Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ কষে দেখি ৭.১ সমাধান|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি কষে দেখি ৭.১ সমাধান|WBBSE Class 8 Chapter 7 Exercise 7.1 Solution.

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ কষে দেখি ৭.১ সমাধান|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি কষে দেখি ৭.১ সমাধান|WBBSE Class 8 Chapter 7 Exercise 7.1 Solution.

1.দুটি  সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় তাদের আঁকি ও নাম লিখি ।

সমাধানঃ দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় সেগুলি হল ∠POS  ও ∠ROQ এবং ∠POR  ও ∠SOQ ।

2. ছবি  দেখি ও কোণগুলির মান লেখার চেষ্টা করি ঃ

(a) ∠1=350 , ∠2  = ? , ∠ 3 = ?  , ∠4 = ?

সমাধানঃ

∠1=বিপ্রতীপ ∠3 এবং ∠2=বিপ্রতীপ ∠4

∵ ∠1=350 ,  ∴ ∠3=350

আবার ,  ∠1+ ∠2=1800   

∴  ∠2 =1800 – ∠1

বা, ∠2 = 1800 -350

বা,   ∠2=1450   

∴ ∠4=1450   

(b) ∠TOS=200  , ∠ROQ=600  , ∠POT= ? , ∠ROP= ?  ∠QOS= ?

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ কষে দেখি ৭.১ সমাধান|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি কষে দেখি ৭.১ সমাধান|WBBSE Class 8 Chapter 7 Exercise 7.1 Solution.

সমাধানঃ ∠ROQ= বিপ্রতীপ ∠POS এবং ∠ROP= বিপ্রতীপ  ∠QOS

∠ROQ=600

সুতরাং , ∠POS=600

বা,  ∠POT+ ∠TOS=600

বা,  ∠POT=600 – ∠TOS

বা,  ∠POT=600 – 200

∴ ∠POT=400

∠ROP+ ∠ROQ=1800

বা,  ∠ROP=1800 – ∠ROQ

বা,  ∠ROP=1800 – 600

∴  ∠ROP=1200

∴ ∠QOS=1200 [∵∠ROP=বিপ্রতীপ ∠QOS]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১

3. তীর্থ PQ ও XY দুটি সরলরেখা আঁকল যারা পরস্পরকে O বিন্দু ছেদ করেছে । আমি চাঁদার সাহায্যে বিপ্রতীপ কোনগুলি মেপে দেখি ।

সমাধানঃ PQ ও XY দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করার ফলে যে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয় সেগুলি হল ∠POX ও ∠YOQ এবং ∠POY ও ∠XOQ

চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলাম , ∠POX= বিপ্রতীপ ∠YOQ=300  এবং ∠XOQ= বিপ্রতীপ ∠POY=1200 

[Note: কোণগুলির পরিমাপ আলাদাও হতে পারে]

4. পাশের ছবি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর খোঁজার চেষ্টা করি ঃ

(i)দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর পূরক কোণ ।

(ii)দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর সম্পূরক কোণ ।

(iii)দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ ।

সমাধানঃ

(i)∠AOM ও ∠DOM কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ ।

(ii)∠AOC ও ∠BOC কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ ।

[এছাড়াও ,∠BOC ও ∠DOB কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ]

(iii)∠AOD ও ∠COB কোণ দুটি পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ ।

[এছাড়াও ,∠AOC ও ∠DOB কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ ]

5. দুটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ সমান হবে যুক্তি দিয়ে প্রমান করি ।

AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে  ছেদ করে । এর ফলে দুজোড়া বিপ্রতীপ কোণ  ∠AOD, ∠BOC  ও ∠AOC, ∠BOD তৈরি হয়েছে

প্রমাণ করতে হবে যে,  বিপ্রতীপ কোণ জোড়া দুটি সমান অর্থাৎ ∠AOD=∠BOC  ও ∠AOC=∠BOD

প্রমাণঃ

∠AOC+∠AOD=1800 [∵ CD সরলরেখার উপর OA  দণ্ডায়মান]

∠AOC+∠BOC=1800 [∵ AB সরলরেখার উপর OC  দণ্ডায়মান]

∠AOC+∠AOD=∠AOC+∠BOC

∴ ∠AOD=∠BOC

আবার,

∠BOC+∠BOD=1800 [∴CD সরলরেখার উপর OB  দণ্ডায়মান]

∠AOC+∠BOC=1800[∵AB সরলরেখার উপর OC  দণ্ডায়মান]

∠BOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC

∴ ∠BOD=∠AOC

সুতরাং, ∠AOD=∠BOC এবং ∠BOD=∠AOC [প্রমানিত]

