Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 9|ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 9|ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক |কষে দেখি ৯ ক্লাস ৮ |WBBSE Class 8 Math Solution Of Chapter 9 Exercise 9|Koshe Dekhi 9 Class Eight| গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস ৮)কষে দেখি ৯ সমাধান ।

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 9|ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক |কষে দেখি ৯ ক্লাস ৮ |WBBSE Class 8 Math Solution Of Chapter 9 Exercise 9|Koshe Dekhi 9 Class Eight| গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস ৮)কষে দেখি ৯সমাধান

কষে দেখি-9

1.নীচের সমদ্বিবাহু  ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন দুটি বাহু সমান হবে লিখি:  

সমাধানঃ প্রথম চিত্রে, ABC ত্রিভুজের ∠BAC=∠ACB= 70­­0

∴ AB=BC

দ্বিতীয় চিত্রে, PQR ত্রিভুজের ∠RPQ=∠PRQ= 45­­0

∴ PQ=QR

তৃতীয় চিত্রে, XYZ ত্রিভুজের ∠YXZ=∠XZY= 35­­0

∴ XY=YZ

2. নীচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন কোণগুলি সমান হবে লিখিঃ

সমাধানঃ প্রথম চিত্রে, ABC ত্রিভুজের AB=BC= 5 সেমি

∴ ∠BCA=∠BAC

দ্বিতীয় চিত্রে, PQR ত্রিভুজের PQ=PR= 8 সেমি

∴ ∠PQR=∠PRQ

3. AB ও CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।  প্রমাণ করি যে AC ও BD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পর সমান্তরাল । ABCD চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ তা লিখি ।

প্রদত্তঃ AB ও CD  সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে ।

অর্থাৎ AO=OB এবং CO=OD

প্রামাণ্যঃ AC||BD

প্রমাণঃ  ∆AOC এবং ∆ BOD এর মধ্যে,

AO=OB [প্রদত্ত]

∠AOC=∠BOD [বিপ্রতীপ কোণ]

CO=OD [প্রদত্ত]

∴ ∆AOC ≅ ∆ BOD [S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে]

∴ ∠CAO=∠OBD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]

 ∴ ∠CAB=∠ABD

কিন্তু এরা একান্তর কোণ ∴ AB||BD [প্রমাণিত]

একইরকম ভাবে ∆ AOD ও ∆ BOC  সর্বসম ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ করতে পারি যে,

AD||BC

ABCD চতুর্ভুজের AC||BD এবং AD||BC

 ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 9|ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক |কষে দেখি ৯ ক্লাস ৮

4. AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার উপর E ও F দুটি বিন্দু । EF  সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু O; O বিন্দু দিয়ে যেকোনো সরলরেখাংশ টানা হল যা AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে, PQ সরলরেখাংশ O  বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 9|ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক |কষে দেখি ৯ ক্লাস ৮ |WBBSE Class 8 Math Solution Of Chapter 9 Exercise 9|Koshe Dekhi 9 Class Eight| গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস ৮)কষে দেখি ৯সমাধান

প্রদত্তঃ AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার উপর E ও F  দুটি বিন্দু । EF সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু O অর্থাৎ, EO=OF , O বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখা টানা হল যা AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রমাণ্যঃ  PO=OQ

প্রমাণঃ  ∆ EOP এবং ∆ FOQ এর মধ্যে

∠EOP=∠FOQ [বিপ্রতীপ কোণ]

∠OEP=∠OFQ [∵∠FEP = একান্তর ∠EFQ]

EO=OF [প্রদত্ত]

∴ ∆ EOP ≅ ∆ FOQ [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]

∴ PO=OQ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [প্রমাণিত]

 5. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের পরিমাপ সমান ।

প্রদত্তঃ ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং  BC বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করায় দুটি বহিঃকোণ  ∠ABD ও ∠ACE উৎপন্ন হল ।

প্রমাণ্যঃ ∠ABD=∠ACE

প্রমাণঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC

 ∴ ∠ABC=∠ACB

DC বাহুর উপর BA দণ্ডায়মান

∴ ∠ABC+∠ABD= 1800 —–(i)

BE বাহুর উপর CA দণ্ডায়মান

∴ ∠ACB+∠ACE= 1800 —–(ii)

(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,

∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE

বা, ∠ACB+∠ABD=∠ACB+∠ACE [∵∠ABC=∠ACB]

∴ ∠ABD= ∠ACE [প্রমাণিত]

6. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান ।

 প্রদত্তঃ ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD, BE ও  CF হল তিনটি মধ্যমা ।

প্রমাণ্যঃ AD=BE=CF

প্রমাণঃ ∆FBC এবং ∆ ECB এর মধ্যে

∠FBC= ∠ECB [∵সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 600]

BF=CE [∵ D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু, E, AC বাহুর মধ্যবিন্দু আবার, AB=AC ∴ BF=CE]

