Madhyamik 2020 Math Question Solution| Madhyamik 2020 Math Question Paper Solved|Madhyamik 2020 Math Question Paper Answer|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|WBBSE Class 10 Math Exam 2020 Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর |মাধ্যমিক ২০২০ অঙ্ক প্রশ্নের সমাধান
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তর নির্বাচন করঃ
(i) কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুন হলে , বার্ষিক সরল সুদের হার –
(a) 5%
(b) 10%
(c ) 15%
(d) 20%
Ans:
সমাধানঃ ধরি , মূলধনের পরিমাণ x টাকা এবং বার্ষিক সরল সুদের হার r%
শর্তানুসারে ,
∴ বার্ষিক সরল সুদের হার 10%
(ii) x2-7x+3=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল
(a) 7
(ii) -7
(c ) 3
(d) -3
Ans: (c ) 3
সমাধানঃ x2-7x+3=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান , ∠AOB = 60° হলে, ∠COD এর মান কত হবে-
(a) 30°
(b) 60°
(c ) 120°
(d) 180°
Ans: (b) 60°
সমাধানঃ আমরা জানি সমান জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে ।
∴ ∠AOB=∠COD =60°
(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে তাদের উচ্চতার অনুপাত-
(a) 1:5
(b) 5:4
(c ) 25:16
(d) 25:64
Ans: (d ) 25:64
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কু দুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r1 একক এবং r2 একক এবং শঙ্কু দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h1 একক এবং h2 একক এবং শঙ্কু দুটির আয়তন যথাক্রমে V1ঘন একক ও V2 ঘন একক
∴ r1:r2 = 4:5
এবং , V1: V2 = 1:4
∴ h1:h2 = 25:64
(v) যদি , sinϴ-cosϴ=0 ,(0° ≤ ϴ≤ 90°) এবং secϴ+cosecϴ =x ,হয় তাহলে x এর মান –
(a) 1
(b) 2
(c ) √2
(d) 2√2
Ans: (d) 2√2
সমাধানঃ
sinϴ -cosϴ= 0
বা, sinϴ = cosϴ
বা, tanϴ = 1
বা, tanϴ =tan45°
বা, ϴ=45°
∴ secϴ +cosecϴ =x
বা, sec 45° +cosec 45° =x
বা, √2 + √2 =x
বা, 2√2 = x [উত্তর]
(vi) 1,3,2,8,10,8,3,2,8,8 এর সংখ্যাগুরু মান –
(a) 2
(b) 3
(c ) 8
(d) 10
Ans: (c ) 8
2. শূন্যস্থান পূরণ করঃ
(i) আনিসূর 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যাবসা শুরু করে । তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে __________ ।
উত্তরঃ 3:2
সমাধানঃ আনিসূর 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যাবসা শুরু করে । তাদের লভ্যাংশের অনুপাত = তাদের মূলধনের অনুপাত = (500✕9) : (600✕5) = 4500:3000 = 3:2
(ii) ax2+2bx+c=0 (a≠0) ,দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে b2 =________ হবে ।
Ans: 4ac
(iii) দুটি কোণের সমষ্টি ________ হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয় ।
Ans: 180°
(iv) sin3ϴ এর সর্বচ্চ মান __________ ।
Ans: 1
(v) একটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলে গোলক ও চোঙের ________ সমান হবে ।
Ans: আয়তন
(vi) কিছু ছাত্রের বয়স হলো (বছরে ) 10,11,9,7,13,8,14 এদের বয়সের মধ্যমা হল _____________ বছর ।
Ans:
সমাধানঃ কিছু ছাত্রের বয়স হলো (বছরে ) 10,11,9,7,13,8,14
মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই ,
7,8,9,10,11,13,14
এক্ষেত্রে n = 7(বিজোড় সংখ্যা )
∴ মধ্যমা = (n+1)/2 তম মান = (7+1)/2 তম মান = 4 তম মান =10 বছর
3. সত্য বা মিথ্যা লেখঃ
(ii) 2a =3b=4c হলে a:b:c =2:3:4
উত্তরঃ মিথ্যা
সমাধানঃ
a:b:c = 6:4:3
(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5:12:13 হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে ।
উত্তরঃ সত্য ।
ধরি , ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5k একক ,12k একক এবং 13k একক ।
এখন , (13k)2 =169k2 = 144k2 +25k2 = (12k)2 +(5k)2
∴ (13k)2 =(12k)2 +(5k)2
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
(iv) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে , রশ্মিটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক হবে ।
উত্তরঃ সত্য
(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুর আয়তন একই থাকে ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের বিগত বছরের প্রশ্ন উত্তর (Click Here)
4.
