সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২|Koshe Dekhi 18.2|গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০) কষে দেখি 18.2 সমাধান|WBBSE Class10 Math Solution Of Chapter 18 Similarity Koshe Dekhi 18.2|Ganit Prakash Class10 Math Solution Of Similarity Exercise 18.2|WB Board Class 10 Math Solution Of Chapter 18 Similarity.
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২|Koshe Dekhi 18.2 Class 10|কষে দেখি 18.2 ক্লাস 10
1. ∆ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
(i) PB =AQ , AP=9 একক , QC = 4 একক হলে , PB এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ যেহেতু , PQ || BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,
∴ PB এর দৈর্ঘ্য 6 একক ।
(ii) PB এর দৈর্ঘ্য AP এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন এবং QC এর দৈর্ঘ্য AQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC এর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ যেহেতু , PQ || BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,
ধরি , AP=x একক এবং AQ=y একক
∴ PB=2x একক এবং QC=(y+3) একক
∴ (i) নং সমীকরন থেকে পাই ,
∴ AC= AQ+QC
= (y+y+3) একক
= (2y+3) একক
= {2(3)+3} একক
= 9 একক
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
(iii) যদি AP = QC হয় , AB এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয় , তবে CQ এর দৈর্ঘ্য কত হবে , হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ যেহেতু , PQ || BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,
বা, QC2 = 2(12-QC)
বা, QC2 = 24-2QC
বা, QC2+2QC-24=0
বা, QC2 +6QC-4QC-24=0
বা, QC(QC+6)-4(QC+6)=0
বা, (QC+6)(QC-4)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় , (QC+6)=0
বা, QC = -6
অথবা , (QC-4) =0
বা, QC =4
কিন্তু QC বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না ।
∴ QC = 4 একক
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10
2. ∆PQR এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X ও Y দুটি বিন্দু নিলাম ।
(i) PX = 2 একক , XQ = 3.5 একক , YR = 7 একক এবং PY = 4.25 একক হলে , XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তিসহ লিখি ।
সমাধানঃ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হতে গেলে ,
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10
(ii) PQ = 8 একক , YR = 12 একক , PY = 4 একক এবং PY এর দৈর্ঘ্য XQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে , XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তিসহ লিখি ।
সমাধানঃ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হতে গেলে ,
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
3. প্রমাণ করি যে , কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে । [ থ্যালাসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি ]
ধরাযাক , ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু P । P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা PQ , AC বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে Q , AC এর মধ্যবিন্দু ।
প্রমাণঃ যেহেতু , PQ || BC , ∴থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
4. ∆ABC এর AD মধ্যমার উপর P যেকোনোএকটিবিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে , RQ || BC.
ABC এর AD মধ্যমার উপর P যেকোনো একটি বিন্দু ,বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করে,প্রমাণ করতে হবে যে, RQ||BC
অঙ্কনঃ AD- কে Eপর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন PD = DE হয়। B,E ; C,E যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ PBEC চতুর্ভুজের PD = DE [ অঙ্কনানুসারে ] এবং BD = DC [ যেহেতু , AD মধ্যমা ]
∴ PBEC একটি সামান্তরিক [ যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ]
∴PC || BE
∴ RP || BE
আবার যেহেতু , PBEC একটি সামান্তরিক
∴ BP || EC
∴ PQ || EC
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∴ RQ || BC [ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে ] [ প্রমাণিত ]
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
5. ∆ABC এর BE ও CF মধ্যমা দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরল রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে , AO= 3OG.
