Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস ৮ ) সমাধান|WBBSE Class 8 Math Solution Of Chapter 8

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস ৮ ) সমাধান|WBBSE Class 8 Math Solution Of Chapter 8

Koshe Dekhi 8

1. চন্দ্রা লাইন টানা খাতার পাতা নিল । দুটি লাইনের মাঝে একটি ছেদক টানল । এর ফলে  4 জোড়া অনুরূপ কোণ, 2 জোড়া একান্তর কোণ ও 2  জোড়া একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ তৈরি হলো । তাদের খুঁজে দিই ও লিখি ।  চাঁদার সাহায্যে মেপে যাচাই করি যে (i) অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান, (ii) একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান ও (iii) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস ৮ ) সমাধান|WBBSE Class 8 Math Solution Of Chapter 8

সমাধানঃ  ধরি, AB  ও  CD হল দুটি লাইন । ছেদকটি হল EF , AB  ও  CD সরলরেখা দুটিকে EF ছেদ করার ফলে  ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8 কোণগুলি উৎপন্ন হল ।

∴ অনুরূপ কোণগুলি হল, (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), ও (∠4, ∠8)

একান্তর কোণগুলি হল (∠3, ∠5), (∠4, ∠6)

এবং একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ (∠4, ∠5), (∠3, ∠6)

চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম,

∠1=450 , ∠2=1350 , ∠3=450 , ∠4=1350 , ∠5=450 , ∠6=1350 ,

চাঁদার সাহায্যে মেপে পেলাম ,

(i) অনুরূপ কোণগুলি হল –

∠1=∠5=450, ∠2=∠6=1350, ∠3=∠7=450, ∠4 =∠8=1350,

(ii) একান্তর কোণগুলি হল ∠1=∠5=450, ∠4=∠6=1350

(iii) একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি

        ∠4+∠5=1800     ∠3+∠6=1800

∴ একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির পরস্পর সম্পূরক ।

2. পাশের ছবির কোণগুলি দেখি ও কোনগুলি অনুরূপ কোণ, কোনগুলি একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ লিখি ।

সমাধানঃ চিত্র থেকে পাই,

অনুরূপ কোণগুলি হল (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠8), ও (∠4, ∠7)

একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল (∠3, ∠6), (∠4, ∠5)

3.AB||CD হলে নীচের কোণগুলির মান লিখি –

(a)

সমাধানঃ

ধরি, EF ছেদক AB ও CD  সরলরেখাকে  যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

∴ ∠APQ=বিপ্রতীপ ∠BPE

∴ x=550

∠APQ এবং ∠CQP একই পাশের অন্থঃস্থ কোণ

∴ ∠APQ+∠CQP= 180­­0

∴ ∠CQP= 1800 -∠APQ = 1800550 = 125­­0

আবার , ∠CQP = বিপ্রতীপ ∠DQF =y

সুতরাং, y= 1250

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮

(b)

সমাধানঃ

ধরি, EF ছেদক , AB ও CD  সরলরেখাকে  যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

∠BPQ ও ∠DQP একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ

সুতরাং, ∠BPQ+∠DQP = 1800

∴ ∠BPQ =1800-∠DQP = 1800 -680 =112­­0

আবার , ∠APE = বিপ্রতীপ ∠BPQ

∠APE =1120

∴ x=112­­0

(c)

সমাধানঃ

ধরি, EF ছেদক AB ও CD  সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

∠BPQ ও ∠DQP একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ

সুতরাং, ∠BPQ+∠DQP = 1800

∴ ∠DQP = 1800-∠BPQ = 1800 -1000 =80­­0

আবার, ∠CQF=বিপ্রতীপ ∠DQP

∴ x=80­­0

4. পাশের ছবির XY||PQ হলে 7টি কোণের মান লিখি ।

সমাধানঃ

∠1+500 = 1800

∴ ∠1=1800-500=1300

∠2 =500 [বিপ্রতীপ কোণ ]

∠3 =∠1=1300 [∵∠1, ∠3  পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ ]

∠4 =∠1=1300 [∵∠1, ∠4  পরস্পর অনুরূপ কোণ ]

∠5 =∠2=500 [∵∠5, ∠2  পরস্পর একান্তর কোণ ]

∠6 =∠3=1300 [∵∠6, ∠3  পরস্পর অনুরূপ কোণ

∠7 =∠2=500 [∵∠7, ∠2  পরস্পর অনুরূপ কোণ ]

5. নীচের AB ও CD  সরলরেখা দুটি সমান্তরাল কিনা কোণের মান দেখে যুক্তি দিয়ে লিখি –

(i)