(i) কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত 5:6 হলে , বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ ধরি , আসলের পরিমাণ P টাকা এবং বার্ষিক সরল সুদের হার r%
∴ বার্ষিক সরল সুদের হার 4%
(ii) A ও B কোনো ব্যাবসায় 1050 টাকা লাভ করে । A এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B এর মূলধন কত ?
সমাধানঃ ধরি , B এর মূলধন x টাকা ।
∴ A ও B এর মূলধনের অনুপাত 900:x
শর্তানুসারে ,
∴ B এর মূলধন 600 টাকা ।
(iii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ x ∝ y
∴ x = k1y [ k1 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—-(i)
এবং , y ∝ z
∴ y = k2z [k2 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—-(ii)
আবার , z ∝ x
∴ z = k3x [ k3 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—-(iii)
(i),(ii) ও (iii) নং সমীকরণকে গুন করে পাই ,
xyz = k1k2k3xyz
বা, k1k2k3 = xyz/xyz
বা, k1k2k3 = 1
∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 [ এটাই ভেদধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক ]
(iv) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB=6সেমি., OD= 8 সেমি. এবং OA=5 সেমি. । OC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু হলে , OA2+OC2 = OB2+OD2হয় ।
∴ OA2+OC2 = OB2+OD2
বা, (5)2+OC2 = (6)2+(8)2
বা, 25+OC2 = 36+64
বা, OC2 = 100-25
বা, OC2 = 75
বা, OC2 = (5√3)2
বা, OC = 5√3
∴ OC এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি. ।
(vi) ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC =90° AB=3সেমি. এবং BC=4 সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় । BD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
ABC ত্রিভুজের ∠ABC = 90° এবং সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AC এর উপর BD লম্ব । । যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ ।
∴ ∆BDC এবং ∆ADB পরস্পর সদৃশ ।
∴ BD এর দৈর্ঘ্য 2 পূর্ণ 2/5 সেমি. ।
(vii) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8সেমি. ও 3 সেমি. । তাদের কেন্দ্র দ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি. । বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8সেমি. ও 3 সেমি. । তাদের কেন্দ্র দ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি.
∴ r1 = 8 সেমি. এবং r2 = 3সেমি. এবং d =13সেমি.
(viii) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় আবর্তন করে 360°
যেহেতু ঘড়ির কাঁটা ঘুরলে ঋণাত্মক কোণ উৎপন্ন করে
1 ঘণ্টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা যে কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান -π /6
(ix) tan4ϴ tan6ϴ =1 এবং 6ϴ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে , ϴ -এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
tan4ϴ tan6ϴ = 1
বা, tan4ϴ = 1/ tan6ϴ
বা, tan4ϴ = cot6ϴ
বা, tan4ϴ = tan(90°-6ϴ )
বা, 4ϴ =90°-6ϴ
বা, 10ϴ =90°
বা, ϴ = 90°/10 = 9°
∴ ϴ =9°
(x) কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি.। শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r সেমি.
শঙ্কুর উচ্চতা (h ) = 12 সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = 100 π ঘন সেমি.
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r সেমি.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l হলে ,
l2=h2+r2
বা, l2 = (12)2+(5)2
বা, l2 = 144+25
বা, l2 = 169
বা, l2=(13)2
বা, l = 13
∴ শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি. ।
(xi)দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4 হলে , তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4 ।
ধরি , গোলকটির ব্যাসার্ধ r 1 একক এবং r2 একক ।
∴ 4π r12 : 4π r22 = 1:4
5.