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
6. প্রমাণ করি যে , ট্রাপিজিয়াম এর তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল ।
ধরাযাক, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার তির্যক বাহুগুলি হল AB এবং CD । AB ও CD বাহুগুলির মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে P এবং Q, প্রমাণ করতে হবে যে , PQ || BC|| AD ।
অঙ্কনঃ A,Q যুক্ত করে বর্ধিত করা হল, যা বর্ধিত BC- কে, R বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণঃ এখন , ABCD ট্রাপিজিয়াম এর AD || BC, ∴ AD || BR
আবার , ∆CQR এবং ∆AQD এর ,
∠CQR = ∠AQD [ বিপ্রতীপ কোণ ]
এবং ∠QRC = ∠QAD [ একান্তর কোণ কারণ AD||BR এবং AR ভেদক ]
এবং DQ = QC [ যেহেতু, Q, DC এর মধ্যবিন্দু ]
∴ ∆CQR ≅ ∆AQD [ AAS শর্তানুসারে ]
∴ AQ = QR
∴ Q, AC এর মধ্যবিন্দু ।
∴ ∆ABR এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু P এবং AR বাহুর মধ্যবিন্দু Q
∴ AP =PB এবং AQ=QR
∴ PQ || BR [ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে ]
∴ PQ || BC [ যেহেতু , B,C,R সমরেখ ]
আবার , AD || BC
∴ PQ || AD—(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই , PQ ||BC||AD [ প্রমাণিত ]
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
7.∆ABC এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু । P , Q যথাক্রমে ABD ও ADC -এর ভরকেন্দ্র । প্রমাণ করি যে , PQ || BC.
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
8. একই ভুমি QR এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ ∆PQR ও ∆SQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান । F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG || QR.
∆PQR ও ∆SQR দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ, QR ভূমির একই পার্শ্বে অবস্থিত ।F ও G ত্রিভুজ দুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করতে হবে যে , FG || QR.
অঙ্কনঃ P,S যুক্ত করা হল । P,F এবং S,G যুক্ত করে বর্ধিত করলে তা QR কে E বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণঃ যেহেতু , ∆PQR এবং ∆SQR এর ক্ষেত্রফল সমান এবং তারা একই ভূমি QR এর উপর এবং QR এর একই পার্শ্বে অবস্থিত সুতরাং তারা একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হবে ।
∴PS || QR —-(i)
আবার ,F, ∆PQR এর মধ্যমা এবং PE মধ্যমার উপর অবস্থিত
∴ PF:FE = 2:1—-(ii)
আবার যেহেতু , G , ∆SQR এর মধ্যমা এবং SE মধ্যমার উপর অবস্থিত
∴ SG:GE = 2:1—(iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই ,
PF:FE = SG:GE
এখন , ∆PES ত্রিভুজের
∴ PS || FG —-(iv)[থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে]
(i) ও (iv) থেকে পাই ,
FG || QR [ প্রমাণিত ]
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যেকোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান ।
ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার AB = DC , প্রমাণ করতে হবে যে, ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদুটির যেকোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান অর্থাৎ প্রমাণ করতে হবে যে , ∠DAB = ∠ADC.
অঙ্কনঃ BA এবং CD বাহুকে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণঃ ∆EBC এর AD || BC
আবার , AB = DC [ যেহেতু, সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদুটি সমান ]
∴ EA = ED [(i) থেকে পাই ]
∴ ∠EAD = ∠EDA
∴ 180-∠EAD = 180-∠EDA
∴ ∠DAB = ∠ADC [ প্রমাণিত ]
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
10.∆ABC এবং ∆DBC একই ভূমি BC – এর উপর এবং BC এর একই পার্শ্বে অবস্থিত । BC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু । E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD -এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে, AD || FG.
অঙ্কনঃ AD ও FG অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ এখন , ABC এর AB || EF.
আবার , ∆BCD ত্রিভুজের BD || EG.
∴CG:GD=CE:BE [ থ্যালাসের উপপাদ্য অনুসারে]—(ii)
(i) ও (ii)থেকে পাই,
∴ ∆CAD এর ,
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, AD || FG [ প্রমাণিত]
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
11.অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(i) ∆ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে । AX = 2.4 সেমি. , AY = 3.2 সেমি. এবং YC= 4.8 সেমি., হলে, AB এর দৈর্ঘ্য
(a) 3.6 সেমি.
