বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class 10

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class 10|মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০)(টেন) কষে দেখি ১৯ সমাধান|WBBSE Madhyamik Class 10(Ten)(X) Math Solution Of Chapter 19|Ganit Prakash Class 10 Koshe Dekhi 19|West Bengal Board Class 10 Math Solution In Bengali|Madhyamik Math Solution Of Chapter 19.

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

WBBSE OFFICIAL SITE

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

1.আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির । এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি. চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি. । 1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ শঙ্কু এবং চোঙ উভয়েরই ভূমিতলের ব্যাস 20 সেমি.।

∴ শঙ্কু এবং চোঙ উভয়েরই ব্যাসার্ধ (r) = 20/2 সেমি.= 10 সেমি.।

চোঙের উচ্চতা (h1)= 2.8 মিটার = 280 সেমি.

শঙ্কুর উচ্চতা (h2) = 42 সেমি.

এখন নিরেট লোহার স্তম্ভের আয়তন

= চোঙাকৃতি অংশের আয়তন + শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন

= (πr2h1+ 1/3 πr2h)ঘন সেমি.

Madhyamik Math Solution Of Chapter 19

= (22✕100✕40+22✕100✕2) ঘন সেমি.

= (88000+4400) ঘন সেমি.

= 92400 ঘন সেমি.

এখন , 1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম

∴ 92400 ঘন সেমি লোহার ওজন (92400✕7.5) গ্রাম = 693000 গ্রাম= 693 কিলোগ্রাম

∴ লোহার স্তম্ভের মোট ওজন 693 কিলোগ্রাম ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

2.একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি. । শঙ্কুটির সমান আয়তন বিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা (h1) =20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা (l) = 25 সেমি.।

ধরি,শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r1 সেমি.

∴ l2=(h1)2+(r1)2

বা, (25)2 = (20)2+ (r1)2

বা, r12 = (25)2-(20)2

বা, r12=625-400

বা, r12=225

বা, (r1)2 = (15)2

বা, r1= 15

∴ শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 15 সেমি. ।

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা (h2) = 15 সেমি.

ধরি, চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r2 সেমি.।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

∴ চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে । 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণ ভাবে নিমজ্জিত করলে , জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ চোঙাকৃতি পাত্রের ভূমিতলের ব্যাস 24 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ ( r1) = 24/2 সেমি. = 12 সেমি.

নিরেট শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 6 সেমি.

∴ নিরেট শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (r2) = 6/2 সেমি. =3সেমি.

নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 4 সেমি.

ধরি , 60টি নিরেট শঙ্কু ,চোঙাকৃতি পাত্রে্র জলে নিমজ্জিত করলে, জলতল x সেমি. বৃদ্ধি পাবে ।

∴  x সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট জলস্তম্ভের আয়তন = 60 টি নিরেট শঙ্কুর আয়তন

∴ চোঙাকৃতি পাত্রের জলতল 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ ধরি , নিরেট শঙ্কু ও নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা যথাক্রমে r একক এবং h একক ।

ধরি , নিরেট শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l একক ।

∴ l2 = h2+r2

এখন , নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh বর্গ একক ।

শর্তানুসারে ,

 πrl : 2πrh = 5:8

বা, 64h2+64r2= 100h2

বা, 64r2 = 100h2-64h2

বা, 64r2=36h2

∴ উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত 3:4 ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

5.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ বড় গোলকের ব্যাসার্ধ (r 1) = 8 সেমি.

ছোট গুলির ব্যাস = 1 সেমি.

∴ ছোট গুলির ব্যাসার্ধ (r2) =1/2 সেমি.

ধরি , 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলককে গলিয়ে x টি 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের গোলক পাওয়া যাবে, ∴ 8 সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলকের আয়তন = x টি 1 সেমি ব্যাসের নিরেট গোলকের আয়তন ।

∴ 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 4096 টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি. । দণ্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) =32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা (h)=35 সেমি.

নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা (h1) = 28 সেমি. এবং ব্যাসার্ধ (r1) = 8 সেমি.

ধরি , এই লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার স্তম্ভ গলিয়ে x টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে , সুতরাং, লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের আয়তন = x টি নিরেট শঙ্কুর আয়তন

∴ 60 টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.2 ডেসিমি, ∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ (r ) = (4.2/2) ডেসিমি. = 2.1 ডেসিমি.।আবার , শঙ্কুর উচ্চতা ,ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে সমান

∴ শঙ্কুরটির উচ্চতা (h) = 4.2 ডেসিমি.

∴ শঙ্কুটির আয়তন

= 19404 ঘনসেমি. [∵1ঘনডেসিমি.=1000 ঘনসেমি.]

∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19404 ঘনসেমি.।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০

8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে , চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ।

∴ ধরাযাক, নিরেট গোলক এবং লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা h একক ।

আবার তাদের ঘনফলও সমান ,

∴ r:h=3:4

∴ চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3:4 ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

9. 6.6 ডেসিমি দীর্ঘ , 4.2 ডেসিমি প্রশস্থ এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি ।

সমাধানঃ তামার আয়তঘনাকার টুকরোর দৈর্ঘ্য = 6.6 ডেসিমি. , প্রস্থ = 4.2 ডেসিমি. এবং উচ্চতা = 1.4 ডেসিমি. । ∴ আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = দৈর্ঘ্য ✕প্রস্থ ✕উচ্চতা = (6.6✕4.2✕1.4 ) ঘন ডেসিমি.

নিরেট গোলকের ব্যাস = 2.1 ডেসিমি.

∴ ব্যাসার্ধ ( r ) = 2.1/2 ডেসিমি

ধরি , আয়তঘনার টুকরো গলিয়ে x টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে, ∴ আয়তঘনার টুকরোর আয়তন = x টি নিরেট গোলকের আয়তন

∴ 8 টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে ।

আবার , প্রতি গোলকে ধাতুর পরিমাণ

প্রতি গোলকে ধাতুর পরিমাণ নিম্নউপায়ও নির্ণয় করা যায়

প্রতি গোলকে ধাতুর পরিমাণ

= 4.851 ঘন ডেসিমি.

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে , দন্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ  সোনার নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r1) = 4.2 সেমি.

নিরেট লম্ববৃত্তকার দণ্ডের ব্যাস = 2.8 ডেসিমি.

∴ নিরেট লম্ববৃত্তকার দণ্ডের ব্যাসার্ধ (r2) = 2.8/2 ডেসিমি. = 1.4 সেমি.

ধরি , লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য h সেমি.

যেহেতু নিরেট সোনার গোলক পিটিয়ে, একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি দণ্ড তৈরি করা হয়েছে ,সুতরাং তাদের আয়তন সমান ।

  ∴ এই শর্তানুসারে ,

∴ লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি. ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

11.6 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে , দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ রৌপ্য গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 6 ডেসিমি.

∴ রৌপ্য গোলকের ব্যাসার্ধ (r ) = 6/2 ডেসিমি. = 3 ডেসিমি.

লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের উচ্চতা (h) = 1 ডেসিমি.

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার নিরেট দণ্ডের ব্যাসার্ধ x ডেসিমি.

যেহেতু , রৌপ্য গোলক গলিয়ে নিরেট লম্ববৃত্তাকার দণ্ডটি তৈরি হয়েছে সুতরাং তাদের আয়তন সমান ।

বা, x2 =(6)2

বা, x = 6

সুতরাং লম্ববৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 ডেসিমি. ।

12.একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি. । সেই দণ্ডটি গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হল । গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি হয়, তবে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r )= 3.2 ডেসিমি.= 32 সেমি.

নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r ) = 8 সেমি.

ধরি , লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য h সেমি.