(i) তোমার কাকার কারখানার একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10 % হারে হ্রাস প্রাপ্ত হয় । মেশিনটির মূল্য 6000 টাকা হলে 3 বছর পরে ওই মেশিনের মূল্য কত হবে ?
সমাধানঃ মেশিনের বর্তমান মূল্য (P ) = 6000 টাকা ।
মেশিনের মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
ধরাযাক , মেশিনটির 3 বছর পর মূল্য হবে A টাকা
∴ মেশিনটির মূল্য 3 বছর পর হবে 4374 টাকা ।
(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা , 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন । প্রথমজন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করেন । তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের 2/5 অংশ তারা কাজের জন্য 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করবেন এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবেন । কোনো একমাসে যদি 29260 টাকা আয় হয় , তবে কে কত টাকা পাবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ তিন বন্ধুর মূলধনের পরিমানের অনুপাত
= 1,20,000:1,50,000:1,10,000
= 12:15:11
তাদের মাসিক আয় = 29260 টাকা
এই লাভের 2/5 অংশ তারা নিজেদের মধ্যে 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করে এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করেন ।
লাভের 2/5 অংশ = 2/5 ✕ 29260 টাকা = 11704 টাকা
এখন এই টাকা থেকে
লাভের বাকি অংশ = (29260 – 11704) টাকা = 17556 টাকা
এই টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করবেন
∴ ড্রাইভার মোট পাবে = (5016+5544) টাকা = 10560 টাকা
প্রথম কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344+6930) টাকা = 10274 টাকা
দ্বিতীয় কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344+5082 ) টাকা = 8426 টাকা
Madhyamik 2020 Math Question Solution
6.
সমাধানঃ
বা, (x-3)(x+5) = 48
বা, x2-3x+5x-15-48 = 0
বা, x2 +2x -63 =0
বা, x2 –( 9-7)x-63=0
বা, x2 -9x +7x -63=0
বা, x(x-9) +7(x-9) =0
বা, (x-9)(x+7) =0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ (x-9)=0
বা, x =9
এবং (x+7) =0
বা, x = -7
∴ নির্ণেয় সমাধান 9 এবং -7
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করে এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ ধরি, দুটি ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা হল x এবং x+2
শর্তানুসারে ,
X(x+2) = 143
বা, x2 +2x -143 = 0
সমীকরণটিকে ax2 +bx+c =0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a = 1 ,b = 2 এবং c = -143
∴ b2-4ac = (2)2 -4(1)(-143) =4+ 572 = 576 >0
∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
∴ x = 11 এবং x =13
∴ সংখ্যা দুটি হল 11 এবং 11+2 =13
Madhyamik 2020 Math Question Solution
7.
সমাধানঃ x=2+√3
এবং (x+y) =4
∴ y = 4-x
বা, y = 4-(2+√3)
বা, y = (2-√3)
∴ xy = (2+√3)(2-√3) =(2)2 –(√3)2 = 4-3 =1
= 1+1
= 2
(ii) a∝ b এবং b∝c হলে ,প্রমাণ কর যে , a3+b3+c3 ∝ 3abc
সমাধানঃ
A ∝ b
∴ a = pb [যেখানে p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
আবার , b ∝ c
∴ b = qc [যেখানে q একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
∴ a = pb =p(qc) =pqc = rc [ যেখানে pq = r = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
= ধ্রুবক
∴ a3+b3+c3 ∝ 3abc [প্রমাণিত ]
8
(i) X:a =y:b =z:c হলে দেখাও যে
সমাধানঃ
ধরি , X:a =y:b =z:c =k [ k(≠0) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x= ak , y = bk এবং z = ck
বামপক্ষঃ
ডানপক্ষঃ
= 3k3
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
Madhyamik 2020 Math Question Solution
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
9.
