সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২|Koshe Dekhi 18.2|গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০) কষে দেখি 18.2 সমাধান|WBBSE Class10 Math Solution Of Chapter 18 Similarity Koshe Dekhi 18.2|Ganit Prakash Class10 Math Solution Of Similarity Exercise 18.2|WB Board Class 10 Math Solution Of Chapter 18 Similarity.

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

WBBSE OFFICIAL SITE

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২|Koshe Dekhi 18.2 Class 10|কষে দেখি 18.2 ক্লাস 10

1. ∆ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

(i) PB =AQ , AP=9 একক , QC = 4 একক হলে , PB এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু , PQ || BC

∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,

$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$

বা, $\frac{9}{PB}$ = $\frac{PB}{4}$

বা, $PB^2$ = 36
বা, PB = $\sqrt{36}$

বা, PB = 6

∴ PB এর দৈর্ঘ্য 6 একক ।

(ii) PB এর দৈর্ঘ্য AP এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন এবং QC এর দৈর্ঘ্য AQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC এর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু , PQ || BC

∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,

$\frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$ —-(i)

ধরি , AP=x একক এবং AQ=y একক

∴ PB=2x একক  এবং QC=(y+3) একক

∴ (i) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

$\frac{{\mathrm{x}}}{2{\mathrm{x}}}$ = $\frac{{\mathrm{y}}}{{\mathrm{y}} + 3}$

বা,$\frac{1}{2}$ = $\frac{{\mathrm{y}}}{{\mathrm{y}} + 3}$

বা, y+3 =2y

বা, y=3

∴ AC= AQ+QC

= (y+y+3) একক

= (2y+3) একক

= {2(3)+3} একক

= 9 একক

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

(iii) যদি AP = QC হয় , AB এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয় , তবে CQ এর দৈর্ঘ্য কত হবে , হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু , PQ || BC

∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,

$\frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$

বা, $\frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{AB}} – {\mathrm{AP}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$ [যেহেতু, PB=AB-AP]

বা, $\frac{{\mathrm{QC}}}{12 – {\mathrm{QC}}}$ = $\frac{2}{{\mathrm{QC}}}$ [যেহেতু AP=QC,AB=12 একক এবং QC=2 একক ]

বা, QC² = 2(12-QC)

বা, QC² = 24-2QC

বা, QC²+2QC-24=0

বা, QC² +6QC-4QC-24=0

বা, QC(QC+6)-4(QC+6)=0

বা, (QC+6)(QC-4)=0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

হয় , (QC+6)=0

বা, QC = -6

অথবা , (QC-4) =0

বা, QC =4

কিন্তু QC বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না ।

∴ QC = 4 একক

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10

2. ∆PQR এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X ও Y দুটি বিন্দু নিলাম ।

(i) PX = 2 একক , XQ = 3.5 একক , YR = 7 একক এবং PY = 4.25 একক হলে , XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তিসহ লিখি ।

সমাধানঃ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হতে গেলে ,

$\frac{{\mathrm{PX}}}{{\mathrm{XQ}}}$ = $\frac{{\mathrm{PY}}}{{\mathrm{YR}}}$ হতে হবে ।

এখন, $\frac{{\mathrm{PX}}}{{\mathrm{XQ}}}$ = $\frac{2}{3.5}$ = $\frac{20}{35}$ = $\frac{4}{7}$

আবার, $\frac{{\mathrm{PY}}}{{\mathrm{YR}}}$ = $\frac{4.25}{7}$ = $\frac{425}{700}$ = $\frac{17}{28}$

$\therefore \frac{{\mathrm{PX}}}{{\mathrm{XQ}}}$ $\neq \frac{{\mathrm{PY}}}{{\mathrm{YR}}}$

∴ XY ও QR সমান্তরাল নয় ।

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10

(ii) PQ = 8 একক , YR = 12 একক , PY = 4 একক এবং PY এর দৈর্ঘ্য XQ এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে , XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তিসহ লিখি ।

