WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution.
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান|গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9)(IX)Math Book Solution.
Koshe Dekhi- 15.2|কষে দেখি-15.2
1. নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
(i) ABC ত্রিভুজের AB =BC =CA = 10সেমি.
∴ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ
(ii) ABC ত্রিভুজের AB =AC = 10 সেমি. এবং BC = 8 সেমি.
∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ।
A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ AD , ABC ত্রিভুজের একটি মধ্যমা ।
∴ CD = 8/2 সেমি. = 4 সেমি.
এখন ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AC2 = AD2 + CD2
বা, (10)2 = AD2 + (4)2
বা, 100 = AD2 +16
বা, AD2 = 100-16
বা, AD2 = 84
বা, AD = √84
বা, AD = 2√21
(iii) ABCD চতুর্ভুজের AD || BC
∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম ।
আবার , CD ⊥ AD এবং CD ⊥ BC
∴ CD , ABCD ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ।
ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= ½ ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) ✕ উচ্চতা
= ½ ✕ (AD + BC) ✕ CD
= { ½ ✕(5+4) ✕ 3 } বর্গ সেমি.
= 27/2 বর্গ সেমি.
= 13.5 বর্গ সেমি.
(iv) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD ⊥ BC
∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার উচ্চতা AD
ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= ½ ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) ✕ উচ্চতা
= ½ ✕ (AB+DC) ✕ AD
= {½ ✕(15+40) ✕ 9 } বর্গ সেমি.
= 247.50 বর্গ সেমি.
(v) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD || BC , অর্থাৎ বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল এবং ∠ADC = 90
∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র
এখন , ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AD2 +CD2 = AC2
বা, AD2 + (38)2 = (42)2
বা, AD2 = (42)2 –(38)2
বা, AD2 = (42+38) (42-38)
বা, AD2 = 80 ✕ 4
বা, AD2 = 320
বা, AD = 8√5
∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AD ☓ DC = (8√5 ☓ 38 ) বর্গ সেমি. = 304√5 বর্গ সেমি. ।
| WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution. |
2. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 48 সেমি. হলে তার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a সেমি. ।
শর্তানুসারে ,
3a = 48
বা, a = 48/3
বা, a = 16
∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সেমি. ।
এবং সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সেমি. ।
3. ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি. হলে , ত্রিভুজটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে , ABC এর ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = 10 সেমি. এবং BC =4 সেমি. । এখন A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ ∠ADB =∠ADC =90° এবং D , BC এর মধ্যবিন্দু ।
∴ BD =DC = 4/2 সেমি. = 2 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই ,
AC2 = AD2 +CD2
বা, (10)2 = AD2 + (2)2
বা, 100 = AD2 + 4
বা, AD2 = 96
বা, AD = √96 = √(16☓6) = 4√6
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 4√6 সেমি. ।
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা
= ½ ☓ BC ☓ AD
= (½ ☓ 4 ☓ 4√6 ) বর্গ সেমি.
= 8√6 বর্গ সেমি.
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 8√6 বর্গ সেমি. ।
5. যদি কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হয় , তবে ওই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার , AB = AC = 10 সেমি. এবং ভূমি BC = 12 সেমি. । এখন A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ ADB =ADC =90 এবং D , BC এর মধ্যবিন্দু ।
∴ BD =DC = 12/2 সেমি. = 6 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই ,
AC2 = AD2 +CD2
বা, (10)2 = AD2 + (6)2
বা, 100 = AD2 + 36
বা, AD2 = 64
বা, AD = √64 = 8
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 8 সেমি. ।
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা
= ½ ☓ BC ☓ AD
= (½ ☓ 12 ☓ 8 ) বর্গ সেমি.
= 48 বর্গ সেমি.
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সেমি. ।
6. কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের 5/6 অংশ ; ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ , যার AB = AC = x সেমি. এবং অতিভুজ AC = 12√2 সেমি. ।
ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AB2 +BC2 = AC2
বা, x2+x2 = (12√2 )2
বা, 2x2 = 288
বা, x2 = 144
বা, x2 = (12)2
বা, x = 12
∴ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. ।
∴ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা
= ( ½ ☓ 12 ☓12 ) বর্গসেমি.
= 72 বর্গ সেমি.
∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সেমি. ।
8.পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি. ও 8 সেমি. এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির প্রত্যেকটি 90°; সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য লিখি এবং সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট্য লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে 90° কোণে ছেদ করেছে । ∴ ABCD একটি রম্বস ।
আরও ধরা যাক , AC = 6 সেমি. এবং BD = 8 সেমি. ।
যেহেতু ,রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে ,
∴ AO = OC = 6/2 = 3 সেমি. এবং OB =OD = 8 /2 সেমি. = 4 সেমি.