যেহেতু , নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হল অর্থাৎ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের আয়তন = 21 টি নিরেট গোলকের আয়তন,

∴ দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 14 সেমি.।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

13. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ , 11 ডেসিমি. প্রশস্থ এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে । এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কতটা উপরে উঠবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি,  21 ডেসিমি. দীর্ঘ , 11 ডেসিমি. প্রশস্থ এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চায় 21 সেমি. ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দিলে  জলতল h সেমি. উঠবে ।

লোহার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.

∴ লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r )=21/2 সেমি.=21/20 ডেসিমি.

এখন,h উচ্চতার জলস্তম্ভের আয়তন =100 টি লোহার গোলকের আয়তন,

∴ চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি. উপরে উঠবে ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু , একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ যেহেতু , প্রদত্ত ঘনবস্তু গুলির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যও সমান হবে ।

ধরি , নিরেট শঙ্কু ,নিরেট অর্ধ গোলক এবং নিরেট চোঙের প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ r একক ।

এখন ,নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = উচ্চতা = r  

∴ নিরেট শঙ্কু ও নিরেট চোঙের উচ্চতা r একক ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

15. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি. । গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে , দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ ( r2) = 6 সেমি.

গোলকটি 1 সেমি পুরু অর্থাৎ গোলকটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r1) = (6-1) সেমি. =5 সেমি.

 লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাসার্ধ (r ) = 2 সেমি.

ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের উচ্চতা h সেমি.

যেহেতু , ফাঁপা গোলককে গলিয়ে লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হয়েছে সুতরাং ফাঁপা গোলকের আয়তন এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের আয়তন সমান,

∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য (30 পূর্ণ 1/3) সেমি ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি. । সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়িতে পরিণত করা যায় , তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ কাঠের লগের দৈর্ঘ্য ( h ) = 2 মিটার

কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি. = 1.4 মিটার ।

∴ আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন ={প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল ✕ দৈর্ঘ্য (বা উচ্চতা )}={(1.4✕1.4)✕2}ঘন মিটার = 3.92 ঘন মিটার ।

এখন সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে কাঠের লগটিকে যদি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়িতে পরিণত করা যায় সেক্ষেত্রে লগের প্রস্থচ্ছেদ অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে গুঁড়ির ব্যাস , আবার লগের দৈর্ঘ্য এবং লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির দৈর্ঘ্য সমান ।

∴ গুঁড়ির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 1.4 মিটার ।

∴ গুঁড়ির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r ) = 1.4/2 মিটার = 0.7 মিটার

এবং লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির দৈর্ঘ্য ( h ) = 2 মিটার ।

∴ লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন

∴নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ = লগের আয়তন – লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন = (3.92-3.08)ঘন মিটার = 0.84 ঘন মিটার ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) r একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হল । শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

(a) 2r একক

(b) 3r একক

(c) r একক

(d) 4r একক

Ans: (a) 2r একক

সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য x একক ।

যেহেতু, নিরেট গোলককে গলিয়ে শঙ্কুটি তৈরি করা হয়েছে সুতরাং তাদের আয়তন সমান ।

বা, x2 = (2r)2

বা, x =2r

∴ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল যার উচ্চতা 5 সেমি. । শঙ্কুটির উচ্চতা

(a) 10 সেমি.

(b) 15 সেমি.

(c) 18 সেমি.

(d) 24 সেমি.

Ans: (b) 15 সেমি.

সমাধানঃ ধরি ,  নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ উভয়েরই ব্যাসার্ধ r সেমি. এবং শঙ্কুর উচ্চতা h সেমি.। যেহেতু, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল সুতরাং তাদের আয়তন সমান ।

∴ শঙ্কুটির উচ্চতা 15 সেমি. ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক । চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য

(a) r একক

(b) 2r একক

(c ) r/2 একক

(d ) 4r একক

Ans: (b) 2r একক

সমাধানঃ একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক ।

∴ চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের সঙ্গে বা চোঙের উচ্চতার সাথে সমান হবে ।

∴ গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r একক ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০

(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন

(a) 4πr3 ঘনএকক

(b) 3πr3 ঘনএকক

(c )πr3 /4  ঘনএকক

(d) πr3 /3  ঘনএকক

Ans: (d) πr3 /3  ঘনএকক

সমাধানঃ r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার ব্যাসার্ধও হবে r একক এবং উচ্চতাও হবে r একক ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে , গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য

(a) x একক

(b) 2x একক

(c ) x/2 একক

(d) 4x একক

Ans: (a) x একক

সমাধানঃ x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে , গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য , ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্যের সমান ।

∴ গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য x একক ।

Madhyamik Math Solution Of Chapter 19|Koshe Dekhi 19|বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা|কষে দেখি ১৯

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

(B) নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে , মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে 6πr2 বর্গ একক ।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা ।

সমাধানঃ  দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, যে ঘনবস্তু তৈরি হবে সেটি একটি গোলক যার ব্যাসার্ধও হবে r একক সুতরাং তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে 4πr2 বর্গএকক ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক । শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুরে দেওয়া হলো । যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ( πrl+2πrh+2πr2 ) বর্গ একক ।

উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা ।

সমাধানঃ একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক । শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুরে দেওয়া হলো । যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ( πrl+2πrh+πr2 ) বর্গ একক ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের  ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ।দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + __________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধ গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল ।

উত্তরঃ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের

(ii) একমুখ কাটা একটি পেন্সিলের আকার শঙ্কু ও ________ এর সমন্বয় ।

উত্তরঃ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ।

(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল । গোলক ও চোঙের আয়তন _________ ।

উত্তরঃ সমান ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল । উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান । যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয় , তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা h সেমি.।  যেহেতু নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হয়েছে সুতরাং তাদের আয়তন সমান ।

বা, h = 5 [উভয়পক্ষে πr2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]

∴ নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি. ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান । গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক । যেহেতু , নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান । ∴ নিরেট শঙ্কুর  ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক ।  

যেহেতু , নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও নিরেট গোলকের আয়তন সমান ,

বা, 2r:h = 2:4 =1:2

∴ গোলকের ব্যাস ও উচ্চতার অনুপাত 1:2 ।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19|Koshe Dekhi 19 Class10|কষে দেখি ১৯ ক্লাস ১০|কষে দেখি 19 ক্লাস 10

(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ , নিরেট লম্ব শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু , প্রদত্ত ঘনবস্তু গুলির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যও সমান হবে ।

ধরি , নিরেট শঙ্কু ,নিরেট অর্ধ গোলক এবং নিরেট চোঙের প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ r একক ।

∴  নিরেট শঙ্কু ও নিরেট চোঙের উচ্চতা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের সমান ।

∴ নিরেট শঙ্কু ও নিরেট চোঙের প্রত্যেকের উচ্চতা  2r একক ।

এবং নিরেট চোঙের আয়তন = πr2h ঘন একক = πr2 (2r) ঘনএকক = 2πr3 ঘনএকক

= 3:1:2

(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের । যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয় , তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

সমধানঃ  ধরি , ঘন বস্তুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক ।

যেহেতু , ঘন বস্তুটির দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান অর্থাৎ শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও অর্ধ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান ।

∴ πrl = 2πr2 [ l হল শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা ]

বা, l = 2r

বা, l2 = 4r2

বা, h2+r2 = 4r2

বা, h2 = 3r2

বা, r:h = 1: √3

∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 1: √3

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর , ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান । গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন হলে , শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি ।

সমাধানঃ একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর , ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান । ধরি , একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর , ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের প্রত্যেকে r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক ।আবার গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন ।

∴ শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:1 ।

ধন্যবাদ । এই পোস্টটি আপনাদের ভাল লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এরকম আরও সুন্দর সুন্দর পোস্ট পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!