সমাধানঃ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হতে গেলে ,

$\frac{{\mathrm{PX}}}{{\mathrm{XQ}}}$ = $\frac{{\mathrm{PY}}}{{\mathrm{YR}}}$ হতে হবে ।

এখন, $\frac{{\mathrm{PX}}}{{\mathrm{XQ}}}$ = $\frac{{\mathrm{PQ}} – {\mathrm{XQ}}}{{\mathrm{XQ}}}$ = $\frac{8 – 6}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

আবার, $\frac{{\mathrm{PY}}}{{\mathrm{YR}}}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$

$\therefore \frac{{\mathrm{PX}}}{{\mathrm{XQ}}}$ = $\frac{{\mathrm{PY}}}{{\mathrm{YR}}}$

$\therefore {\mathrm{XY}} \parallel {\mathrm{QR}}$

∴ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল ।

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

3. প্রমাণ করি যে , কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে । [ থ্যালাসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি ]

ধরাযাক , ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু P । P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা PQ , AC বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে Q , AC এর মধ্যবিন্দু ।

প্রমাণঃ যেহেতু , PQ || BC , ∴থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে ,

$\frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$

যেহেতু P, AB এর মধ্যবিন্দু ∴AP=PB

$\therefore \frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PB}}}$ = 1

$\therefore \frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$ = 1

$\therefore {\mathrm{AQ}}$ = ${\mathrm{QC}}$

সুতরাং ,Q , AC এর মধ্যবিন্দু [প্রমাণিত]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

4. ∆ABC এর AD মধ্যমার উপর P যেকোনোএকটিবিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে Q ও R  বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে , RQ || BC.

ABC এর AD মধ্যমার উপর P যেকোনো একটি বিন্দু ,বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করে,প্রমাণ করতে হবে যে, RQ||BC

অঙ্কনঃ AD- কে Eপর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন PD = DE হয়। B,E ; C,E যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ PBEC চতুর্ভুজের PD = DE [ অঙ্কনানুসারে ] এবং BD = DC [ যেহেতু , AD মধ্যমা ]

∴ PBEC একটি সামান্তরিক [ যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ]

∴PC || BE

∴ RP || BE

$\therefore \frac{{\mathrm{AR}}}{{\mathrm{RB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PE}}}$ [থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে]

আবার যেহেতু , PBEC একটি সামান্তরিক

∴ BP || EC

∴ PQ || EC

$\therefore \frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PE}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$[থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে]

(i) ও (ii) থেকে পাই,

$\frac{{\mathrm{AR}}}{{\mathrm{RB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$

∴ RQ || BC [ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে ] [ প্রমাণিত ]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

5. ∆ABC এর BE ও CF মধ্যমা দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরল রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে , AO= 3OG.

সমাধানঃ

মনে করো , △ABC -এর BE ও CF মধ্যমা দুটির ছেদবিন্দু G , AG , EF কে O বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , AO = 3OG

অঙ্কনঃ AG কে বর্ধিত করায় উহা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ এখানে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও E ।

∴ EF || BC

∴ OE || CD

এখন △ADC এর OE || CD

$\therefore \frac{{\mathrm{AO}}}{{\mathrm{OD}}}$ = $\frac{{\mathrm{AE}}}{{\mathrm{CE}}}$

যেহেতু, AE =CE অতএব AO =OD

আবার G বিন্দু △ABC এর ভরকেন্দ্র ।

∴AG = 2GD

∴AO+OG=2(OD-OG)

∴AO+OG=2(AO-OG)

∴2AO-2OG=AO+OG

∴ AO=3OG [প্রমাণিত]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

6. প্রমাণ করি যে , ট্রাপিজিয়াম এর তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল ।

ধরাযাক, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার তির্যক বাহুগুলি হল AB এবং CD । AB ও CD বাহুগুলির মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে P এবং Q, প্রমাণ করতে হবে যে , PQ || BC|| AD ।