BC সাধারণ বাহু

∴ ∆ FBC ≅ ∆ ECB [সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে]

∴ BE=CF [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] —-(i)

একইরকম ভাবে  ∆ AFC ও  ∆ CDA ত্রিভুজদুটি সর্বসম প্রমাণ করে দেখাতে পারি যে,

  AD=CF —-(ii)

(i)নং ও (ii) নং  থেকে পাই

AD=BE=CF [প্রমাণিত]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 9|ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক |কষে দেখি ৯ ক্লাস ৮

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

7. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD||BC এবং ∠ABC= ∠BCD ; প্রমাণ করি যে, ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম ।

প্রদত্তঃ ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD||BC এবং ∠ABC= ∠BCD

প্রমাণ্যঃ ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম । অর্থাৎ, AB=DC

অঙ্কনঃ A ও D বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর যথাক্রমে AE ও DF লম্ব অঙ্কন করলাম ।

প্রমাণঃ ∆ AEB ও ∆ DFC এর মধ্যে

∠ABE= ∠DCF [প্রদত্ত]

∠AEB= ∠DFC [∵AE ও DF, BC বাহুর উপর লম্ব]

AE=DF [∵AD||BC  ∴AD ও BC বাহুর মধ্যে লম্ব দুরত্ব সমান]

∴ ∆ AEB ≅ ∆ DFC [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]

∴ AB=DC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] [প্রমাণিত]

8. ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ । ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে, AC+CD=AB

প্রদত্তঃ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ । ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ্যঃ  AC+CD=AB

অঙ্কনঃ D বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর DE লম্ব অঙ্কন করলাম ।

প্রমাণঃ যেহেতু, ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ । সুতরাং, ∠ACB=900

∆ACD ও ∆AED এর মধ্যে

∠ACD=∠AED =900 [∵DE ⊥ AB]

∠CAD=∠EAD [∵∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক AD]

AD সাধারণ বাহু

∴ ∆ ACD ≅ ∆ AED [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]

∴ AC=AE এবং CD=DE —-(i)

ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ∴ AC=BC

সুতরাং, ∠CAB =∠ABC=900/2=450

∴ BDE সমকোণী ত্রিভুজের ∠EBD=450 [∵∠ABC=450]

∠EBD=900-450=450

∴ BDE সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

যার ∠EBD=∠EDB ∴ DE=EB —- (ii)

(i)ও (ii) থেকে পাই DE=EB —–(iii)

AC+CD=AE+DE [(i)নং থেকে পাই]

        =AE+EB [(iii)নং থেকে পাই]

        = AB

∴ AC+CD=AB [প্রমাণিত]

9. ABC এবং DBC দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাদের AB=AC ও DB=DC এবং তারা BC বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত । প্রমাণ করি যে, AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।

প্রদত্তঃ ABC এবং DBC  দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাদের AB=AC ও DB=DC ।

ধরি, AD, BC কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রামাণ্যঃ AD ,BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে । অর্থাৎ BO =OD এবং AD⊥ BC

প্রমাণঃ  ∆ABD ও ∆ ACD এর মধ্যে

AB=AC [প্রদত্ত]

BD=DC [প্রদত্ত]

AD সাধারণ বাহু

∴ ∆ABD ≅ ∆ ACD [সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে]

∴ ∠BAD=∠CAD [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]

 ∴ ∆ ABO ও ∆ ACO এর মধ্যে

AB=AC [প্রদত্ত]

∠BAO= ∠CAO [∵∠BAD=∠CAD]

AO  সাধারণ বাহু

∴ ∆ ABO ≅ ∆ ACO [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]

∴ BO=OC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]

এবং ∠AOB= ∠AOC [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]

আবার, BC বাহুর উপর OA দণ্ডায়মান

∴ ∠AOB+∠AOC=1800

বা, ∠AOB+∠AOB=1800

বা, 2∠AOB=180

∠AOB=900

∴ AD⊥ BC

সুতরাং, BO=OC এবং AD ⊥ BC [প্রমাণিত]

10. দুটি সরলরেখাংশ PQ ও  RS পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করে যাতে XP=XR এবং ∠PSX=∠RQX হয় । প্রমাণ করি যে, ∆ PXS ≅ RQX

প্রদত্তঃ PQ ও RS সরলরেখা দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে এবং XP=XR এবং ∠PSX=∠RQX

প্রামাণ্যঃ  ∆ PXS ≅ ∆ RQX

প্রমাণঃ ∆ PXS ও ∆ RQX এর মধ্যে

∠PSX=∠RQX [প্রদত্ত]

∠PXS=∠RXQ [বিপ্রতীপ কোণ]

XP=XR [প্রদত্ত]

∴ ∆ PXS ≅ ∆ RQX [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে] [প্রমাণিত]

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

WBBSE OFFICIAL SITE

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!