Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি 13 সমাধান। গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০) ভেদ সমাধান ।Madhyamik Ganit Prakash Class 10(X) Ved Koshe Dekhi 13|Koshe Dekhi 13 Class 10|WBBSE Class 10 Math Variation Solution.
সরল ভেদঃ যদি দুটি পরস্পর সম্পর্কযুক্ত চলরাশি x ও y এমন হয় যে , x/y = k ( অশূন্য ধ্রুবক) হয় তখন বলা হয় যে x ও y সরল ভেদে (Direct Variation) আছে এবং লেখা হয় x∝y এবং অশূন্য ধ্রুবকটিকে ভেদধ্রুবক ( Variation Constant ) বলা হয় । এক্ষেত্রে x বৃদ্ধি পেলে y বৃদ্ধি পাবে এবং x হ্রাস পেলে y হ্রাস পায় ।
ব্যাস্ত ভেদঃ যদি দুটি সম্পর্ক যুক্ত চলরাশি x ও y এমন হয় যে সর্বদা, xy=k ( অশূন্য ধ্রুবক) হয়, তখন বলা হয় যে, x ও y ব্যাস্ত ভেদে (Inverse Variation) এবং লেখা হয় x∝1/y এবং অশূন্য ধ্রুবকটিকে বলা হয় ভেদধ্রুবক (Variation Constant)। এক্ষেত্রে x বৃদ্ধি পেলে y হ্রাস পাবে এবং x হ্রাস পেলে y বৃদ্ধি পাবে ।
যৌগিক ভেদঃযদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির গুনফলের সঙ্গে সরল্ভেদে থাকে তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশির সঙ্গে যৌগিক ভেদে(Joint Variation) আছে বলা হয়। যেমন V ∝ T এবং V ∝ 1/P ⇒ V∝ RT/P , এক্ষেত্রে V , T এবং P এর সাথে যৌগিক ভেদে আছে ।
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য (theorem of joint variation): X ,Y এবং Z তিনটি চল এমন যে,X ∝ Y যখন Z ধ্রুবক এবং X ∝ Z যখন Y ধ্রুবক ,তাহলে X ∝ YZ হবে , যখন Y ও Z উভয়ই পরিবর্তিত হয় ।
Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)|কষে দেখি 13 ক্লাস 10
1. A ও B এর সম্পর্কিত মানগুলি
A | 25 | 30 | 45 | 250 |
B | 10 | 12 | 18 | 100 |
A ও B এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি ।
সমাধানঃ

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি
x | 18 | 8 | 12 | 6 |
y | 3 | 27/4 | 9/2 | 9 |
x ও y এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি ।
সমাধানঃ

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
3(i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে । একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি ।
সমাধানঃ ধরি , প্রয়োজনীয় সময় = T এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব = S । যেহেতু , গতিবেগ স্থির রেখে , সময় বৃদ্ধি (হ্রাস ) পেলে অতিক্রান্ত দূরত্ব বৃদ্ধি (হ্রাস) পায় । সুতরাং T ও S সরল্ভেদে আছে ।

∴ বিপিন কাকু একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘন্টায় 168 কিমি. পথ যাবেন ।
Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
3(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণীর 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে সন্দেশ পেল । যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত , তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি ।
সমাধানঃ ধরি , শিশুর সংখ্যা A জন এবং সন্দেশের এর সংখ্যা B ।
যেহেতু মোট সন্দেশের-এর সংখ্যা স্থির রেখে , শিশুর সংখ্যা বাড়ালে বা কমালে প্রত্যেক শিশুর পাওয়া সন্দেশের এর পরিমান কমবে বা বাড়বে । সুতরাং A ও B ব্যাস্তভেদে আছে ।

এখন শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে , তখন শিশুর সংখ্যা হত (24-4) জন = 20 জন ।
(i) নং সমীকরণে A = 20 বসিয়ে পাই ,

উত্তরঃ শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে প্রত্যেকে 6 টি করে সন্দেশ পেত ।
Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
3(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে । পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কত জন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি ।
সমাধানঃ ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা N এবং দিনসংখ্যা D । যেহেতু মোট কাজের পরিমান স্থির রেখে , গ্রামবাসী সংখ্যা বাড়ালে (বা কমালে) দিনসংখ্যা কমবে (বা বাড়বে ) ।সুতরাং N ও D ব্যাস্তভেদে আছে ।

∴ পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে আরও অতিরিক্ত (60-50 ) = 10 জন লাগবে।
Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
4.(i) y ,x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x এর মান নির্ণয় করি যখন y =6.
সমাধানঃ y ,x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে
∴ y ∝ √x
∴ y =k√x [ k (≠0) is a Variation Constant ]
আবার , y=9 যখন x= 9
সুতরাং , 9 = k√9
বা, 9 = 3k
বা, k= 3
∴ y= 3√x —– (i)
(i) নং সমীকরণে y=6 বসিয়ে পাই ,
∴ 6=3√x
বা, √x = 2
বা, x = 4 [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]
∴ নির্ণেয় মান, x = 4 যখন y= 6
4(ii) x,y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যাস্ত ভেদে আছে । y= 4,z=5 হলে x =3 হয়। আবার y=16 ,z=30 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ

যখন y =16 এবং z =30 তখন (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

∴ X এর মান 2
4.(iii) x,y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যাস্তভেদে আছে । y=5 ও z=9 হলে, x = 1/6 হয় । x,y ও z এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y=6 ও z=1/5 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ

যখন y =6 এবং z =1/5 তখন (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,


5(i) x ∝ y হলে, দেখাইযে , x+y ∝ x-y
সমাধানঃ

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)


মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
6. x+y ∝ x-y হলে, দেখাই যে ,
(i) x2+y2 ∝ xy
সমাধানঃ

(ii) x3+y3 ∝ x3-y3
সমাধানঃ

(iii) ax+by ∝ px+qy [ যেখানে , a,b,p,q অশূন্য ধ্রুবক]
সমাধানঃ

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
7.(i) a2+b2 ∝ ab হলে, প্রমান করি যে, a+b ∝ a-b.
সমাধানঃ

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
(ii) x3+y3 ∝ x3-y3 হলে , প্রমান করি যে, x+y ∝ x-y
সমাধানঃ

8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন । ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি, কৃষক সংখ্যা A এবং দিনসংখ্যা B এবং চাষের জমির পরিমান C । যেহেতু জমির পরিমান স্থির রেখে , দিনসংখ্যা বাড়ালে ( বা কমালে ) কৃষক সংখ্যা কমবে ( বা বাড়বে ) এবং দিনসংখ্যা স্থির রেখে, জমির পরিমান বাড়ালে ( বা কমালে ) কৃষক সংখ্যা বাড়বে ( বা কমবে ) ।সুতরাং , A এবং B ব্যাস্তভেদে আছে এবং A ও C সরলভেদে আছে ।

9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল্ভেদে আছে ।1 ½ , 2 এবং 2 ½ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হল । নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি । ( ধরি , গলানোর আগে এবং পরে আয়তন একই থাকে )
সমাধানঃ

বা, R3 = 27/8

∴ নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (2✕ 1.5) মিটার = 3 মিটার ।
10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সাথে ব্যাস্ত ভেদে আছে । x= 1 হলে , y = -1 এবং x = 3 হলে , y=5 ; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ


Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
11. a ∝ b , b ∝ c হলে দেখাই যে , a3b3 +b3c3 +c3a3 ∝ abc (a3+b3+c3 )
সমাধানঃ

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
12. X ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যায়ের এক অংশ x – এর সঙ্গে সরল্ভেদে এবং অপর অংশ x2 এর সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় । যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যায় হয় , তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যায় হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যায় হয় y টাকা । আরও ধরাযাক মোট ব্যায়ের m অংশ x এর সঙ্গে সরল ভেদে এবং n অংশ x2 এর সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় ।
∴ y = m+n
আবার , m ∝ x
বা , m = px [ যেখানে , p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
এবং , n ∝ x2
বা, n = qx2
∴ y = px+qx2 —– (i)
প্রদত্ত শর্তানুসারে , x= 100 হলে y = 5000 এবং (i) নং সমীকরণে এই মানগুলি বসিয়ে পাই ,
∴ 5000= p(100)+q(100)2
বা, p+100q = 50 —– (ii)
আবার প্রদত্ত শর্তানুসারে , x = 200 হলে y = 12000 এবং (i) নং সমীকরণে এই মানগুলি বসিয়ে পাই ,
12000 = p(200)+q(200)2
বা, p+200q = 60 —- (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,
(P+200q)-(p+100q) = 60-50
বা , p+200q-p-100q=10
বা, 100q=10
বা, q = 10/100
বা, q = 1/10
Q এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,
P + 100 (1/10)=50
বা, p + 10 =50
বা, p = 50-10
বা, p = 40
(i) নং সমীকরনে p ও q এর মান বসিয়ে পাই ,
y = 40x + (1/10)x2 —– (iv)
এখন 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খনন করার জন্য খরচ
y = 40(250)+(1/10) (250)2
বা, y = 10000+ 6250
বা, y = 16250
∴ 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খনন করার জন্য 16250 টাকা খরচ হবে ।
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
13. চোঙের আয়তন , ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে । দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে , ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি , চোঙের আয়তন V ঘনএকক, ভূমির ব্যাসার্ধ R একক এবং উচ্চতা h একক ।
শর্তানুসারে ,
V ∝ R2 h
বা, V = k R2 h —– (i) [ যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
ধরি , চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক এবং 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক । আরও ধরাযাক দুটি চোঙের আয়তন যথাক্রমে V1 ঘন একক এবং V2 ঘন একক ।
∴ প্রথম চোঙের আয়তন V1 = k.(2r)2.5h ঘন একক = 20kr2h ঘন একক
এবং দ্বিতীয় চোঙের আয়তন V2 = k.(3r)2.4h ঘন একক = 36kr2h ঘন একক
∴ চোঙদুটির আয়তনের অনুপাত
= V1 : V2
= 20kr2h : 36kr2h
= 20:36
= 5 : 9 ( উত্তর)
14. পাচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে । আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙ্গল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত ।এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায় । একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙ্গলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি , জমির পরিমান A ,লাঙ্গল সংখ্যা N এবং দিনসংখ্যা D ।
এখন , দিনসংখ্যা স্থির রেখে লাঙ্গল সংখ্যা বাড়ালে ( বা কমালে ) চাষ করা জমির পরিমান বাড়বে (বা কমবে ) এবং লাঙ্গলের সংখ্যা স্থির রেখে দিনসংখ্যা বাড়ালে (বা কমালে ) চাষ করা জমির পরিমান বাড়বে (বা কমবে ) ।
সুতরাং , A রাশিটি N এবং D এর সঙ্গে সরলভেদে আছে ।
∴ A ∝ N এবং A ∝ D
বা , A ∝ ND
বা, A = kND [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—–(i)
(i) নং সমীকরণে A = 2400 , N = 25 এবং D = 36 বসিয়ে পাই ,

∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙ্গলের সমান কাজ করতে পারবে ।
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় । প্রমান করি যে , গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরল্ভেদে থাকবে ।
সমাধানঃ ধরি , গোলকের আয়তন V এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল S , প্রমান করতে হবে যে , V2 µ S3
শর্তানুসারে , V ∝ r3
বা , V = k r3 [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
এবং S ∝ r2
বা, S = m r2 [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
16. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) x ∝ 1/y হলে ,
(a) x=1/y
(b) y = 1/x
(c ) xy=1
(d) xy = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক
Ans: (d) xy = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক
(ii) যদি x ∝ y হয় , তখন
(a) x2 ∝ y3
(b) x3 ∝ y2
(c ) x ∝ y3
(d) x2 ∝ y2
Ans: (d) x2∝ y2
সমাধানঃ x ∝ y
∴ x = ky [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
∴ X2 = (ky)2
বা, x2 = k2y2
বা , x2 ∝ y2
(iii) x ∝ y এবং y =8 যখন x=2 ; y=16 হলে , x এর মান
(a) 2
(b) 4
(c ) 6
(d) 8
Ans: (b) 4
সমাধানঃ
x ∝ y
∴ x = ky [ K একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
এখন y = 8 যখন x =2
∴ 2 =8k
বা, k = 2/8
বা, k = ¼
∴ x = y/4
এখন y = 16 হলে ,
X = 16/4
বা , x = 4
(iv) x ∝ y2 এবং y =4 যখন x= 8 ; x=32 হলে , y এর ধনাত্মক মান
(a) 4
(b) 8
(c ) -1
(d) 32
Ans: (b) 8
সমাধানঃ
x ∝ y2
∴ x = k y2 [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
Y =4 যখন x = 8
∴ 8 = k (4)2
বা, 16k =8
বা, k = 8/16
বা, k = ½
∴ x = y2/2
এখন ,X = 32 হলে,
32 = y2/2
বা, y2 = 64
বা , y2 = (8)2
বা , y =8 [ যেহেতু y ধনাত্মক ]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) y ∝ 1/x হলে , y/x একটি অশূন্য ধ্রুবক ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
y ∝ 1/x হলে , xy একটি অশূন্য ধ্রুবক ।
(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে ,xy ∝ z
উত্তরঃ সত্য ।
Koshe Dekhi 13 |কষে দেখি ১৩ | ভেদ
(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে , x ∝___________ ।
উত্তরঃ x ∝ z

(ii) x ∝ y হলে , xn ∝ _________
উত্তরঃ yn
(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y+z) ∝_________
উত্তরঃ x

17. সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x ∝ y 2 এবং y = 2a যখন x=a; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ x ∝ y 2
∴ x = k y 2 [K একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]—-(i)
y=2a যখন x = a
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই ,
∴ a = k (2a)2
বা, a = 4a2k
বা, a= 1/4k
আবার (i) নং সমীকরনে k এর মান বসিয়ে পাই ,
∴ x = (1/4k)y2
Madhyamik Math Koshe Dekhi 13|ভেদ কষে দেখি ১৩|Koshe Dekhi 13 Class 10
(ii) x ∝ y , y ∝z এবং z ∝ x হলে , অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ x ∝ y
∴ x = py [ p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, p = x/y
y ∝ z
∴ y = qz [ q একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, q = y/z
z ∝ x
∴ z = rx [ r একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, r = z/x

Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন


Koshe Dekhi 13 Class 10|ভেদ কষে দেখি ১৩ ক্লাস ১০ (দশম শ্রেণি)
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে
VERY GOOD JOB , EXCELLENT
It’s very helpful
Very very helpful. Thank you