Madhyamik 2017 Math Solution || মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান || মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত (অঙ্ক) প্রশ্ন -উত্তর || Madhyamik 2017 Math Question Paper with Solution (Complete)
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করঃ
(i) কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত 25:28 হলে বার্ষিক সুদের হার –
(a) 3%
(b) 12%
(c ) 10 পূর্ণ 5/7 %
(d) 8%
Ans:
সমাধানঃ ধরি আসল x টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার r% ।
(ii) কোন শর্তে ax2+bx+c =0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হবে ?
(a)a=0
(b) b=0
(c ) c = 0
(d) কোনোটিই নয়
Ans: (c ) c = 0
সমাধানঃ ax2+bx+c =0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য
∴ a.0 +b.0+c =0
বা, c=0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হওয়ার শর্ত হল c =0
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা –
(a) 2 টি
(b) 1 টি
(c ) 3 টি
(d) 4 টি
Ans: (d) 4 টি
(iv) sinϴ= cosϴ হলে 2ϴ -এর মান হবে –
(a) 30°
(b) 60°
(c ) 45°
(d) 90°
Ans: (d) 90°
সমাধানঃ
sinϴ= cosϴ
বা, sinϴ / cosϴ=1
বা, tanϴ =1 =tan45°
বা, ϴ = 45°
∴ 2ϴ = 2✕45° =90°
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে , শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের –
(a) 3 গুন
(b) 4 গুন
(c ) 6 গুন
(d) 8 গুন
Ans: (d) 8 গুন
সমাধানঃ
ধরি , শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।
∴ শঙ্কুর আয়তন = 1/3 π r2h ঘনএকক
আবার শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকে দ্বিগুন হলে পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ হবে 2r একক এবং পরিবর্তিত উচ্চতা হবে 2h একক
এখন শঙ্কুটির আয়তন = 1/3 π (2r)2 (2h) ঘনএকক = 8✕(1/3 π r2h) ঘনএকক
∴ এখন শঙ্কুটির আয়তন পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের তুলনায় 8 গুন বৃদ্ধি পাবে ।
(vi) 2,8,2,3,8,5,9,5,6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা –
(a) 8
(b) 6.5
(c ) 5.5
(d) 5
Ans: (d) 5
সমাধানঃ
2,8,2,3,8,5,9,5,6 সংখ্যাগুলিকে ছোট থেকে বড় হিসেবে সাজিয়ে পাই ,
2,2,3,5,5,6,8,8,9
এক্ষেত্রে n = 9 (বিজোড় সংখ্যা )
∴ নির্ণেয় মধ্যমা
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের বিগত বছরের প্রশ্ন উত্তর (Click Here)
2. শূন্যস্থান পূরণ করঃ
(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে _________ বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান ।
Ans: এক ।
(ii) ax2+bx+c =0(a¹0) দ্বিঘাত সমীকরণের b2 -4ac হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও _________হবে ।
Ans: সমান ।
(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি ___________ হবে ।
Ans: সদৃশ ।
(iv) cos2ϴ-sin2ϴ= 1/X হলে , cos4ϴ -sin4ϴ= __________
Ans: 1/X
সমাধানঃ cos4ϴ -sin4ϴ = (cos2ϴ+sin2ϴ)(cos2ϴ-sin2ϴ) = 1/X
(v) একটি নিরেট অর্ধ- গোলোকের সমতল সংখ্যা _________ ।
Ans: একটি ।
(vi) x1,x2,x3,………,xn এই n সংখ্যক সংখ্যার গড় x̅ হলে , Kx1 ,Kx2,Kx3,……. ,Kxn এর গড় __________ ।
Ans: k x̅
সমাধানঃ
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
3. সত্য বা মিথ্যা লেখোঃ
(i) A 10000 টাকা দিয়ে ব্যাবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20000 টাকা দিল । বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে ।
উত্তরঃ সত্য ।
সমাধানঃ A ও B এর মূলধনের অনুপাত
= (10000✕12): (20000✕6)
= 120000: 120000
= 1:1
এখন যেহেতু মূলধনের অনুপাত = লভ্যাংশের অনুপাত
∴ A ও B এর লভ্যাংশের অনুপাতও হবে 1:1 । সুতরাং A ও B এর লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে ।