এখন , AOD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AD2 = OA2+OD2
বা, AD2 = (3)2 + (4)2
বা, AD2 = 9+16
বা, AD2 = 25
বা, AD2 = (5)2
বা, AD = 5
∴ AB=BC =CD =DA = 5সেমি. [যেহেতু , রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ]
∴ সমান্তরিকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং সামান্তরিকটি একটি রম্বস ।
9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4 ; পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার ।
(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি ।
(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি, ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 2x মিটার , 3x মিটার এবং 4x মিটার ।
শর্তানুসারে ,
2x+3x+4x= 216
বা, 9x = 216
বা, x = 216/9
বা, x = 24
∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে (2☓24) মিটার = 48 মিটার , (3☓24) মিটার = 72 মিটার এবং (4☓24) মিটার = 96 মিটার ।
(i) ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফলঃ
ত্রিভুজাকৃতি পার্কের পরিসীমা = (48+72+96) মিটার = 216 মিটার ।
∴ত্রিভুজাকৃতি পার্কের অর্ধ পরিসীমা (S) = 216/2 মিটার = 108 মিটার ।
∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফল
∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফল 432√15 বর্গ মিটার ।
(ii) ধরা যাক , ABC হল ত্রিভুজাকৃতি পার্ক এবং BC হল বৃহত্তম বাহু ।
এখন , A থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব টানা হল ।
অর্থাৎ AD হল পার্কের বৃহত্তম বাহু থেকে বিপরীত কৌণিক বিন্দু Aপর্যন্ত লম্ব দূরত্ব ।
শর্তানুসারে ,
½ ☓ BC ☓ AD = 432√15
বা, ½ ☓ 96 ☓AD = 432√15
বা, AD = 9Ö15
অর্থাৎ ,পার্কের বৃহত্তম বাহু থেকে বিপরীত কৌণিক বিন্দু পর্যন্ত হাঁটতে হলে 9√15 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে ।
10.পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার , 28 মিটার ও 30 মিটার ।
(i) প্রতি বর্গমিটার 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।
(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা = (26+28+30) মিটার = 84 মিটার
∴ অর্ধ পরিসীমা (s) = 84/2 মিটার = 42 মিটার ।
∴ ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল
∴ প্রতি বর্গ মিটার 5 টাকা হিসাবে ঘাস লাগাতে খরচ হবে = (336✕5) টাকা = 1680 টাকা ।
(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে , যে দৈর্ঘ্যের বেড়া লাগবে তা হল –
(ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা – গেটের জন্য ছেড়ে রাখা জায়গার পরিমাণ)
= (84 -5 )মিটার
= 79 মিটার
∴ প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে খরচ হবে = (79 ☓18) টাকা = 1422 টাকা ।
11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে । আমি ওই সমবাহু ত্রিভুজের অন্তস্থঃ কোনো বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহ গুলির ওপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করেছি যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি. ,12 সেমি. এবং 8 সেমি. । হিসাব করে PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , PQR সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
∴ PQ =QR =RP = a সেমি. ।
আরও ধরা যাক , PQR ত্রিভুজের অন্তস্থ বিন্দু O থেকে PQ ,QR এবং PR বাহুগুলির ওপর লম্ব তিনটি যথাক্রমে OX ,OY এবং OZ এবং OX = 10 সেমি. , OY = 12 সেমি. এবং OZ = 8 সেমি.
স্পষ্টতই , ∆PQR = ∆OPQ + ∆OQR + ∆ORP
∴ PQR সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300√3 বর্গ সেমি. ।
| WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution. |
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
12. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি ,ABC ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় হল AB এবং BC । অর্থাৎ AB = BC = 20 সেমি. এবং ∠ABC = 45˚ ।
অঙ্কনঃ ABC ত্রিভুজটির A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর লম্ব AD অঙ্কন করা হল ।
ABD ত্রিভুজের ∠ABD= 45˚ এবং ∠ADB =90˚
∴ ∠BAD = 180˚-(∠ADB+∠ABD) = 180˚- (90˚+45˚)=180˚-135˚=45˚
∴ ABD ত্রিভুজের ∠BAD = ∠ABD =45˚
∴ AD = BD
ধরি ,AD = BD =x সেমি.
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই ,
AB2 = AD2+BD2
বা, AB2 = x2+x2
বা, (20)2 = 2x2
বা, 2x2 = 400
বা ,x2 = 200
বা , x2= 2×100
বা, x = 10√2
∴ ABC ত্রিভুজের ভূমি BC = 20 সেমি. এবং উচ্চতা = 10√2 সেমি.