অঙ্কনঃ A,Q যুক্ত করে বর্ধিত করা হল, যা বর্ধিত BC- কে, R বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ এখন , ABCD ট্রাপিজিয়াম এর AD || BC, ∴ AD || BR

আবার , ∆CQR এবং ∆AQD এর ,

∠CQR = ∠AQD [ বিপ্রতীপ কোণ ]

এবং ∠QRC = ∠QAD [ একান্তর কোণ কারণ AD||BR এবং AR ভেদক ]

এবং DQ = QC [ যেহেতু, Q, DC এর মধ্যবিন্দু ]

∴ ∆CQR ≅ ∆AQD [ AAS শর্তানুসারে ]

∴ AQ = QR

∴ Q, AC এর মধ্যবিন্দু ।

∴ ∆ABR এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু P এবং AR বাহুর মধ্যবিন্দু Q

∴ AP =PB এবং AQ=QR

∴ $\frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QR}}}$

∴ PQ || BR [ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে ]

∴ PQ || BC [ যেহেতু , B,C,R সমরেখ ]

আবার , AD || BC

∴ PQ || AD—(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই , PQ ||BC||AD [ প্রমাণিত ]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

7.∆ABC এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু । P , Q যথাক্রমে ABD ও ADC -এর ভরকেন্দ্র । প্রমাণ করি যে , PQ || BC.

সমাধানঃ মনে করো, △ABC -এর BC বাহুর উপর D একটি বিন্দু । AD অঙ্কন করা হল ।

মনে করো, AD -এর মধ্যবিন্দু E; BE ও CE অঙ্কন করা হল । তাহলে , △ABD ও △ACD -এর মধ্যমা যথাক্রমে BE ও CE. আবার P ও Q বিন্দু যথাক্রমে △ABD ও △ACD -এর ভরকেন্দ্র । PQ অঙ্কন করা হল । প্রমাণ করতে হবে যে , PQ || BC.

প্রমাণঃ এখানে △ABD -এর ভরকেন্দ্র P ; অতএব , $\frac{{\mathrm{PE}}}{{\mathrm{BP}}}$ = $\frac{1}{2}$

আবার, △ACD -এর ভরকেন্দ্র Q;

∴ $\frac{{\mathrm{CE}}}{{\mathrm{CQ}}}$ = $\frac{1}{2}$

$\therefore \frac{{\mathrm{PE}}}{{\mathrm{BP}}} = \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CQ}}$

$\therefore {\mathrm{PQ}} \parallel {\mathrm{BC}}$

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

8. একই ভুমি QR এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ ∆PQR ও ∆SQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান । F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG || QR.

∆PQR ও ∆SQR দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ, QR ভূমির একই পার্শ্বে অবস্থিত ।F ও G ত্রিভুজ দুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করতে হবে যে , FG || QR.

অঙ্কনঃ P,S যুক্ত করা হল । P,F এবং S,G যুক্ত করে বর্ধিত করলে তা QR কে E বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ যেহেতু , ∆PQR এবং ∆SQR এর ক্ষেত্রফল সমান এবং তারা একই ভূমি QR এর উপর এবং QR এর একই পার্শ্বে অবস্থিত সুতরাং তারা একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হবে ।

∴PS || QR —-(i)

আবার ,F, ∆PQR এর মধ্যমা এবং PE মধ্যমার উপর অবস্থিত

∴ PF:FE = 2:1—-(ii)

আবার যেহেতু , G , ∆SQR এর মধ্যমা এবং SE মধ্যমার উপর অবস্থিত

∴ SG:GE = 2:1—(iii)

(ii) ও (iii) থেকে পাই ,

PF:FE = SG:GE

এখন , ∆PES ত্রিভুজের

$\frac{{\mathrm{PE}}}{{\mathrm{FE}}}$ = $\frac{{\mathrm{SG}}}{{\mathrm{GE}}}$

∴ PS || FG —-(iv)[থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে]

(i) ও (iv) থেকে পাই ,

FG || QR [ প্রমাণিত ]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যেকোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান ।

ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার AB = DC , প্রমাণ করতে হবে যে, ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদুটির যেকোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান অর্থাৎ প্রমাণ করতে হবে যে , ∠DAB = ∠ADC.