(ii) x = 2+√3 হলে, x + 1/x এর মান হবে 2√3
Ans: মিথ্যা ।
সমাধানঃ x = 2+√3
(iii) 7 সেমি. ও 3 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্র দ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি. হবে ।
Ans: মিথ্যা ।
(iv) 0° < ϴ< 90° হলে , sinϴ> sin2ϴ হবে ।
Ans: সত্য ।
(v) একটি অর্ধগোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি. হবে ।
Ans: মিথ্যা ।
সমাধানঃ একটি অর্ধগোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π ।
∴ 3πr2 =36π
বা, r2 =12
বা, r = √12
∴ ব্যাসার্ধ √12 সেমি ।
(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x অক্ষের উপর লম্ব টানলে , x অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা ।
Ans: সত্য ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাওঃ
(i) r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুন হলে কত বছরে 4 গুন হবে
সমাধানঃ ধরি , মূলধনের পরিমাণ x টাকা ।
এখন x টাকা r% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8 বছরে দ্বিগুন হয় ।
বা, n =16
∴ 16 বছরে ওই মূলধন 4 গুন হবে ।
(ii) কোনো এক ব্যাবসায় A এর মূলধন B এর মূলধনের দেড়গুণ । ওই ব্যাবসায় বৎসরান্তে B 1500 টাকা লভ্যাংশ পেলে , A কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?
সমাধানঃ ধরি , B এর মূলধন x টাকা ।
ধরি , A এর লভ্যাংশ y টাকা ।
যেহেতু মূলধনের অনুপাত এবং লভ্যাংশের অনুপাত সমান
∴ 3:2 = y :1500
বা, 2y = 4500
বা, y = 4500/2
বা, y = 2250
∴ A 2250 টাকা লভ্যাংশ পাবে ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(iii) সমাধান না করে p এর যে সকল মানের জন্য x2 +(p-3)x+p=0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে ax2+bx+c =0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই , a = 1 , b = (p-3) এবং c = p
যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান
∴ b2 -4ac =0
বা, (p-3)2 -4(1)(p) =0
বা, p2 – 6p +9 -4p =0
বা, p2 -10p +9 = 0
বা, p2 -9p –p +9=0
বা, p(p-9) -1(p-9) =0
বা, (p-9)(p-1) =0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয়, (p-9)=0
বা, p =9
অথবা , (p-1) =0
বা, p =1
∴ p=1 এবং p = 9
উত্তরঃ P এর মান 1 বা 9 হলে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে ।
(iv) x ∝ yz এবং y ∝zx হলে , দেখাও যে , z (≠0) একটি ধ্রুবক ।
সমাধানঃ x ∝ yz
∴ x = Ayz [ Aএকটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
আবার , x ∝ zx
∴ y = Bzx [ B একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
∴ y = Bz (Ayz) [যেহেতু x = Ayz]
বা, y = ABz2 y
বা, ABZ2 =1
বা, z2 = 1/AB
বা, z = 1/ √AB = ধ্রুবক
∴ z = ধ্রুবক [ প্রমাণিত ]
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(v) দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি. ও 16 সেমি. । প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি. হলে দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধানঃ ধরা যাক, ত্রিভুজ ABC এবং ত্রিভুজ DEF পরস্পর সদৃশ ।
∴ AB=kDE ,BC=kEF এবং AC=kDF
∴ AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)
বা, 20 = k(16) [ যেহেতু ত্রিভুজ ABC এবং ত্রিভুজ DEF এর পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি. এবং 16 সেমি. ]
∴ দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি.।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(vi) ∆ABC এর ∠ABC =90° , AB =5সেমি. , BC=12 সেমি. হলে ওই ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ কত ?
∴ ওই ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 13/2 সেমি. = 6.5 সেমি.।
(vii) ABC ত্রিভুজের AB=(2a-1) সেমি. ,AC= 2√(2a) সেমি. এবং BC=(2a+1) সেমি. হলে, ∠BAC এর মান কত ?