সমাধানঃ

ধরি, EF ছেদক AB ও CD  সরলরেখাকে  যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

∠BPQ ও ∠DQP একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ

∴ ∠BPQ + ∠DQP =1250+300=15501800

∠BPQ ও ∠DQP একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ  দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ নয় ।

সুতরাং, AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয় ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮

5. নীচের AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল কিনা কোণের মান দেখে যুক্তি দিয়ে লিখি ।

(ii)

সমাধানঃ

ধরি, EF ছেদক AB ও CD  সরলরেখাকে  যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

∠CQP = বিপ্রতীপ ∠DQF =600

∠APQ ও ∠CQP একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ

∴ ∠APQ+∠CQP =1200 +600 = 1800

∴ ∠APQ ও ∠CQP একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ ।

সুতরাং, AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল ।

5. নীচের AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল কিনা কোণের মান দেখে যুক্তি দিয়ে লিখি ।

(iii)

সমাধানঃ

ধরি, EF ছেদক AB ও CD  সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

∠EPB +∠BPQ =1800

বা, ∠BPQ =1800 – ∠EPB

∴ ∠BPQ = 1800 -750 =1050

∠BPQ ও ∠DQF পরস্পর অনুরূপ কোণ

∠BPQ=1050 এবং  ∠DQF =950

∴ ∠BPQ ∠DQF

সুতরাং, AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয় ।

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

6. চিত্রে AB||CD এবং EGB = 500; AGE ,∠AGH, ∠BGH, ∠GHC, ∠GHD, ∠CHF এবং ∠DHF  এর পরিমাপ লিখি ।

সমাধানঃ ∠EGB+∠AGE=1800

বা, ∠AGE=180– ∠EGB

∴ ∠AGE = 1800 -500 =1300

∠AGH = বিপ্রতীপ ∠EGB =500

∠BGH = বিপ্রতীপ ∠AGE =1300

∠GHC = অনুরূপ ∠AGE =1300

∠GHD = অনুরূপ ∠EGB =500

∠CHF = বিপ্রতীপ ∠GHD =500

∠DHF = বিপ্রতীপ ∠GHC =1300

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮

7. চিত্রে AB||CD; ∠PQR  এর পরিমাপ লিখি ।

সমাধানঃ

Q বিন্দু থেকে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা QS অঙ্কন করলাম ।

∴ AB||QS||CD [∵AB||CD]

∠PQS = একান্তর ∠APQ =300

এবং ∠RQS= একান্তর ∠CRQ= 400

∠PQR=∠PQS+∠RQS =300 + 400 = 700

∴ ∠PQR = 700

8. চিত্রে PQ||RS, ∠BPQ = 400, ∠BPR = 1550,এবং ∠CRS = 700,  ∆ APR এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি ।

সমাধানঃ AB সরলরেখার উপর PR  দণ্ডায়মান

সুতরাং, ∠APR+∠BPR=1800

∴ ∠APR =1800 – ∠BPR = 1800-1550 =250

আবার,  ∠RPQ = ∠BPR-∠BPQ

∴ ∠RPQ =1550 – 400= 1150

 ∠RPQ এবং  ∠PRS একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ [∵ PQ||RS এবং PR ছেদক]

সুতরাং, ∠RPQ+∠PRS=1800 [ PQ||RS]

∴ ∠PRS =1800 -∠RPQ = 1800– 1150=650

এখন , ∠ARP+∠PRS+∠CRS=1800

বা, ∠ARP = 1800 -∠PRS – ∠CRS

বা, ∠ARP =1800 -650-700=450

∆APR এর ∠APR =250 এবং ∠ARP =450

∴ ∠PAR =1800 -250-450=1100

∆ APR এর ∠APR =250, ∠ARP =450  এবং ∠PAR =1100

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮

9. AB এবং CD দুটি সরলরেখার ভিতর O  যেকোনো একটি বিন্দু । OP ও OQ যথাক্রমে  AB CD সরলরেখার উপর লম্ব । প্রমাণ করি যে P,O,Q বিন্দু তিনটি সমরেখ ।

প্রদত্তঃ AB এবং CD দুটি সরলরেখার ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু এবং OP⊥ AB, OQ ⊥ CD

প্রমাণ্যঃ P,O,Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।

অঙ্কনঃ O বিন্দু দিয়ে AB সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা EF  অঙ্কন করলাম ।

প্রমাণঃ  AB||EF [অঙ্কনানুসারে]