(i) প্রমাণ কর যে একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান ।
পাঠ্য বইয়ের (গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী) উপপাদ্য 35 দেখ ।
(ii) প্রমাণ কর , বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দৈর্ঘ্য দুটির সমান ।
পাঠ্য বইয়ের (গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণী) উপপাদ্য 41 দেখ ।
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
10.
(i)দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে , প্রমান কর A ,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ ।
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে , PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস প্রমান করেতে হবে যে A , Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ ।
অঙ্কনঃ P ,Q যুক্ত করা হল ।
প্রমানঃ APQ ত্রিভুজে , AP ব্যাস ।
∴ ∠AQP = 90° [ যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ ]
আবার , ∆BQP ত্রিভুজে , PB ব্যাস
∴ ∠PQB = 90° [ যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ ]
এখন , ∠AQB
=∠AQP+∠PQB
=90°+90°
=180°
∴ A ,Q ও B একই সরলরেখায় অবস্থিত ।
∴ A ,Q ও B সমরেখ ।
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠BAC সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব । যেহেতু সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ ।
∴ ∆ABC এবং ∆DAC পরস্পর সদৃশ
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
11.
(i) 4 সেমি. ও 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দুটির মধ্য সমানুপাতী অঙ্কন কর ।
সমাধানঃ
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতীটি হল PM যার দৈর্ঘ্য 3.5সেমি. ।
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
(ii) 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন কর । বৃত্তের উপর A বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন কর ।
∴ A বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি হল PQ
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
12.
সমাধানঃ
(ii) দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর π/12 হলে , কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , কোণ দুটি হল A এবং B
∴ A+B = 135° —–(i)
এবং A-B = π/12
বা, A-B = 15° —(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
A+B +A-B = 135°+15°
বা, 2A = 150°
বা, A = 150°/2
বা, A = 75°
A এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই ,
75°+B = 135°
বা, B = 135°-75°
বা, B = 60°
∴ Aও B কোণের ষষ্টিক মান যথাক্রমে 75° এবং 60°
Madhyamik 2020 Math Question Solution
(iii) মান নির্ণয় করঃ
13.
সমাধানঃ
ধরাযাক , PQ হ্রদের A বিন্দু থেকে h উচ্চতায় B বিন্দু থেকে c বিন্দুতে অবস্থিত মেঘের উন্নতি কোণ α আবার B বিন্দু থেকে মেঘের প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β ।
∴ ∠CBE =α এবং ∠EBD = β
B বিন্দু থেকে PQ এর সমান্তরাল সরলরেখা টানা হল যা CD বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে ।
BEC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
∴ BE tanα =CE —(i)
আবার সমকোণী ত্রিভুজ BED থেকে পাই ,
বা, DE = BE tanβ
বা, DF+FE = BE tanβ
বা, CF+AB = BE tan β [ যেহেতু হ্রদ থেকে মেঘের দূরত্ব এবং হ্রদ থেকে প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান ∴ CF=FD এবং AB = EF =h মিটার । ]
বা, CE+EF+AB = BE tanβ
বা, CE +h+h =BE tanβ
বা, CE+2h = BEtanβ
বা, BEtanα +2h = BEtanβ
বা, 2h = BEtanβ-BEtana
বা, 2h = BE(tanβ-tanα)
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের বিগত বছরের প্রশ্ন উত্তর (Click Here)
(ii) দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটারও 60 মিটার।দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথম চূড়ার উন্নতি কোণ 60°হলে ,প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয় চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় কর ।
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
14. (i) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি. । নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে ,নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ ধরি , নলটির দৈর্ঘ্য h সেমি. ।
নলটির বহির্ব্যাসার্ধ (R ) = 5 সেমি.
নলটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 4 সেমি.
নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= {2πRh+2πrh+π(R2-r2)h } বর্গসেমি.
শর্তানুসারে ,
বা, 396h+396 =8316
বা, 396h = 8316-396
বা, 396h = 7920
∴ নলটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. ।
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
(ii) 9 সেমি. অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধ গোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি. ব্যাস এবং 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ (R ) = 9 সেমি.