সমাধানঃ AB2+AC2 = (2a-1)2+{2√(2a)}2 = 4a2-4a+1+8a= 4a2+4a+1=(2a+1)2=BC2
∴ AB2+AC2 = BC2 [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজ যার A সমকোণ ।
∴ ∠BAC=90°
(viii) x = asecϴ ,y = btanϴ হলে , x ও y এর ϴ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
x = asecϴ
∴ x/a = secϴ
y = btanϴ
∴ y/b =tanϴ
যেহেতু , sec2ϴ -tan2ϴ =1
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(ix) tan(ϴ+15°) = √3 , হলে , sinϴ+cosϴ এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ tan(ϴ+15°) = √3
বা, tan(ϴ+15°) = tan60°
বা, (ϴ+15°) = 60°
বা, ϴ = 60°-15°
বা, ϴ= 45°
∴ sinϴ+cosϴ
=sin45°+cos45°
∴ sinϴ+cosϴ = √2
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(x) একটি গোলোকের ব্যাস অপর গোলোকের ব্যাসের দ্বিগুন । যদি বড় গোলোকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সংখ্যামান ছোট গোলোকটির আয়তনের সংখ্যামানের সমান হয় , তবে ছোট গোলোকটির ব্যাসার্ধ কত ?
সমাধানঃ ধরি , বড় গোলোকটির ব্যাস 2R একক এবং ছোট গোলোকটির ব্যাস 2r একক ।
∴ 2R = 2(2r)
বা, R = 2r
বড় গোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR2 বর্গ একক ।
শর্তানুসারে ,
বা, 48πr2 = 4πr3
বা, r3 / r2 = 48 / 4
বা, r = 12
∴ ছোট গোলোকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 12 একক ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(xi) একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x , ধার সংখ্যা y , শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা p হলে , x-y+z+p -এর মান কত ?
সমাধানঃ একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x , ধার সংখ্যা y , শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা p । ∴ x = 6 ,y = 8 , z = 4 এবং p = 4
∴ x-y+z+p = 6-8+4+4 = 6
(xii) যদি 11 ,12,14, x-2,x+4 ,x+9,32,38,47 রাশিগুলির ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে , x এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ রাশিগুলির সংখ্যা (n) = 9
∴ x+4 = 24
বা, x = 24-4
বা, x =20
∴ x = 20
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
5.
(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে ।
সমাধানঃ ধরি , বার্ষিক 4% হার সুদে x টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে ।
বার্ষিক 4% হার সুদে x টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
বার্ষিক 4% হার সুদে x টাকার 2 বছরের সরল সুদ
∴বার্ষিক 4% হার সুদে 50000 টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 50000 টাকা ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(ii) A,B ,C যৌথ ভাবে 1,80,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করল । A ,B এর থেকে 20000 টাকা বেশী দিল । লাভের পরিমাণ 10800 টাকা ত্যাদের মধ্যে ভাগ করে দাও ।
সমাধানঃ ধরি , C এর মূলধনের পরিমাণ x টাকা ।
∴ B এর মূলধনের পরিমাণ = (x+20000) টাকা এবং A এর মূলধনের পরিমাণ = (x+20000+20000) টাকা = (x+40000) টাকা ।
∴ x+x+20000 +x+40000 =180000
বা, 3x+60000 =180000
বা, 3x = 180000-60000
বা, 3x = 120000
বা, x = 120000/3
বা, x = 40000
∴ A,B ও C এর মূলধনের অনুপাত
= (40000+40000) : (40000+20000) : 40000
= 80000 :60000 :40000
= 4:3:2
∴ A এর লাভের পরিমাণ 4800 টাকা , B এর লাভের পরিমাণ 3600 টাকা এবং C এর লাভের পরিমাণ 2400 টাকা ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
6.
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় (x+a)=0
বা, x = -a
অথবা (x+b)=0
বা, x = -b
∴ নির্ণেয় সমাধান x = -a এবং x = -b
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(ii) একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার পাঁচগুন ,তার বর্গের দ্বিগুন অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত ?
সমাধানঃ ধরি , ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হল x ।
শর্তানুসারে ,
5x = 2x2-3
বা, 2x2 -5x-3 =0
বা, 2x2 – (6-1)x-3=0
বা, 2x2-6x+x-3=0
বা, 2x(x-3)+1(x-3) =0
বা, (x-3)(2x+1) =0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ (x-3)=0
বা, x = 3
অথবা , (2x+1)=0
বা, 2x = -1
বা, x = -1/2
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা
∴ x = 3
সুতরাং সংখ্যাটি হল 3 ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
7.