∴ ∠BPO+ ∠POF=1800  [ ভেদকের একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]

আবার, ∠BPO=900  

∴ ∠POF=1800 – 900=900

 CD||EF [∵AB||EF এবং AB||CD]

∴ ∠DQO+ ∠QOF=1800  [ভেদকের একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]

আবার, ∠DQO=900  

∴ ∠QOF=1800 – 900=900

∠POF ও ∠QOF হল পরস্পর সন্নিহিত কোণ এবং ∠POF+ ∠QOF=1800  

∴ PO এবং QO একই সরলরেখায় অবস্থিত

অর্থাৎ, P,O,Q বিন্দু তিনটি সমরেখ [প্রমাণিত]

10. দুটি কোণের প্রতিজোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল। প্রমান করি যে, কোণদুটি সমান অথবা পরস্পর সম্পূরক ।

চিত্র 1

চিত্র 2

প্রদত্তঃ 1 নং চিত্রে , ∠EAB এর AE ও AB বাহু যথাক্রমে ∠FCD এর CF ও CD বাহুর সঙ্গে সমান্তরাল । 2 নং চিত্রে ,∠EAB এর AE ও AB বাহু যথাক্রমে ∠FCD এর CF ও DC বাহুর সঙ্গে সমান্তরাল । উভয় চিত্রে AB ও CF সরলরেখা দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রামাণ্য: চিত্র 1 এর ক্ষেত্রে ∠EAB=∠FCD এবং চিত্র 2 এর ক্ষেত্রে ∠EAB+∠FCD =1800

প্রমাণঃ যেহেতু, AE || CF এবং AB ভেদক

∴ ∠EAB = অনুরূপ ∠FOB —-(i)

চিত্র 1 এর ক্ষেত্রে ,

AB || CD এবং CF ভেদক

∴ ∠FOB = অনুরূপ ∠FCD —-(ii)

(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,

∠EAB =∠FCD [প্রমাণিত]

চিত্র 2 এর ক্ষেত্রে,

AB || DC এবং CF ভেদক

∴ ∠FOA = অনুরূপ ∠FCD —(iii)

AE || CF এবং AB ভেদক

∴ ∠EAB+ ∠FOA =1800 [ভেদকের একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]

∴ ∠EAB+ ∠FCD =1800 [(iii)নং থেকে পাই] [প্রমাণিত]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 8|সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি ৮

11. ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ ∠BAD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।  প্রমাণ  করি যে, AC কর্ণ  ∠BCD কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে ।

 

প্রদত্তঃ ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ ∠BAD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ

∠BAC = ∠DAC

প্রামাণ্যঃ  AC কর্ণ ∠BCD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ ∠ACB= ∠ACD

প্রমাণঃ  ∠BAC = ∠DAC [প্রদত্ত]  —-(i)

সামান্তরিকের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল ।

সুতরাং, AD || BC এবং AB || DC

AD || BC এবং AC ছেদক

∴ ∠DAC = ∠ACB [একান্তর কোণ] —- (ii)

আবার, AB || DC এবং AC ছেদক

∴ ∠BAC = ∠ACD [একান্তর কোণ] —- (iii)

(i)ও (ii) থেকে পাই, ∠BAC = ∠ACB —- (iv)

(iii)ও (iv) থেকে পাই, ∠ACB = ∠ACD [ প্রমাণিত ]

∴ AC কর্ণ ∠BCD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।

12. ABCD সামন্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, প্রতিটি কোণই সমকোণ ।

প্রদত্তঃ ধরি, ABCD  সামন্তরিকের  ∠B = 900

প্রামাণ্যঃ সামন্তরিকের বাকি তিনটি কোণ সমকোণ । অর্থাৎ, ∠A =∠C=∠D= 900

প্রমাণঃ  সামান্তরিকের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল

সুতরাং, AD || BC এবং AB || DC

AD || BC এবং AB ছেদক

∴ ∠A+∠B = 1800 [ছেদকের একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]

∴ ∠A = 1800-∠B= 1800-900=900

AB || DC এবং BC ছেদক

∴ ∠B+∠C = 1800 [ ছেদকের একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]

∴ ∠C = 1800-∠B= 1800-900=900

AD || BC এবং DC ছেদক

∴ ∠C+∠D = 1800 [ ছেদকের একই দিকের অন্তঃস্থ কোণ]

∴ ∠D = 1800-∠C= 1800-900=900

সুতরাং, ∠A =∠C=∠D= 900 [প্রমাণিত ]

WBBSE OFICIAL SITE

গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!