∴ ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ ×ভূমি × উচ্চতা = (½ ×20×10√2) বর্গ সেমি. = 100√2 বর্গ সেমি.
বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করে )
12. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB =AC = 20 সেমি. এবং BAC = 45° , B বিন্দু থেকে AC এর ওপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
এখন , BAD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি ,ABC ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় হল AB এবং BC । অর্থাৎ AB = BC = 20 সেমি. এবং ∠ABC = 30˚ ।
অঙ্কনঃ এখন, ABC এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল । AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = DE হয় ।
এখন ত্রিভুজ ABD এবং ত্রিভুজ BDE এর ক্ষেত্রে ,
AD =DE [অঙ্কনানুসারে ]
∠ADB = ∠BDE =90˚
BD সাধারণ বাহু
∴ △ABD = △BDE (S-A-S শর্তানুসারে )
∴ ∠ABD = ∠DBE = 30˚
আবার , ∠BAD = ∠BED
ত্রিভুজ ABD –এর
∠BAD + ∠ABD + ∠BDA=180˚
বা, ∠BAD + 30˚ +90˚ =180˚
বা, ∠BAD = 180˚ -120˚
বা, ∠BAD = 60˚
∴ ∠BED =60˚
এখন ত্রিভুজ ABE –এর ,
∠ABE = ∠ABD + ∠DBE = 30˚+30˚=60˚
আবার , ∠BAD = ∠BAE = 60˚ এবং ∠BED=∠BEA = 60˚
∴ ত্রিভুজ ABE একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।
∴ AB = BE = AE = 20 সেমি.
আবার , AD = DE
∴ AD = 10 সেমি.
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ ×20×10 বর্গ সেমি. = 100 বর্গ সেমি.
বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করে )
13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB =AC = 20 সেমি. এবং BAC = 30° , B বিন্দু থেকে AC এর ওপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
এখন , BAD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
14. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা (√2+1) সেমি. হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a সেমি. এবং অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য b একক ।
∴ a+a+b = (√2+1)
বা, 2a+b = (√2+1) —(i)
এখন , পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
a2+a2 =b2
বা, 2a2 =b2
বা, b = a√2
(i) নং সমকরণ থেকে পাই ,
a+a+a√2 = √2 +1
বা, 2a+a√2 = √2 +1
বা, a√2 (√2+1) = √2 +1
15. মারিয়া ঘণ্টায় 18 কিমি. বেগে সাইকেল চালিয়ে 10 মিনিটে একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর ঘুরে এল । ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি । (√3 = 1.732 )
সমাধানঃ 18 কিমি. = 18000 মিটার ।
মারিয়া 60 মিনিটে যায় 18000 মিটার
16. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1মিটার বৃদ্ধি করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল √3 মিটার বৃদ্ধি পায় ।সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করি ।
বা, 2a+1 = 4
বা, 2a = 4-1
বা, 2a = 3
বা, a = 3/2
বা, a = 1.5
∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার ।
17. একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত √3 : 2 ; বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 60 সেমি. হলে , সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হিসাব করে লিখি ।
18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং পরিসীমা যথাক্রমে 13 সেমি. এবং 30 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , সমকোণী ত্রিভুজটির সমকোণ সংলগ্ন বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a সেমি. এবং b সেমি. ।
∴ a+b = ত্রিভুজটির পরিসীমা – অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (30 -13) সেমি. = 17 সেমি. ।
আবার , a2+b2 =(13)2
বা, (a+b)2 -2ab = 169
বা, (17)2 – 2ab = 169
বা, 289 – 2ab = 169
বা, 2ab = 289 – 169
বা, 2ab = 120
বা, ab = 60
∴ সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা = ½ ☓ 60 বর্গ সেমি. = 30 বর্গ সেমি. ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সেমি. ।
19. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সেমি. ও 5 সেমি. ।সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি । (3 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান ) ।
20. 3 সেমি. ,4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গাকারক্ষেত্র এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যার একটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজটির অতিভুজের ওপর অবস্থিত । বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্যের হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর AB = 3সেমি. , BC = 4 সেমি. এবং AC = 3সেমি. ।
সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গাকার ক্ষেত্র BDEF কেটে নেওয়া হল যার একটি শির্সবিন্দু E ত্রিভুজটির অতিভুজ AC এর ওপর অবস্থিত । ধরি, বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
∴ AF = (3-a) সেমি. এবং DC = (4-a) সেমি. ।
এখন , ∆AFE +∆EDC + বর্গক্ষেত্র BDEF = ∆ABC
বা, ½ ✕ FE ✕ AF + ½ ✕ DC ✕ DE + BD2 = ½ ✕ 4 ✕ 3
বা, ½ [a(3-a) +(4-a)a ] + a2 = ½ ✕ 4 ✕ 3
বা, ½ [3a-a2 +4a –a2 ] +a2 =6
21. বহু বিকল্পীয় প্রশ্নঃ (M.C.Q)
(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. হলে ত্রিভুজটির উচ্চতার পরিমাপ
(a) 4√3 সেমি.