= √3-√2 –(2√3+2-3-√3)+(3√2+3-4-2√2)
= √3-√2-(√3-1) + (√2 -1)
= √3 -√2 -√3+1+√2-1
= 0
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
(ii) একটি হোস্টেলের ব্যায় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ওই হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে । আবাসিকদের সংখ্যা 120 হলে ব্যায় 2000 টাকা এবং আবাসিকদের সংখ্যা 100 হলে ব্যায় 1700 টাকা হয় । ব্যায় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যা কত হবে ?
সমাধানঃ ধরি , হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যা x জন এবং ধ্রুবক অংশের পরিমাণ K টাকা এবং ব্যায়ের বাকি অংশ y টাকা এবং মোট খরচ A টাকা ।
এখন যেহেতু আংশিক ব্যায় হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে
∴ y ∝ x
বা, y = p x [ যেখানে p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
∴ মোট খরচ A = K + px —-(i)
এখন x = 120 হলে A = 2000 টাকা ।
∴ 2000 = K+120p —- (ii)
আবার , x = 100 হলে A = 1700 টাকা
∴ 1700 = K+100p —-(iii)
(ii) ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,
20p = 300
বা, p = 300/20
বা, p = 15
P এর প্রাপ্ত মান (ii) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই ,
K + 120(15) = 2000
বা, K + 1800 = 2000
বা, K = 2000-1800
বা, K = 200
∴ (i) নং সমীকরন থেকে পাই ,
A = 200+ 15x
এখন মোট খরচ A = 1880 টাকা হলে ,
1880 = 200+15x
বা, 15x = 1680
বা, x = 1680 / 15
বা, x = 112
∴ নির্ণেয় আবাসিক সংখ্যা 112 জন ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
সমাধানঃ
বা, a(c+a) = b(b+c)
বা, ac+a2 = b2+bc
বা, a2 – b2 +ac –bc=0
বা, (a+b)(a-b) +c(a-b) =0
বা, (a-b)(a+b+c) = 0
∴হয় (a+b+c) = 0
অথবা (a-b) = 0
বা, a = b —(i)
বা, b(a+b) = c(c+a)
বা, ba +b2 = c2 +ca
বা, b2 –c2 +ba – ca =0
বা, (b+c)(b-c) + a(b-c) =0
বা, (b-a)(b+c+a) =0
∴হয় (a+b+c) = 0
অথবা (b-c) = 0
বা, b = c —(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই , a =b =c
এখন , a/(b+c) = a/(a+a) = a/2a = 1/2
এবং b/(c+a) = b/(b+b) =b/2b =1/2
এবং c/(a+b) = c/(c+c) = c/2c =1/2
আবার , (a+b+c) = 0 হলে ,
(a+b) = – c , (b+c) =- a এবং (c+a) = -b হয় ।
সুতরাং প্রতিটি অনুপাতের মান ½ অথবা -1 ( প্রমাণিত ) ।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
সমাধানঃ
(b+c-a)x = (c+a-b)y = (a+b-c)z = 2
∴ (b+c-a)x = 2
এবং (c+a-b)y=2
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
9.
(i) যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর যে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে ।
দশম শ্রেণির গণিতের পাঠ্য বই (গণিত প্রকাশ )-এর উপপাদ্য 50 দেখ ।
(ii) কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান ।
দশম শ্রেণির গণিতের পাঠ্য বই (গণিত প্রকাশ )-এর উপপাদ্য 41 দেখ ।
10.