6. ∠BOD, ∠BOC এবং  ∠AOC এর পরিমাপ লিখি ।

সমাধানঃ  ∠BOC = বিপ্রতীপ ∠AOD = 1200

∠AOC + ∠BOC = 1800  [∵AB সরলরেখার উপর OC  দণ্ডায়মান]

∴ ∠AOC = 1800 – 1200= 600

সুতরাং ,  ∠BOD = 600, ∠BOC = 1200 এবং ∠AOC = 600

7. ∠POR ও ∠QOS  এর সমষ্টি  1100 ; ∠POS, ∠QOS, ∠QOR ও ∠POR এর পরিমাপ লিখি ।

সমাধানঃ ∠POR = বিপ্রতীপ ∠QOS

আবার, ∠POR+∠QOS=1100

বা, ∠POR+∠POR=1100

বা, 2∠POR=1100

বা, ∠POR= 1100/2  

∴ ∠POR=550

∴ ∠QOS=550

∠POR+∠POS=1800 [ ∵RS সরলরেখার উপর OP  দণ্ডায়মান]

∴∠POS=1800-550 = 1250

∠QOR = বিপ্রতীপ ∠POS =1250

সুতরাং, ∠POS=1250, ∠QOS=550, ∠QOR=1250 ও ∠POR=550

8. OP, OQ, OR এবং OS সমবিন্দু । OP এবং OR একই সরল রেখায় অবস্থিত । P ও R বিন্দু O  বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত । ∠POQ= ∠ROS এবং ∠POS= ∠QOR । যদি ∠POQ=500 হয় তবে ∠QOR, ∠ROS এবং ∠POS এর পরিমাপ লিখি

সমাধানঃ ∠POQ= ∠ROS এবং ∠POQ=500

∴∠ROS=500

OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত।

∴ ∠POS+∠ROS=1800

বা, ∠POS+500=1800

বা, ∠POS=1800-500

  ∠POS=1300

আবার, ∠POS=∠QOR

∴ ∠QOR= 1300

সুতরাং ∠QOR= 1300, ∠ROS= 500, এবং ∠POS=1300

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

9. চারটি রশ্মি একটি বিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয় যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান । প্রমান করি যে ওই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা তৈরি হয় ।

 চারটি রশ্মি PO, RO, QO  এবং SO, O  বিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয়েছে যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান অর্থাৎ ∠POS= ∠ROQ এবং ∠POR= ∠SOQ

প্রমাণ করতে হবে যে , PO, RO, QO এবং SO দিয়ে দুটি সরলরেখা তৈরি হয় ।

প্রমাণঃ চারটি রশ্মি   PO, RO, QO এবং SO , O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে ।

∴ ∠POS+∠POR+∠ROQ+∠SOQ = 3600

বা, ∠ROQ+∠SOQ+∠ROQ+∠SOQ = 3600 [∵∠POS=∠ROQ এবং ∠POR=∠SOQ]

বা, 2(∠ROQ+∠SOQ)= 3600

∴ ∠ROQ+∠SOQ = 1800

∴ ∠ROQ ও ∠SOQ সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি  1800

সুতরাং, R,S বিন্দুদ্বয় একই সরল রেখায় অবস্থিত ।

এখন , ∠POS+∠SOQ

=∠ROQ+∠SOQ [∵∠POS=∠ROQ]

=1800

∴ ∠POS ও ∠SOQ সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি  1800

সুতরাং, P,Q বিন্দুদ্বয় একই সরলরেখায় অবস্থিত ।

∴ PO, RO, QO এবং SO, O  বিন্দুতে মিলিত হওয়ার ফলে PQ ও RS  দুটি সরল রেখা তৈরি হল ।

সুতরাং,  PO, RO, QO এবং SO দিয়ে দুটি সরলরেখা তৈরি হয় । [প্রমানিত]

10. একটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডিত   ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডিত পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত প্রমাণ করি ।

একটি কোণ ∠BOC এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডিত OD এবং বহিঃসমদ্বিখণ্ডিত OP

প্রমাণ করতে হবে যে,  OD ও OP পরস্পর লম্ব ভাবে অবস্থিত

প্রমাণঃ  ∠BOC –এর বহিকোণ ∠AOC

সুতরাং , ∠BOC + ∠AOC = 1800 —-(i)

∠BOC –এর  অন্তঃসমদ্বিখন্ডক OD 

∴ ∠BOC = 2∠COD —-(ii)

আবার, ∠BOC এর বহিঃকোণ, ∠AOC এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক OP

∴ ∠AOC = 2∠COP —(iii)

(i) নং থেকে পাই ,

 ∠BOC+∠AOC=  1800

বা, 2∠COD+2∠COP = 1800

বা, 2(∠COD+∠COP) = 1800

∴  ∠COD+∠COP = 900

সুতরাং, OD ও OP পরস্পর লম্ব ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১