∴ অর্ধ গোলাকৃতি পাত্রের আয়তন
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস 3 সেমি. ।
∴ বোতলের ব্যাসার্ধ (r ) = 3/2 সেমি.
বোতলের উচ্চতা (h) = 4 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= πr2h ঘন সেমি.
ধরি , পাত্রটি খালি করতে x টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।
∴পাত্রের পাত্রের জলের আয়তন = x টি বোতলের জলের আয়তন
বা, 486 = 9x
বা, x = 486/9
বা, x = 54
∴ পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতলের প্রয়োজন হবে ।
Madhyamik 2020 Math Question Solution|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত সমাধান|মাধ্যমিক ২০২০ গণিত প্রশ্ন উত্তর
(iii)একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার । প্রতিও বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত খরচ পড়বে ?
সমাধানঃ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাস 21 মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r ) = 21/2 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 14 মিটার ।
ধরি , লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l সেমি.
∴ l2 = h2+r2
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের বিগত বছরের প্রশ্ন উত্তর (Click Here)
15.
(i) ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় কর যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়
| নম্বর | ছাত্রী সংখ্যা |
| 10 এর কম | 6 |
| 20 এর কম | 10 |
| 30 এর কম | 18 |
| 40 এর কম | 30 |
| 50 এর কম | 46 |
সমাধানঃ এখানে দেখা যাচ্ছে যে 6 জন 10 এর কম পেয়েছে , অর্থাৎ 0-10 এর মধ্যে পেয়েছে 6 জন । আবার 10 জন 20 এর কম পেয়েছে, সুতরাং 10-20 এর মধ্যে পেয়েছে (10-6) জন = 4 জন । এভাবে পরিসংখ্যা তালিকাটি তৈরি করলে তা হবে
| নম্বর | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| ছাত্রী সংখ্যা | 6 | 4 | 89 | 12 | 16 |
এক্ষেত্রে a = 25 এবং h = 10 ধরে পাই ,
| শ্রেণী সীমানা | পরিসংখ্যা (fi) | শ্রেণী মধ্যক (xi) | ui = (xi-a)/10 | fiui |
| 0-10 | 6 | 5 | -2 | -12 |
| 10-20 | 4 | 15 | -1 | -4 |
| 20-30 | 8 | 25 = a | 0 | 0 |
| 30-40 | 12 | 35 | 1 | 12 |
| 40-50 | 16 | 45 | 2 | 32 |
| মোট | ∑fi = 46 | ∑fiui =28 |
ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড়
(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করি ।
| শ্রেণী সীমানা | পরিসংখ্যা |
| 0-10 | 4 |
| 10-20 | 7 |
| 20-30 | 10 |
| 30-40 | 15 |
| 40-50 | 10 |
| 50-60 | 8 |
| 60-70 | 5 |
সমাধানঃ
পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হল
| শ্রেণি সীমানা | পরিসংখ্যা | ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক ) |
| 0-10 | 4 | 4 |
| 10-20 | 7 | 11 |
| 20-30 | 10 | 21 |
| 30-40 | 15 | 36 |
| 40-50 | 10 | 46 |
| 50-60 | 8 | 54 |
| 60-70 | 5 | 59 = n |
এখানে n = 59
∴ n/2 = 59/2 =29.5
29.5 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (30-40) শ্রেণীর মধ্যে আছে ।
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণীটি হল (30-40)
∴ নির্ণেয় মধ্যামা
(iii) নীচের শ্রেণী –বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় কর ।
| শ্রেণী | পরিসংখ্যা |
| 1-6 | 2 |
| 6-9 | 6 |
| 9-12 | 12 |
| 12-15 | 24 |
| 15-18 | 21 |
| 18-21 | 12 |
| 21-24 | 3 |
সমাধানঃ
উপরের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখাগুরুমান শ্রেণীটি হল 12-15 ।
∴ নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান
= 12 +4
= 16 [উত্তর ]
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
ধন্যবাদ । যদি আপনাদের এই POST টি ভালো লাগে তাহলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এই রকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন।