বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের সমস্ত নিজে করি অঙ্ক একত্রে||All Nije Kori Maths of Chapter 3 Class 10 WBBSE -এখানে দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য অধ্যায়ের (অধ্যায়-3) সমস্ত ‘নিজে করি’ অঙ্কের সমাধান খুব সহজ পদ্ধতিতে করে দেওয়া হল । প্রয়োগ-6 , প্রয়োগ-8 ,প্রয়োগ-11 এবং প্রয়োগ-12 এর অঙ্কগুলো তোমাদের সমাধান করতে সমস্যা হলে এখান থেকে সাহায্য নিতে পারো । আর মাধ্যমিকের জন্য এই অঙ্কগুলিকে এখনই প্র্যাকটিস করে নাও ।
প্রয়োগ-6. 17 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের যে জ্যা –এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 8 সেমি. , তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB একটি জ্যা । এখন কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB এর ওপর OC লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ OC = 8 সেমি. এবং বৃত্তের ব্যসার্ধ OB = 17 সেমি. ।
এখন △OCB সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
OC2 + BC2 = OB2
বা, 82 + BC2 = 172
বা, 64 + BC2 = 289
বা, BC2 = 289 – 64
বা, BC2 = 225
বা, BC2 = 152
বা, BC = 15
এখন যেহেতু OC হল কেন্দ্রগামী সরলরেখা এবং OC , AB এর ওপর লম্ব সুতরাং , OC হল AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক ।
∴ AB = 2BC = 2×15 সেমি. = 30 সেমি. ।
প্রয়োগ-8. 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তে 8 সেমি. ও 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত । জ্যা দুটির মধ্যের দূরত্ব হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং AB ও CD জ্যা দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের বিপরীত পার্স্বে অবস্থিত । AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সেমি. এবং 6 সেমি. । AB || CD ।
O বিন্দু থেকে AB এবং CD জ্যা-এর ওপর OP এবং OQ লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ PB = ½ × AB = ½ × 8 = 4 সেমি.
এবং QD = ½ × CD = ½ × 6 = 3 সেমি.
আবার , OB = 5 সেমি.
এখন △OPB সমকোণী ত্রিভুজে ,
OP2+PB2 = OB2
বা, OP2 + 42 = 52
বা, OP2 = 25 – 16
বা, OP2 = 9
বা, OP2 = 32
বা, OP = 3
∴ OP = 3 সেমি.
একইভাবে সমকোণী ত্রিভুজ △OQD থেকে পাই ,
OQ2 +QD2 = OD2
বা, OQ2+32=52
বা, OQ2 +9 = 25
বা, OQ2= 25-9
বা, OQ2 = 16
বা, OQ2 = 42
বা, OQ = 4
সুতরাং , PQ = OP+OQ =(3+4) সেমি. = 7 সেমি. ।
∴ জ্যা দুটির মধ্যে দৈর্ঘ্য 7 সেমি. ।
প্রয়োগ-11. প্রমাণ করি যে , বৃত্তের কোনো জ্যা –এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক ওই বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
ধরা যাক , O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি যেকোনো জ্যা AB । প্রমাণ করতে হবে যে , AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী ।
O বিন্দুর সাথে AB এর মধ্যবিন্দু D যোগ করা হল । এখন প্রমাণ করলেই হবে যে OD রেখাটি AB জ্যা-এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক ।
অঙ্কন- O,A এবং O,B যুক্ত করা হল ।
প্রমাণ- ত্রিভুজ △OAD এবং △OBD এর ,
OA = OB [ একই বৃত্তের ব্যসার্ধ ]
OD সাধারণ বাহু
AD = DB [ ∵ D, AB এর মধ্যবিন্দু ]
∴ △OAD ≅ △OBD
∴ ∠ODA = ∠ODB [অনুরূপ কোণ ]
আবার , ∠ODA+∠ODB=180°
বা, ∠ODA+∠ODA =180°
বা, 2∠ODA =180°
বা, ∠ODA = 180°/2
বা, ∠ODA = 90°
∴ OD , AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক ।
∴ বৃত্তের কোনো জ্যা –এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক ওই বৃত্তের কেন্দ্রগামী [প্রমাণিত] ।
প্রয়োগ-12. প্রমাণ করি যে , একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুই এর অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না ।
মনে করি একটি বৃত্ত XY সরলরেখাকে A , B ও C বিন্দুতে ছেদ করে ।
∴ AB ও AC হল বৃত্তটির জ্যা ।
মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O এবং AB ও AC এর মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে P ও Q । O,P ও O,Q যুক্ত করা হল ।
আমরা জানি, জ্যা-এর মধ্যবিন্দু থেকে কেন্দ্রগামী রেখাংশ জ্যা-এর উপর লম্ব হয় ।
∴ OP ⊥ AB এবং OQ ⊥ AC
∴ OP ⊥ XY এবং OQ ⊥ XY যা অসম্ভব
[ ∵ একই সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বগুলি পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু এখানে OP ও OQ পরস্পর ছেদী । ]
∴ একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুই এর অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না [প্রমাণিত] ।
Important Links
Madhyamik Previous Year Solution
আমাদের এই POST টি, আপনাদের পছন্দ হলে Share করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ,WhatsApp চ্যানেল জয়েন করুন এবং YouTube Channel Subscribe করুন ।