গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী প্রথম অধ্যায় দ্বিঘাত সমীকরণের সকল ‘নিজে করি’ অঙ্ক||All ‘Nije Kori’ Math Problems of Chapter 1 of Class 10 Ganit Prakash- প্রয়োগ-4 , প্রয়োগ-8 , প্রয়োগ- 13 , প্রয়োগ-15 , প্রয়োগ-18, প্রয়োগ-21 , প্রয়োগ-25 । প্রয়োগ-33 , প্রয়োগ-38 , প্রয়োগ-41 সমাধান
দ্বিঘাত সমীকরণের সকল ‘নিজে করি’ অঙ্ক গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী প্রথম অধ্যায় ||All Nije Kori Math Problems of Chapter 1 of Class 10 Ganit Prakash
প্রয়োগ-4: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 2 মিটার বেশি এবং ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার । একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
সমাধানঃ ধরি , আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার ।
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+2) মিটার ।
সুতরাং ক্ষেত্রফল = {(x+2) × x } বর্গমিটার
শর্তানুসারে ,
(x+2) × x = 24
⇒ x2+2x-24=0
উত্তরঃ নির্ণেয় সমীকরণটি হল x2+2x-24=0
প্রয়োগ-8: k এর মান কত হলে x2+kx+3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 1 হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ x2+kx+3 = 0 -এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে ,
(1)2 +k(1) +3 = 0
⇒ 1+k+3=0
⇒ k+4=0
⇒ k =-4
উত্তরঃ k এর মান -4 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ 1 হবে ।
প্রয়োগ- 13: $\frac{\boldsymbol a}{\boldsymbol a\boldsymbol x – 1} + \frac{\boldsymbol b}{\boldsymbol b\boldsymbol x – 1} = \boldsymbol a + \boldsymbol b[\boldsymbol x \neq \frac{1}{\boldsymbol a},\frac{1}{\boldsymbol b}]$ দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি ও বীজদ্বয় লিখি ।
সমাধানঃ
$\frac{a}{ax – 1} + \frac{b}{bx – 1} = a + b$
$\Rightarrow \frac{a}{ax – 1} – b + \frac{b}{bx – 1} – a = 0$
$\Rightarrow \frac{{\mathrm{a}} – {\mathrm{b}}({\mathrm{ax}} – 1)}{{\mathrm{ax}} – 1} + \frac{{\mathrm{b}} – {\mathrm{a}}({\mathrm{bx}} – 1)}{{\mathrm{bx}} – 1} = 0$
$\Rightarrow \frac{{\mathrm{a}} – {\mathrm{abx}} + {\mathrm{b}}}{{\mathrm{ax}} – 1} + \frac{{\mathrm{b}} – {\mathrm{abx}} + {\mathrm{a}}}{{\mathrm{bx}} – 1} = 0$
$\Rightarrow \frac{{\mathrm{a}} + {\mathrm{b}} – {\mathrm{abx}}}{{\mathrm{ax}} – 1} + \frac{{\mathrm{a}} + {\mathrm{b}} – {\mathrm{abx}}}{{\mathrm{bx}} – 1} = 0$
$\Rightarrow ({\mathrm{a}} + {\mathrm{b}} – {\mathrm{abx}})\left(\frac{1}{{\mathrm{ax}} – 1} + \frac{1}{{\mathrm{bx}} – 1}\right) = 0$
∴ এদের মধ্যে কোনো একটি শূন্য হবে ,
হয় , (a+b-abx)=0
⇒ a+b=abx
⇒ x = $\frac{{\mathrm{a}} + {\mathrm{b}}}{{\mathrm{ab}}}$
অথবা , $\left(\frac{1}{{\mathrm{ax}} – 1} + \frac{1}{{\mathrm{bx}} – 1}\right)$=0
∴ $\frac{1}{\mathrm{ax} – 1} + \frac{1}{\mathrm{bx} – 1} = 0$
$\Rightarrow \frac{{\mathrm{bx}} – 1 + {\mathrm{ax}} – 1}{({\mathrm{ax}} – 1)({\mathrm{bx}} – 1)} = 0$
$\Rightarrow {\mathrm{ax}} + {\mathrm{bx}} – 2 = 0$
$\Rightarrow {\mathrm{x}}({\mathrm{a}} + {\mathrm{b}}) = 2$
$\Rightarrow {\mathrm{x}} = \frac{2}{{\mathrm{a}} + {\mathrm{b}}}$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান হল x =$\frac{{\mathrm{a}} + {\mathrm{b}}}{{\mathrm{ab}}}$ ও x= $\frac{2}{{\mathrm{a}} + {\mathrm{b}}}$
প্রয়োগ-15: আমি $\frac{\mathbf x + 3}{\mathbf x – 3} + \frac{\mathbf x – 3}{\mathbf x + 3} = 2\frac{1}{2}(\mathbf x \neq – 3,3)$ দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি ।