অঙ্কনঃ BA এবং CD বাহুকে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ ∆EBC এর AD || BC

$\therefore \frac{{\mathrm{EA}}}{{\mathrm{AB}}}$ = $\frac{{\mathrm{ED}}}{{\mathrm{DC}}}$ [থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে]

আবার , AB = DC [ যেহেতু, সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদুটি সমান ]

∴ EA = ED [(i) থেকে পাই ]

∴ ∠EAD = ∠EDA

∴ 180-∠EAD = 180-∠EDA

∴ ∠DAB = ∠ADC [ প্রমাণিত ]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

10.∆ABC এবং ∆DBC একই ভূমি BC – এর উপর এবং BC এর একই পার্শ্বে অবস্থিত । BC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু । E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD -এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে, AD || FG.

অঙ্কনঃ AD ও FG অঙ্কন করা হল।

প্রমাণঃ এখন , ABC এর AB || EF.

$\therefore \frac{{\mathrm{CF}}}{{\mathrm{AF}}}$ = $\frac{{\mathrm{CE}}}{{\mathrm{BE}}}$ [থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে]

∴ CF:AF = CE:BE

আবার , ∆BCD ত্রিভুজের BD || EG.

$\therefore \frac{{\mathrm{CG}}}{{\mathrm{GD}}}$ = $\frac{{\mathrm{CE}}}{{\mathrm{BE}}}$

∴CG:GD=CE:BE [ থ্যালাসের উপপাদ্য অনুসারে]—(ii)

(i) ও (ii)থেকে পাই,

$\therefore \frac{{\mathrm{CF}}}{{\mathrm{AF}}}$ = $\frac{{\mathrm{CG}}}{{\mathrm{GD}}}$

∴ ∆CAD এর ,

$\therefore \frac{{\mathrm{CF}}}{{\mathrm{AF}}}$ = $\frac{{\mathrm{CG}}}{{\mathrm{GD}}}$

∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, AD || FG [ প্রমাণিত]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

11.অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(i) ∆ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে । AX = 2.4 সেমি. , AY = 3.2 সেমি. এবং YC= 4.8 সেমি., হলে, AB এর দৈর্ঘ্য

(a) 3.6 সেমি.

(b) 6 সেমি.

(c) 6.4 সেমি.

(d) 7.2 সেমি.

Ans:(b) 6 সেমি.

সমাধানঃ

যেহেতু, XY || BC

∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,

$\frac{AX}{XB}$ = $\frac{AY}{YC}$

বা, $\frac{2.4}{XB}$ = $\frac{3.2}{4.8}$

বা, $\frac{2.4}{XB}$ = $\frac{32}{48}$

বা, $\frac{2.4}{XB}$ = $\frac{2}{3}$

বা, $2XB$ = $3 \times 2.4$

বা, 2XB = 7.2

বা, XB = $\frac{7.2}{2}$

বা, XB = 3.6

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

(ii) ∆ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমন ভাবে অবস্থিত যে DE || BC এবং AD:DB=3:1; যদি EA=3.3 সেমি. হয়,তাহলে AC এর দৈর্ঘ্য

(a) 1.1 সেমি.

(b) 4 সেমি.

(c) 4.4 সেমি.

(d) 5.5 সেমি.

Ans:(c) 4.4 সেমি.

সমাধানঃ

DE || BC

∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

$\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$

বা, $\frac{3}{1}$ = $\frac{3.3}{EC}$

বা, $3{\mathrm{EC}}$ = 3.3

বা, EC = $\frac{3.3}{3}$

বা, EC = 1.1

∴ AC =AE+EC=(3.3+1.1) সেমি. =4.4 সেমি.