(b) 16√3 সেমি.
(c ) 8√3 সেমি.
(d ) 2√3সেমি.
Ans: (d ) 2√3সেমি.
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a একক । ত্রিভুজটির পরিসীমা
(a) (1+√2)a একক
(b) (2 +√2)a একক
(c ) 3a একক
(d) (3+2√2)a একক
Ans: (b) (2 +√2)a একক
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল , পরিসীমা এবং উচ্চতা যথাক্রমে a,s এবং h হলে, 2a /sh এর মান
(a) 1
(b) ½
(c ) 1/3
(d) 1/4
Ans: (c ) 1/3
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x একক ।
(iv) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 6 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
(a) 18 বর্গ সেমি.
(b) 12 বর্গ সেমি.
(c ) 15 বর্গ সেমি.
(d) 30 বর্গ সেমি.
Ans: (b) 12 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
(v) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর ওপর Dএমন একটি বিন্দু যে AD : DC = 3:2 ; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সেমি. হলে BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 16 বর্গ সেমি.
(b ) 24 বর্গ সেমি.
(c ) 30 বর্গ সেমি.
(d ) 36 বর্গ সেমি.
Ans: (a) 16 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ B বিন্দু থেকে AC –এর ওপর BE লম্ব টানা হল ।
আবার, AD :DC = 3:2 [প্রদত্ত ]
∴ ∆ABD : ∆BDC = ½ ☓AD ☓ BE : ½ ☓ DC ☓ BE = AD : DC = 3:2
বা, 2∆ABD = 3 ∆BDC
বা, ∆ABD = 3/2 ∆BDC
∴ ∆ABC = ∆ABD+∆BDC
∴ BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি. ।
(vi) একটি ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা থেকে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর যথাক্রমে 8 সেমি. ,7 সেমি. ও 5 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
(a ) 20√7 বর্গ সেমি.
(b) 10√14 বর্গ সেমি.
(c ) 20√14 বর্গ সেমি.
(d ) 140 বর্গ সেমি.
Ans: (c ) 20√14 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ ধরা যাক , ত্রিভুজটির অর্ধ পরিসীমা s সেমি.
∴ (s-a) = 8 সেমি. , (s-b) = 7 সেমি. এবং (s –c) = 5 সেমি.
∴ (s-a)+(s-b) +(s-c) =20
বা, 3s –(a+b+c) = 20
22. সংক্ষিপ্ত উত্তর ভিত্তিক প্রশ্নঃ
(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার সংখ্যামান সমান । ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক ।
(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে ?
(iii) একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুন করলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হয় ?
(iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি. , x সেমি. এবং (x+2) সেমি. । ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধানঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি. , x সেমি. এবং (x+2) সেমি. ।
সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
(x+2)2 = x2 +(x-2)2
বা, x2 + 4x +4 = x2 +x2 -4x +4
বা, x2 +4x +4 –x2 –x2 +4x -4 = 0
বা, -x2 +8x = 0
বা, -x (x-8) = 0
বা, x (x -8) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য ।
∴ x = 0 অথবা (x-8) = 0 ⇒ x = 8
কিন্তু , x = 0 , এক্ষেত্রে অসম্ভব
∴ x = 8
সুতরাং ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য (x+2) সেমি. = (8+2) সেমি. = 10 সেমি. ।
(v ) একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার ওপর একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হল ।ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত ?
| WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution. |
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
15.2 chapter এর 13 নং অঙ্ক টা ত্রিকোনোমিতি ব্যবহার না করে কিভাবে হবে? কারণ ক্লাস 9 এ West Bengal board এ ত্রিকোনোমিতি নেই
অসংখ্যা ধন্যবাদ আপনাকে এই মতামতের জন্য । অঙ্ক দুটির (12 এবং 13) সমাধান ত্রিকোণমিতি ছাড়াও অন্য পদ্ধতিতে দেওয়া হল ।অনুশীলন.কম -এর পাশে থাকবেন।
Eta khuh valo websites
Thank you
কোটি কোটি ধন্যবাদ