সমাধানঃ
$\frac{{\mathrm{x}} + 3}{{\mathrm{x}} – 3} + \frac{{\mathrm{x}} – 3}{{\mathrm{x}} + 3} = 2\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{({\mathrm{x}} + 3)^2 + ({\mathrm{x}} – 3)^2}{({\mathrm{x}} – 3)({\mathrm{x}} + 3)} = 2\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{2\left({\mathrm{x}}^2 + 3^2\right)}{{\mathrm{x}}^2 – 3^2} = \frac{5}{2}$
$[\because ({\mathrm{a}} + {\mathrm{b}})^2 + ({\mathrm{a}} – {\mathrm{b}})^2 = 2\left({\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2\right)]$
$\Rightarrow \frac{2\left({\mathrm{x}}^2 + 9\right)}{{\mathrm{x}}^2 – 9} = \frac{5}{2}$
$\Rightarrow 4\left({\mathrm{x}}^2 + 9\right) = 5\left({\mathrm{x}}^2 – 9\right)$
$\Rightarrow 4{\mathrm{x}}^2 + 36 = 5{\mathrm{x}}^2 – 45$
$\Rightarrow 4{\mathrm{x}}^2 – 5x^2 = – 36 – 45$
$\Rightarrow – {\mathrm{x}}^2 = – 81$
$\Rightarrow {\mathrm{x}}^2 = 81$
$\Rightarrow {\mathrm{x}} = \pm \sqrt{81}$
$\Rightarrow {\mathrm{x}} = \pm 9$
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান হল x = 9 ও x =-9
প্রয়োগ-18: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম । দুই অঙ্কের সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক কী কী হতে পারে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি হল (x+6)
সুতরাং, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি হল 10x+(x+6)=10x+x+6=11x+6
আবার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম ।
∴ x(x+6) = (11x+6) -12
বা, x2+6x=11x+6-12
বা, x2+6x=11x-6
বা, x2+6x-11x+6=0
বা, x2-5x+6=0
বা, x2-3x-2x+6=0
বা, x(x-3)-2(x-3)=0
বা, (x-3)(x-2) =0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য ।
∴ এদের মধ্যে যেকোনো একটি শূন্য হবে ।
হয় , x-3=0 , ∴ x = 3
অথবা , x-2 =0 , ∴ x = 2
∴ x+6 = 3+6= 9 , অথবা , x+6 = 2+6 = 8
∴ দুই অঙ্কের সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক হতে পারে 9 অথবা 8 ।
দ্বিঘাত সমীকরণের সকল ‘নিজে করি’ অঙ্ক গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী প্রথম অধ্যায় ||All Nije Kori Math Problems of Chapter 1 of Class 10 Ganit Prakash
প্রয়োগ-21: আমি অন্যভাবে অর্থাৎ 5x2+23x+12=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষ 5 দিয়ে গুণ করে সমীকরণটি পূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে বীজদ্বয় নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
5x2+23x+12=0
বা, 5(5x2+23x+12) = 0
বা, 25x2 + 115x + 60 = 0
বা, (5x)2+2. (5x).$\frac{115}{10}$+$\left(\frac{115}{10}\right)^2$+60-$\left(\frac{115}{10}\right)^2$ = 0
বা, $\left(5x+\frac{115}{10}\right)^2$+60-$\frac{529}{4}$=0
বা, $\left(5{\mathrm{x}} + \frac{115}{10}\right)^2 + \left(\frac{240 – 529}{4}\right) = 0$
বা, $ \left(5{\mathrm{x}} + \frac{115}{10}\right)^2 + \left( – \frac{289}{4}\right) = 0$
বা, $\left(5x + \frac{115}{10}\right)^2$ -$\frac{289}{4} $=0
বা, $\left(5x+\frac{115}{10}\right)^2$ =$\frac{289}{4}$
বা, $5x + \frac{115}{10} = \pm \sqrt{\frac{289}{4}}$
বা, $ 5x + \frac{115}{10} = \pm \frac{17}{2}$
বা, $ 5x + \frac{115}{10} = \pm \frac{85}{10}$
বা, $5x = – \frac{115}{10} \pm \frac{85}{10}$
বা, $ 5x = \frac{ – 115 \pm 85}{10}$
বা, $ x = \frac{ – 115 \pm 85}{50}$
∴পূর্ণবর্গাকার পদ্ধতিতে নির্ণিত বীজদ্বয় হল $\frac{ – 115 + 85}{50} = \frac{ – 30}{50} = \frac{ – 3}{5}$
এবং $\frac{ – 115 – 85}{50} = \frac{ – 200}{50} = – 4$