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

(iii) পাশের চিত্রে DE||BC হলে,x এর মান

(a) 4

(b) 1

(c) 3

(d) 2

Ans:(d) 2

সমাধানঃ

যেহেতু , DE || BC

∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,

$\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$

বা, $\frac{x + 3}{3x + 19}$ = $\frac{x}{3x + 4}$

বা, $(x + 3)(3x + 4)$ = $x(3x + 19)$

বা, $3x^2 + 9x + 4x + 12$ = $3x^2 + 19x$

বা, $3x^2 + 13x + 12$ = $3x^2 + 19x$

বা, $3x^2 + 13x + 12 – 3x^2 – 19x$ = 0

বা, – 6x + 12 = 0

বা, 6x = 12

বা, x = $\frac{12}{6}$

বা, x = 2

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||DC এবং AD ও BC বাহুর উপর যথাক্রমে P ও Q দুটি বিন্দু এমন ভাবে অবস্থিত যে PQ || DC ;যদি PD=18 সেমি.,BQ=35 সেমি., QC=15 সেমি. হয়, তাহলে AD এর দৈর্ঘ্য

(a) 60সেমি.

(b) 30সেমি.

(c) 12সেমি.

(d) 15সেমি.

Ans:(a) 60সেমি.

সমাধানঃ

$\frac{AP}{PD}$ = $\frac{BQ}{QC}$

বা, $\frac{AP}{18}$ = $\frac{35}{15}$

বা, $\frac{AP}{18}$ = $\frac{7}{3}$

বা, $AP$ = $\frac{7}{3} \times 18$

বা, AP = 42

∴ AD=AP+PD=(42+18) সেমি. = 60 সেমি.

(v) পাশের চিত্রে ,DP=5সেমি.,DE=15 সেমি., DQ= 6 সেমি. এবং QF=18 সেমি. হলে,

(a) PQ=EF

(b) PQ||EF

(c) PQ ≠ EF

(d) PQ ∦ EF

Ans:(d) PQ ∦ EF

সমাধানঃ

DP =5সেমি. ∴PE= (15-5)সেমি.=10সেমি.

আবার , DQ=6সেমি. এবং QF=18 সেমি.

এখন, $\frac{DP}{PE}$= $\frac{5}{10}$ = $\frac{1}{2}$

আবার, $\frac{DQ}{QF}$ = $\frac{6}{18}$ = $\frac{1}{3}$

$\therefore \frac{DP}{PE} \neq \frac{DQ}{QF}$

∴ PQ ∦ EF

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2 Class 10

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) দুটি সদৃশ চিত্র সর্বদা সর্বসম।

উত্তরঃ মিথ্যা

(ii) পাশের চিত্রে DE ||BC হলে, AB/BD = AC/CE হবে ।

উত্তরঃ সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে _________ বিভক্ত করে ।

উত্তরঃ সমানুপাতে

(ii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের ___________ ।

উত্তরঃ সমান

(iii) একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে ________ বিভক্ত করে ।

উত্তরঃ সমানুপাতে

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজে AD/DB = AE/EC এবং ∠ADE = ∠ACB হলে , বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি কী ধরনের লিখি ।

সমাধানঃ ∆ABC এর AD/DB = AE/EC

∴ DE||BC

∴ ∠ADE = ∠ABC [ অনুরূপ কোণ ] আবার ∠ADE = ∠ACB [ প্রদত্ত ]

∴ ∠ABC =∠ACB

∴ AB =AC

∴ বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ।

(ii) পাশের চিত্রে DE||BC এবং AD:BD =3:5 হলে, ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।

সমাধানঃ

∵ DE ||BC

$\therefore \frac{AD}{BD}$ = $\frac{AE}{CE}$ [থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে]

$\therefore \frac{AE}{CE}$= $\frac{3}{5}$ [ ∵ AD:BD =3:5 ]

D বিন্দু থেকে AC বাহুর উপরে DF লম্ব টানা হল।

∴ DF হল ∆ADE ও ∆CDE উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা ।

ধরি, DF =h একক

∴ ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{2}$✕AE✕h : $\frac{1}{2}$✕CE✕h