(i) প্রমাণ করো যে , কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডক গুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে , সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।
প্রদত্তঃ ABCD একটি চতুর্ভুজের AR,BP,CP ও DR যথাক্রমে ∠A,∠B,∠C ও ∠D এর সমদ্বিখন্ডক পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ উৎপন্ন করেছে ।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।
প্রমানঃ ∆ARD এর , ∠ARD+∠RDA+∠DAR =180º
বা, ∠ARD+ ∠A/2 +∠D/2 = 180°—(i)
আবার , ∆BPC -এর , ∠BPC+∠PCB+∠CBP =180º
বা, ∠BPC+∠C/2 +∠B/2 =180°—(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই ,
∠ARD+ ∠A/2 +∠D/2 + ∠BPC+∠C/2 +∠B/2 =180°+180°
∠ARD+∠BPC+ 1/2(∠A+∠B+∠C+∠D)=360°
বা, ∠ARD+∠BPC =360º-180º =180º
∴ ∠QRS +∠QPS =180°
∴ PQRS চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ সম্পূরক
∴ PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (প্রমাণিত)।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের বিগত বছরের প্রশ্ন উত্তর (Click Here)
(ii) ত্রিভুজ ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC , প্রমাণ কর যে ∠BOD =∠BAC ।
ধরি , ত্রিভুজ ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC , প্রমাণ করতে হবে যে , ∠BOD =∠BAC
অঙ্কনঃ B,O এবং C,O যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ BC চাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC =2 ∠BAC —–(i)
এখন ∆BOD ও ∆COD এর মধ্যে
OB =OC = বৃত্তের ব্যাসার্ধ
∠ODB = ∠ODC [ উভয়ই সমকোণ ]
এবং OD সাধারণ বাহু ।
∴ ∆BOD ≅ ∆COD
∴ ∠BOD = ∠COD = ½ ∠BOC = ½ .2∠BAC [(i) নং থেকে ]
= ∠BAC
∴ ∠BOD = ∠BAC [প্রমাণিত ]
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
11.
(i) 6 সেমি. বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো এবং ওই ত্রিভুজটির অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )
সমাধানঃ
(ii) 8 সেমি. ও 6 সেমি. বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করো এবং ওই আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )
সমাধানঃ
ABCD আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রটি হল CGHI।
12.
(i)কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3 , 5π/6 , 90° হলে , চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
Madhyamik 2017 Math Solution | মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০১৭ গণিত প্রশ্ন -উত্তর
আমরা জানি , sin2ϴ +cos2ϴ =1
∴ sinϴ-cosϴ
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
13.
(i) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার । একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুন । স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক । ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ মনে করি , বৃহত্তম স্তম্ভটি PQ এবং অপর স্তম্ভটি AB .
এখানে PQ ও AB পাদদেশের সংযোজক রেখাংশ BQ –এর মধ্যবিন্দু C তে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে ϴ এবং (90° -ϴ ) .
অর্থাৎ ∠PCQ = ϴ এবং ∠ACB = (90°-ϴ). আবার BQ = 150 মিটার ।
∴ BC = QC= 75 মিটার ।
এখন ∆PCQ এর ∠PQC =90° এবং ∠PCQ = ϴ
∴ tanϴ= PQ/QC
বা, PQ = QC tanϴ
বা, 3AB = 75 tanϴ [ যেহেতু PQ = 3AB ]
বা, AB = 25 tanϴ —-(i)
আবার , ∆ABC –এর ∠ABC =90° এবং ∠ACB =(90°-ϴ)
∴ tan(90°-ϴ) =AB/BC
বা, cotϴ = AB/BC
বা, AB = BC cotϴ
বা, AB = 75cotϴ —-(ii)
এখন (i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই ,
AB2 = 25tanϴ ✕ 75 cotϴ
বা, AB2 = 25✕25✕3
বা, AB = 25√3
∴ PQ = 3AB =3 ✕25√3 = 75√3
সুতরাং বড় স্তভের উচ্চতা 75√3 মিটার এবং ছোট স্তম্ভের উচ্চতা 25√3 মিটার ।
(ii) 10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দুরত্বে থাকে ,তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে ?
সমাধানঃ ধরাযাক , AB হল লাইট হাউসের উচ্চতা । A বিন্দু থেকে C বিন্দুতে এবং D বিন্দুতে অবস্থিত জাহাজের মাস্তুলের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° । আবার লাইট হাউস থেকে কাছের জাহাজের দূরত্ব 150 মিটার ।
∴ BC =150 মিটার ।
AE || BD অঙ্কন করা হল
∴ ∠EAC = 60°এবং ∠EAD = 30°
আবার , ∠ACB = ∠EAC [একান্তর কোণ] এবং ∠EAD = ∠ADB [একান্তর কোণ ]
∴ ∠ACB =60° এবং ∠ADB = 30°
ABC ত্রিভুজে ∠ACB = 60° এবং ∠ABC = 90°
বা, AB = 150√3—(i)
আবার , ABD ত্রিভুজে ∠ABD =90° এবং ∠ADB = 30°
বা, 150+CD= 450
বা, CD = 300
∴ BD = BC+CD = 150+300=450মিটার
∴ লাইট হাউস থেকে দূরের জাহাজের দূরত্ব 450 মিটার ।
14.
