $\frac{\left({\mathrm{k}}_3{\mathrm{z}}\right)^2 + \left({\mathrm{k}}_2{\mathrm{z}}\right)^2 + {\mathrm{z}}^2}{\left({\mathrm{k}}_3{\mathrm{z}}\right)\left({\mathrm{k}}_2{\mathrm{z}}\right) + \left({\mathrm{k}}_2{\mathrm{z}}\right){\mathrm{z}} + {\mathrm{z}}\left({\mathrm{k}}_3{\mathrm{z}}\right)}$
=$ \frac{{\mathrm{k}}_3^2{\mathrm{z}}^2 + {\mathrm{k}}_2^2{\mathrm{z}}^2 + {\mathrm{z}}^2}{{\mathrm{k}}_2{\mathrm{k}}_3{\mathrm{z}}^2 + {\mathrm{k}}_2{\mathrm{z}}^2 + {\mathrm{k}}_3{\mathrm{z}}^2}$
= $\frac{{\mathrm{z}}^2({\mathrm{k}}_3^2 + {\mathrm{k}}_2^2 + 1)}{{\mathrm{z}}^2\left({\mathrm{k}}_2{\mathrm{k}}_3 + k_2 + k_3\right)} $
=$ \frac{{\mathrm{k}}_3^2 + {\mathrm{k}}_2^2 + 1}{{\mathrm{k}}_2{\mathrm{k}}_3 + k_2 + k_3}$
= ধ্রুবক [যেহেতু k2 এবং k3 প্রত্যেকেই ধ্রুবক]
$\therefore {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2 \propto \mathrm{xy} + \mathrm{yz} + \mathrm{zx}$ [প্রমাণিত]
প্রয়োগ-27: গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল ভেদে আছে । একটি নিরেট সীসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. । এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি গোলক তৈরি করা যাবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি । (ধরি গোলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে )
সমাধানঃ মনে করি গোলকের আয়তন V এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক ।
∴ V ∝ r3
$\Rightarrow$ V =kr3 [যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বড়ো গোলকের ব্যাসার্ধ = $\frac{14}{2}$ সেমি. = 7 সেমি.
7 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন = k(7)3 ঘন সেমি.
3.5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন = k (3.5)3 ঘন সেমি.
যে কটি গোলক তৈরি করা যাবে তা হোলো –
$\frac{{\mathrm{k}}\left(7\right)^3}{{\mathrm{k}}\left(3.5\right)^3}$
= $\frac{7 \times 7 \times 7}{3.5 \times 3.5 \times 3.5}$
= $2 \times 2 \times 2 $
= 8 টি
উত্তরঃ বড়ো গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. ব্যাসার্ধের 8 টি গোলক তৈরি করা যাবে ।
Important Links
গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
আমাদের এই POST টি, আপনাদের পছন্দ হলে Share করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ,Whatsapp চ্যানেল জয়েন করুন এবং YouTube Channel Subscribe করুন ।