= AE:CE

= 3:5

∴ ∆ADE এর ক্ষেত্রফলঃ ∆CDE এর ক্ষেত্রফল =3:5 [ উত্তর]

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

(iii) পাশের চিত্রে, LM || AB এবং AL =(x-3) একক, AC=2x একক , BM=(x-2) একক এবং BC=(2x+3) একক হলে, x এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

$LM \parallel AB$

$\therefore \frac{CL}{AL}$ = $\frac{CM}{BM}$ [থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, $\frac{CL}{AL}$ + 1 = $\frac{CM}{BM}$ + 1

বা, $\frac{CL + AL}{AL}$ = $\frac{CM + BM}{BM}$

বা, $\frac{AC}{AL}$ = $\frac{BC}{BM}$

বা, $\frac{2x}{x – 3}$ = $\frac{2x + 3}{x – 2}$

বা, $2x(x – 2)$ = $(2x + 3)(x – 3)$

বা, $2x^2 – 4x$ = $2x^2 + 3x – 6x – 9$

বা, $2x^2 – 4x – 2x^2 – 3x + 6x + 9$ = $0$

বা, – 4x – 3x + 6x + 9 = 0

বা, – 7x + 6x + 9 = 0

বা,- x + 9 = 0

বা, x = 9

(iv) পাশের চিত্রে , ABC ত্রিভুজে DE||PQ||BC এবং AD = 3 সেমি., DP=x সেমি., PB=4 সেমি., AE=4 সেমি., EQ=5সেমি.,QC=y সেমি.হলে, x ও y এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

∆APQ -এর DE || PQ

$\therefore \frac{{\mathrm{AD}}}{{\mathrm{DP}}}$ = $\frac{{\mathrm{AE}}}{{\mathrm{EQ}}}$ [থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, $\frac{3}{{\mathrm{x}}}$ = $\frac{4}{5}$

বা, $4{\mathrm{x}}$ = 15

বা, ${\mathrm{x}}$ = $\frac{15}{4}$

আবার ∆ABC -এর PQ || BC

$\therefore \frac{{\mathrm{AP}}}{{\mathrm{PB}}}$ = $\frac{{\mathrm{AQ}}}{{\mathrm{QC}}}$ [থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, $\frac{3 + {\mathrm{x}}}{4}$ = $\frac{4 + 5}{{\mathrm{y}}}$

বা, $\frac{3 + {\mathrm{x}}}{4}$ = $\frac{9}{y}$

বা, $3{\mathrm{y}}$ + ${\mathrm{xy}}$= 36

বা, $3{\mathrm{y}}$ + $\frac{15{\mathrm{y}}}{4}$ = 36

বা, $\frac{12{\mathrm{y}} + 15{\mathrm{y}}}{4}$= 36

বা, $27{\mathrm{y}}$ = 144

বা, ${\mathrm{y}}$ = $\frac{144}{27}$

বা, ${\mathrm{y}}$ = $\frac{16}{3}$ [উত্তর]

(V) পাশের চিত্রে, DE||BC,BE||XC এবং AD/DB=2/1 হলে, AX/XB এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

DE || BC

$\therefore \frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$

বা, $\frac{2}{1}$ = $\frac{AE}{EC}$

বা, $\frac{AE}{EC}$ = 2

আবার , BE || XC

$\therefore \frac{AB}{BX}$ = $\frac{AE}{EC}$

বা, $\frac{AB}{BX}$ = 2$\left[\because \frac{AE}{EC} = 2\right]$

বা, $\frac{AB}{BX} + 1$ = 2 + 1

বা, $\frac{{\mathrm{AB}} + {\mathrm{BX}}}{{\mathrm{BX}}}$ = 3

বা, $\frac{{\mathrm{AX}}}{{\mathrm{BX}}}$ = 3

$\therefore \frac{{\mathrm{AX}}}{{\mathrm{XB}}}$ = 3 [উত্তর]

সদৃশতা কষে দেখি ১৮.২।Koshe Dekhi 18.2

ধন্যবাদ । এই POST টি ভাল লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।