প্রয়োগ-25: দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 ; সমীকরণ গঠন করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে অযুগ্ম সংখ্যাদুটি লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , দুটি ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা হল x এবং x+2
শর্তানুসারে ,
x(x+2) = 143
x2+2x-143=0
এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = 1 , b=2 এবং c =-143
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
$x = \frac{ – 2 \pm \sqrt{2^2 – 4\left(1\right)\left( – 143\right)}}{2 \times 1}$
$\Rightarrow x = \frac{ – 2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{ – 2 \pm \sqrt{576}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{ – 2 \pm \sqrt{24 \times 24}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{ – 2 \pm 24}{2}$
$\therefore x = \frac{ – 2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = 11$
or $x = \frac{ – 2 – 24}{2} = \frac{ – 26}{2} = – 23$
কিন্তু সংখ্যাটি যেহেতু ধনাত্মক , ∴ x ≠ -23
∴ x = 11
সুতরাং অযুগ্ম সংখ্যা দুটি হল 11 এবং (11+2) = 13
উত্তরঃ ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা দুটি হল 11 এবং 13 ।
প্রয়োগ-33: k এর মান কত হলে 2x2 -10x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে ?
সমাধানঃ 2x2 -10x+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c =0 দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a = 2 , b=-10 এবং c = k
এখন যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান
∴ b2-4ac=0
⇒ (-10)2 -4(2)(k)=0
⇒ 100-8k=0
⇒ 8k = 100
⇒ k = $\frac{100}{8}$
⇒ k =$\frac{25}{2}$
∴ k এর মান $\frac{25}{2}$ হলে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে ।
প্রয়োগ- 38: যদি 3x2 -10x+3 =0 দ্বিঘাত সমীকরণের 1 টি বীজ $\frac{1}{3}$ হয় , তবে অপর বীজটি নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি , 3x2 -10x+3 =0 দ্বিঘাত সমীকরণের অপর বীজ হল α ।
∴ α × $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$
⇒ α × $\frac{1}{3}$ =1
⇒ α =3
উত্তরঃ 3x2 -10x+3 =0 দ্বিঘাত সমীকরণের 1 টি বীজ $\frac{1}{3}$ হয় , তবে অপর বীজটি হবে 3 ।
প্রয়োগ-41: ax2+bx+c= 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে , $\left(\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}\right)$ এর মান a,b ও c এর মাধ্যমে প্রকাশ করি ।
সমাধানঃ ax2+bx+c= 0 [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β
∴ α + β =$-\frac{b}{a}$
এবং αβ = $\frac{c}{a}$
$\therefore \left(\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}\right)$
= $\frac{\beta^3 + \alpha^3}{\alpha^3\beta^3}$
= $\frac{(\alpha + \beta )^3 – 3\alpha \beta (\alpha + \beta )}{\left(\alpha \beta \right)^3}$
= $\frac{\left( – \frac{b}{a}\right)^3 – 3 \times \frac{c}{a} \times \left( – \frac{b}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^3}$
= $\frac{ – \frac{b^3}{a^3} + \frac{3bc}{a^2}}{\frac{c^3}{a^3}}$
= $\frac{\frac{ – b^3 + 3abc}{a^3}}{\frac{c^3}{a^3}}$
= $\frac{ – b^3 + 3abc}{a^3} \div \frac{c^3}{a^3}$
=$ \frac{ – b^3 + 3abc}{a^3} \times \frac{a^3}{c^3} $
= $\frac{ – b^3 + 3abc}{c^3}$
= $\frac{3abc- b^3}{c^3}$
Important Links
গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
আমাদের এই POST টি, আপনাদের পছন্দ হলে Share করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ,Whatsapp চ্যানেল জয়েন করুন এবং YouTube Channel Subscribe করুন ।