(b) 6 সেমি.
(c) 6.4 সেমি.
(d) 7.2 সেমি.
Ans:(b) 6 সেমি.
সমাধানঃ
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
(ii) ∆ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমন ভাবে অবস্থিত যে DE || BC এবং AD:DB=3:1; যদি EA=3.3 সেমি. হয়,তাহলে AC এর দৈর্ঘ্য
(a) 1.1 সেমি.
(b) 4 সেমি.
(c) 4.4 সেমি.
(d) 5.5 সেমি.
Ans:(c) 4.4 সেমি.
সমাধানঃ
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
(iii) পাশের চিত্রে DE||BC হলে,x এর মান
(a) 4
(b) 1
(c) 3
(d) 2
Ans:(d) 2
সমাধানঃ
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||DC এবং AD ও BC বাহুর উপর যথাক্রমে P ও Q দুটি বিন্দু এমন ভাবে অবস্থিত যে PQ || DC ;যদি PD=18 সেমি.,BQ=35 সেমি., QC=15 সেমি. হয়, তাহলে AD এর দৈর্ঘ্য
(a) 60সেমি.
(b) 30সেমি.
(c) 12সেমি.
(d) 15সেমি.
Ans:(a) 60সেমি.
সমাধানঃ
(v) পাশের চিত্রে ,DP=5সেমি.,DE=15 সেমি., DQ= 6 সেমি. এবং QF=18 সেমি. হলে,
(a) PQ=EF
(b) PQ||EF
(c) PQ ≠ EF
(d) PQ ∦ EF
Ans:(d) PQ ∦ EF
সমাধানঃ
DP =5সেমি. ∴PE= (15-5)সেমি.=10সেমি.
আবার , DQ=6সেমি. এবং QF=18 সেমি.
∴ PQ ∦ EF
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) দুটি সদৃশ চিত্র সর্বদা সর্বসম।
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) পাশের চিত্রে DE ||BC হলে, AB/BD = AC/CE হবে ।
উত্তরঃ সত্য
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে _________ বিভক্ত করে ।
উত্তরঃ সমানুপাতে
(ii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের ___________ ।
উত্তরঃ সমান
(iii) একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে ________ বিভক্ত করে ।
উত্তরঃ সমানুপাতে
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজে AD/DB = AE/EC এবং ∠ADE = ∠ACB হলে , বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি কী ধরনের লিখি ।
সমাধানঃ ∆ABC এর AD/DB = AE/EC
∴ DE||BC
∴ ∠ADE = ∠ABC [ অনুরূপ কোণ ] আবার ∠ADE = ∠ACB [ প্রদত্ত ]
∴ ∠ABC =∠ACB
∴ AB =AC
∴ বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ।
(ii) পাশের চিত্রে DE||BC এবং AD:BD =3:5 হলে, ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।
সমাধানঃ
∵ DE ||BC
∴ AD/BD = AE/CE [ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে ]
∴ AE/CE = 3/5 [ ∵ AD:BD =3:5 ]
D বিন্দু থেকে AC বাহুর উপরে DF লম্ব টানা হল।
∴ DF হল ∆ADE ও ∆CDE উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা ।
ধরি, DF =h একক
∴ ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল
= 1/2✕AE✕h : 1/2✕CE✕h
= AE:CE
= 3:5
∴ ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল =3:5 [ উত্তর]
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
(iii) পাশের চিত্রে, LM || AB এবং AL =(x-3) একক, AC=2x একক , BM=(x-2) একক এবং BC=(2x+3) একক হলে, x এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
(iv) পাশের চিত্রে , ABC ত্রিভুজে DE||PQ||BC এবং AD = 3 সেমি., DP=x সেমি., PB=4 সেমি., AE=4 সেমি., EQ=5সেমি.,QC=y সেমি.হলে, x ও y এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
(V) পাশের চিত্রে, DE||BC,BE||XC এবং AD/DB=2/1 হলে, AX/XB এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2