(i) 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.2 ডেসিমি, ∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ (r ) = 4.2/2 ডেসিমি. = 2.1 ডেসিমি.
আবার , শঙ্কুর উচ্চতা ,ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে সমান
∴ শঙ্কুরটির উচ্চতা (h) = 4.2 ডেসিমি.
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= 19.404 ঘন ডেসিমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি.।
(ii) 9 সেমি. অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধ গোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি. ব্যাস এবং 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ (R ) = 9 সেমি.
∴ পাত্রের আয়তন
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস 3 সেমি. ।
∴ বোতলের ব্যাসার্ধ (r ) = 3/2 সেমি.
বোতলের উচ্চতা (h) = 4 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= πr2h ঘন সেমি.
ধরি , পাত্রটি খালি করতে x টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।
∴পাত্রের পাত্রের জলের আয়তন = x টি বোতলের জলের আয়তন
বা, 486 = 9x
বা, x = 486/9
বা, x = 54
∴ পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
(iii) একটি ঢাকনা সমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ ধরি , চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক
∴ πr2 = 616
বা, r 2 = 196
বা, r2 = (14)2
বা, r = 14
∴ চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ 14মিটার ।
চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের উচ্চতা (h) = 21 মিটার ।
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= (2πr 2 +2πrh) বর্গ মিটার
= (1232 + 1848) বর্গ মিটার
= 3080 বর্গ মিটার ।
∴ ঢাকনা সহ চোঙাকৃতি ট্যাঙ্কের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 3080 বর্গ মিটার ।
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের বিগত বছরের প্রশ্ন উত্তর (Click Here)
15.
(i) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে , xও y এর মান নির্ণয় কর যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100 .
| শ্রেণি সীমানা | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
| পরিসংখ্যা | 10 | x | 25 | 30 | y | 10 |
সমাধানঃ শ্রেণিটির পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল
| শ্রেণি –সীমানা | পরিসংখ্যা | ক্রম যৌগিক পরিসংখ্যা |
| 0-10 | 10 | 10 |
| 10-20 | X | 10+x |
| 20-30 | 25 | 35+x |
| 30-40 | 30 | 65+x |
| 40-50 | Y | 65+x+y |
| 50-60 | 10 | 75+x+y=n |
এখানে n = 100 ( প্রদত্ত)
শর্তানুসারে ,
75+x+y = 100
বা, x+y = 25 —-(i)
আবার যেহেতু মধ্যমা = 32
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণিটি হল (30-40)
বা, 15-x = 6
বা, x = 9
(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয় পাই ,
9 +y =25
বা, y = 25-9
বা, y = 16
∴ x = 9 এবং y = 16
(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করঃ
| শ্রেণি সীমানা | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 |
| পরিসংখ্যা | 5 | 12 | 18 | 28 | 17 | 12 | 8 |
সমাধানঃ উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু শ্রেণি (15-20)
= 15+2.38 (প্রায়)
= 17.38 ( প্রায় )
(iii) নীচের তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ( বৃহত্তর সূচক ) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করো ।
| শ্রেণি সীমানা | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 |
| পরিসংখ্যা | 4 | 10 | 15 | 8 | 3 | 5 |
সমাধানঃ
| শ্রেণি | বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা |
| 0 বা 0 এর বেশী | 45 |
| 5 বা 5 এর বেশী | 41 |
| 10 বা 10 এর বেশী | 31 |
| 15বা 15 এর বেশী | 16 |
| 20 বা 20 এর বেশী | 8 |
| 25 বা 25 এর বেশী | 5 |
X অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (0,45) ,(5,41) ,(10,31) ,(15,16) ,(20,8) ,(25,5) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে বৃহত্তর সূচক ওজাইভ পাওয়া গেল ।
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এই রকম সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।
Thanks for helping us
Hello sr ami 2017 to 2023 mater সমস্ত question answer nibo