 11. দুটি  সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যা  চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি চার সমকোণের সমান-প্রমাণ করি ।

PQ ও RS  সরলেরখা দুটি পরস্পরকে  O বিন্দুতে ছেদ করেছে । এর ফলে  ∠POR,  ∠ROQ,  ∠SOQ,  ও  ∠POS চারটি কোণ তৈরি হয়েছে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , ∠POR +∠ROQ +∠SOQ +∠POS = 4 সমকোণ

প্রমাণঃ  PQ সরলরেখার উপর OR রশ্মি দণ্ডায়মান

 ∴ ∠POR+∠ROQ=1800  —(i)

আবার, PQ সরলরেখার উপর OS রশ্মি দণ্ডায়মান

∴ ∠POS+∠SOQ=1800 —-(ii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ  যোগ  করে পাই ,

∠POR+∠ROQ+∠POS+∠SOQ =1800+1800

বা, ∠POR+∠ROQ+∠POS+∠SOQ =3600

∴∠POR+∠ROQ+∠POS+∠SOQ =4 সমকোণ [প্রমাণিত]

12. PQC ত্রিভুজের ∠PQR =∠PQR; QR বাহু কে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের মান সমান-প্রমাণ করি ।

PQR ত্রিভুজের  ∠PQR =∠PQR , QR বাহুকে উভয়দিকে যথাক্রমে  S ও T পর্যন্ত বর্ধিত করার ফলে যথাক্রমে দুটি বহিঃকোণ  ∠PQS এবং ∠PRT  তৈরি হল ।

প্রমাণ  করতে হবে যে , ∠PQS =∠PRT

প্রমাণঃ SR সরলরেখার উপর QP রশ্মি দণ্ডায়মান

∴ ∠PQS+∠PQR= 180—(i)

আবার, QT সরলরেখার উপর RP রশ্মি দণ্ডায়মান

∴ ∠PRT+∠PRQ= 1800—(ii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

∠PQS+∠PQR =∠PRT+∠PRQ

বা, ∠PQS+∠PRQ =∠PRT+∠PRQ [∵∠PQR=∠PQR]

∴ ∠PQS=∠PRT [প্রমাণিত]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১

13. দুটি সরলরেখা পরস্পরকে একটি বিন্দুতে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা- প্রমাণ করি ।

PQ ও RS  সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ চারটি কোণ∠POR, ∠ROQ, ∠SOQ ও∠POS  উৎপন্ন হয়েছে । AO, BO, CO ও DO  যথাক্রমে চারটি কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডক ।

প্রমাণ করতে হবে যে , সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা  অর্থাৎ, AO, OC এবং BO, OD একই সরলরেখায় আছে এবং AC ⊥ BD

প্রমাণঃ

∠POS= বিপ্রতীপ ∠ROQ  [প্রদত্ত]

এবং ∠POR= বিপ্রতীপ ∠SOQ  [প্রদত্ত] 

AO, ∠POR এর সমদ্বিখণ্ডক, ∴  ∠AOP=∠AOR= ½ ∠POR

BO, ∠QOR এর সমদ্বিখণ্ডক , ∴  ∠BOR=∠BOQ= ½ ∠ROQ

CO, ∠SOQ এর সমদ্বিখণ্ডক , ∴  ∠COS=∠COQ= ½ ∠SOQ

DO, ∠POR এর সমদ্বিখণ্ডক , ∴  ∠DOP=∠DOS= ½ ∠POS

এখন , ∠AOD+∠AOB

=∠DOP+∠AOP+∠AOR+∠ROB

= ½ ∠POS+∠POR+ ½ ∠ROQ [∵∠POS= বিপ্রতীপ ∠ROQ]

= ½ ∠ROQ+∠POR+ ½ ∠ROQ

= ∠ROQ+∠POR

= 1800 [∵PQ সরলরেখার উপর OR দণ্ডায়মান]

∠AOD ও ∠AOB সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি 1800

∴ OB ও  OD একই সরলরেখায় অবস্থিত

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,

AO ও OC একই সরলরেখায় অবস্থিত

∠AOD =∠AOP+∠POD

= ½ ∠ROP + ½ ∠POS

= ½  (∠ROP +∠POS)

= ½ x 1800 [∵ RS সরলরেখার উপর OP দণ্ডায়মান]

= 900

∴ AC ও  BD সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব ।

∴ AC ⊥ BD [প্রমাণিত ]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 7.1|বিপ্রতীপ কোণের ধারণা কষে দেখি ৭.১

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

WBBSE OFFICIAL SITE

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর POST পেতে আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!