কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10|গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০ কষে দেখি ২০|Madhyamik Math Solution Of Chapter 20|WBBSE Class 10 Math Solution Of Chapter 20|Ganit Prokash Class 10 Koshe Dekhi 20

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

WBBSE OFFICIAL SITE

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10|কষে দেখি 20 ক্লাস 10

জ্যামিতিক কোণ কাকে বলে?

উত্তরঃ পাশের চিত্রে ,O বিন্দু থেকে OA এবং OB রশ্মিদুটি নির্গত হওয়ায় O বিন্দুতে AOB ও প্রবৃদ্ধ কোণ BOA উৎপন্ন হয়েছে , এদের ‘জ্যামিতিক কোণ’ বলা হয় । জ্যামিতিক কোণের ক্ষেত্রে দিক ছাড়া কোণের পরিমাণই মূল বিচার্য বিষয় ।

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০
ত্রিকোণমিতিক কোণ কাকে বলে ?

উত্তরঃ পাশের চিত্রে , OA রশ্মির প্রান্তবিন্দু O -কে স্থির রেখে একই তলে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরিয়ে রশ্মির OA1 ,OA2 ,OA3 ইত্যাদি অবস্থান পেয়েছি যারা O বিন্দুতে যথাক্রমে ∠AOA1 , ∠AOA2 , ∠AOA3 ইত্যাদি বিভিন্ন কোণ উৎপন্ন করেছে । এই কোণ গুলিকে ত্রিকোণমিতিক কোণ বলা হয় ।

ত্রিকোণমিতিক কোণের ক্ষেত্রে ঘূর্ণায়মান রশ্মির দিক ও তার ফলে সৃষ্ট কোণের পরিমাপ উভয়ই বিচার করা হয় । ঘূর্ণায়মান রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে উৎপন্ন কোণটিকে রীতি অনুসারে ধনাত্মক কোণ বলে এবং রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে ঋণাত্মক কোণ সৃষ্টি হয় ।

জ্যামিতিক কোণের সর্বনিম্ন ও সর্বাধিক পরিমাপ হয় যথাক্রমে 0° এবং 360°; কিন্তু ত্রিকোণমিতিক কোণের পরিমাপ হল 0° থেকে 360° ছাড়াও 0° এর কম যেকোনো পরিমাপ এবং 360° এর বেশী যেকোনো পরিমাপ হতে পারে ।

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

ত্রিকোণমিতিক কোণ কি কি পদ্ধতিতে পরিমাপ করা হয় ও কি কি ?

উত্তরঃ ত্রিকোণমিতিক কোণ দুটি পদ্ধতিতে পরিমাপ করা হয় (i) ষষ্টিক পদ্ধতি (ii) বৃত্তীয় পদ্ধতি ।

ষষ্টিক পদ্ধতি বলতে কি বোঝো ?

উত্তরঃ দুটি পরস্পরছেদী সরলরেখা একে অপরের ওপর লম্বভাবে দাঁড়ালে যে কোণ তৈরি হয় তাকে সমকোণ বলে । এই পদ্ধতিতে এক সমকোণ কে 90 টি সমান ভাগে বিভক্ত করা হয় এবং তার প্রতিটি ভাগকে এক ডিগ্রি (1°) বলা হয় এবং এই কারনেই এক সমকোণ = 90° ; 1 ডিগ্রিকে পুনরায় 60 টি সমান ষষ্টিক মিনিটে ও প্রতি মিনিটকে 60 টি ষষ্টিক সেকেন্ডে বিভক্ত করা হয় ।

∴ পেলাম , 1 সমকোণ = 90°

1° = 60′ (মিনিট)

1′ = 60” (সেকেন্ড)

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

বৃত্তীয় পদ্ধতি বলতে কি বোঝো ?

উত্তরঃ একটি বৃত্তে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ ওই বৃত্তের কেন্দ্রে যে সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তার পরিমাপকে এক রেডিয়ান বলা হয় এবং লেখা হয় 1c ; যেকোনো একটি বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ধ্রুবক ।এই সম্পর্কটির উপর ভিত্তি করে এই পদ্ধতির একক নির্ধারিত হয়েছে ।

প্রমাণ করি 1 রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ ।

প্রমাণঃ

1° -এর মান বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

সমাধানঃ

কষে দেখি 20 ক্লাস 10

1. নিম্নলিখিত গুলিকে ডিগ্রি , মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করিঃ

(i) 832′

সমাধানঃ

(ii) 6312”

সমাধানঃ

(iii) 375”

সমাধানঃ

সমাধানঃ

(v) 72.04°

সমাধানঃ

72.04°

=72° +0.4°

= 72° + (.04✕60)’ [যেহেতু 1° =60′]

= 72° + 2.4′

= 72°+ 2′ +0.4′

= 72°2′(0.4✕60)” [যেহেতু 1’=60”]

=72°2’24”

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

2. নিম্ন লিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করঃ

(i) 60°

সমাধানঃ

180° = πc

(ii) 135°

সমাধানঃ

180° = πc

(iii) -150°

সমাধানঃ  

180° = πc

(iv) 72°

সমাধানঃ

180° = πc

(v) 22°30′

সমাধানঃ

(vi) -62°30′

সমাধানঃ

(vii) 52°52’30”

সমাধানঃ

(Viii) 40°16’24”

সমাধানঃ

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

3. ABC –এর AC=BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম । যদি ∠ACD = 144° হয় , তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

ABC ত্রিভুজের AC =BC

∴ ∠ABC = ∠CAB

এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে ,

∠ACD = 144°

∴ ∠ACB = 180°-144° = 36°

∴ ∠ABC = ∠CAB = (180°-36°)/2 = 72°

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/3 হলে , ষষ্টিক পদ্ধতিতে কোণ দুটির মান লেখ ।

সমাধানঃ ধরি , ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার সূক্ষ্মকোণ দুটি হল A এবং C ।

∴ A+C = 90° —(i)[যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির সমষ্টি 90° ]

আবার , A-C =2π/3 [যেহেতু π রেডিয়ান =180°]

বা, A-C = 72° —(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণদ্বয় যোগ করে পাই ,

A+C+A-C = 90°+72°

বা, 2A = 162°

বা, A = 162°/2

বা, A = 81°

A এর প্রাপ্ত মান (ii) নং সমীকরণের বসিয়ে পাই ,

81°-C = 72°

বা, 81°-72° =C

বা, C = 9°

∴ ষষ্টিক পদ্ধতিতে কোণ দুটির মান 81° এবং 9 ° ।

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

5.একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ Π /12 ; তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তরফল π/12 হলে , কোণদুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ  ধরি , কোণ দুটি হল x এবং y

∴ x+y = 135°—(i)

এবং x-y =π/12 = 15°[যেহেতু π রেডিয়ান =180°]

∴ x-y = 15° —(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

x+y+x-y = 135°+15°

বা, 2x = 150°

বা, x = 150°/2

বা, x = 75°

X এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

75° -y =15°

বা, y = 75°-15°

বা, y = 60°

∴ x ও y এর ষষ্টিক পদ্ধতিতে মান গুলি হল যথাক্রমে 75° এবং 60° ।

কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20 Class 10

7. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2:3:4 হলে , ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

ধরি , ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 2x , 3x এবং 4x ।

∴ 2x+3x+4x=180° [যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]

বা, 9x = 180°

বা, x = 180°/9

বা, x = 20°

∴ বৃহত্তম কোণটি হল 4x = 4✕20° = 80°

8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি. । এই বৃত্তে 5.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ আমরা জানি r  দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের বৃত্তে , s দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান  ϴহলে ,  s = rϴ হয়  ।

∴ 5.5 = 28ϴ

9. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে , প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লেখ ।

সমাধানঃ ধরি , প্রথম কোণের ষষ্টিক মান ϴ ।

যেহেতু কোণটি ঋণাত্মক তাই রশ্মিটি  ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরছে । ঘূর্ণায়মান রশ্মি 1 বার পূর্ণ আবর্তনে 360° কোণ উৎপন্ন করে ।

এখন , 915∕360 =

∴ রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপর 195° কোণ উৎপন্ন করেছে ।

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠ABC = 45° ; ABC –এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে । ∠ABD,BAD ,CBD এবং BCD –এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ABC = 45° ; ABC –এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে । যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক ,বিপরীত বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে  ।

12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয় । A,E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণ গুলির বৃত্তীয়মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ AB = BC = CA

আবার , BC =CE

∴ AC =CE

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

সমাধানঃ

14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে

(a) π/4 রেডিয়ান

(b) π/2 রেডিয়ান

(c ) π রেডিয়ান

(d) 2π রেডিয়ান

Ans: (d) 2π রেডিয়ান

সমাধানঃ 1 ঘণ্টায় ঘড়ির মিনিটের কাঁটার প্রান্তবিন্দু অতিক্রম করে 360° = 2π রেডিয়ান ।

(ii)  π/6 রেডিয়ান সমান

(a) 60°

(b) 45°

(c ) 90°

(d) 30°

Ans:  (d) 30°

কষে দেখি ২০|Koshe Dekhi 20

(iii) একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান

(a) π/3

(b) 2π/3

(c ) π/6

(d) π/4

(iv) s =rϴ সম্পর্কে ϴ -এর পরিমাপ করা হয়

(a) ষষ্টিক পদ্ধতিতে

(b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

(c ) ওই দুই পদ্ধতিতে

(d) ওই দুই পদ্ধতির কোনোটিতে নয়

Ans: (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

(v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 120°হলে , C এর বৃত্তীয় মান

(a) π/3

(b) π/6

(c ) π/2

(d) 2π/3

Ans:

সমাধানঃ যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক , ∴∠A+∠C =180°

∴ ∠C = 180°-∠A

বা, ∠C = 180° -120°

বা, ∠C = 60°

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক ।

উত্তরঃ বিবৃতিটি সত্য ।

(ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দুবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয় ।

Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা ।

সমাধানঃ একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দুবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য -720° কোণ উৎপন্ন হয় ।

(C ) শূন্যস্থান পূরণ করি ঃ

(i) π রেডিয়ান একটি _________ কোণ ।

উত্তরঃ ধ্রুবক কোণ ।

(ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _______ কোণ (প্রায়)।

15. (i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে ,R/D এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

(ii) 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পূরক কোণের মান লিখি ।

সমাধানঃ 90° = 89°60′ = 89°59’60”

∴ 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পূরক কোণের মান

    = 89°59’60”-63°35’15”=26°24’45”

(iii) একটি  ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5” হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক মান

= 180° -(65°56’55”+64°3’5”)

= 180° -130°

= 50°

(iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি. দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 63°পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ 200 সেমি. ।

(v) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু  1 ঘণ্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি ।

সমাধানঃ একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় কেন্দ্রে 360° বা 2π রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে ।

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

ধন্যবাদ । POST টি ভাল লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!