WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2.ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution.

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

WBBSE OFFICIAL SITE

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান|গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9)(IX)Math Book Solution.

Koshe Dekhi- 15.2|কষে দেখি-15.2

1. নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

(i) ABC ত্রিভুজের AB =BC =CA = 10সেমি.

∴ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ

(ii) ABC ত্রিভুজের AB =AC = 10 সেমি. এবং BC = 8 সেমি.

∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ।

A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।

∴ AD , ABC ত্রিভুজের একটি  মধ্যমা ।

∴ CD = 8/2 সেমি. = 4 সেমি.

এখন ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

AC² = AD² + CD²

বা, (10)² = AD² + (4)²

বা, 100 = AD² +16

বা, AD² = 100-16

বা, AD² = 84

বা, AD = √84

বা, AD = 2√21

(iii) ABCD চতুর্ভুজের AD || BC

∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম ।

আবার , CD ⊥ AD এবং CD ⊥ BC

∴ CD , ABCD ট্রাপিজিয়ামের  উচ্চতা ।

ABCD ট্রাপিজিয়ামের  ক্ষেত্রফল

= ½  ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) ✕ উচ্চতা

= ½ ✕ (AD + BC) ✕ CD

= { ½ ✕(5+4) ✕ 3 } বর্গ সেমি.

= 27/2 বর্গ সেমি.

= 13.5 বর্গ সেমি.

(iv) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD ⊥ BC

∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার উচ্চতা AD

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

= ½ ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের  যোগফল ) ✕ উচ্চতা

= ½ ✕ (AB+DC) ✕ AD

= {½ ✕(15+40) ✕ 9 } বর্গ সেমি.

= 247.50 বর্গ সেমি.

(v) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD || BC , অর্থাৎ বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল এবং ∠ADC = 90

∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র

এখন , ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

AD² +CD² = AC²

বা, AD² + (38)² = (42)²

বা, AD² = (42)² –(38)²

বা, AD² = (42+38) (42-38)

বা, AD² = 80 ✕ 4

বা, AD² = 320

বা, AD = 8√5

∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের  ক্ষেত্রফল = AD ☓ DC = (8√5 ☓ 38 ) বর্গ সেমি. = 304√5 বর্গ সেমি. ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution.

2. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 48 সেমি. হলে তার ক্ষেত্রফল  হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের  বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a সেমি. ।

শর্তানুসারে ,

3a = 48

বা, a = 48/3

বা, a = 16

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সেমি. ।

এবং সমবাহু  ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সেমি. ।

3. ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি. হলে  , ত্রিভুজটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে , ABC এর ক্ষেত্রফল  হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = 10 সেমি. এবং BC =4 সেমি. । এখন A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।

∴ ∠ADB =∠ADC =90° এবং  D , BC এর মধ্যবিন্দু ।

∴ BD =DC = 4/2 সেমি. = 2 সেমি.

সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই ,

AC² = AD² +CD²

বা, (10)² = AD² + (2)²

বা, 100 = AD² + 4

বা, AD² = 96

বা, AD = √96 = √(16☓6) = 4√6

∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের  উচ্চতা 4√6 সেমি. ।

∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা

= ½ ☓ BC ☓ AD

= (½ ☓ 4 ☓ 4√6 ) বর্গ সেমি.

= 8√6 বর্গ সেমি.

∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 8√6 বর্গ সেমি. ।

5. যদি কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হয় ,  তবে ওই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব  করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ,  AB = AC = 10 সেমি. এবং ভূমি  BC = 12 সেমি. । এখন A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।

∴ ADB =ADC =90 এবং  D , BC এর মধ্যবিন্দু ।

∴ BD =DC = 12/2 সেমি. = 6 সেমি.

সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই ,

AC² = AD² +CD²

বা, (10)² = AD² + (6)²

বা, 100 = AD² + 36

বা, AD² = 64

বা, AD = √64 = 8

∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের  উচ্চতা  8 সেমি. ।

∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা

= ½ ☓ BC ☓ AD

= (½ ☓ 12 ☓ 8 ) বর্গ সেমি.

= 48 বর্গ সেমি.

∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সেমি. ।

6. কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের 5/6 অংশ ;  ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি. হলে,  ত্রিভুজটির  ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ , যার AB = AC = x সেমি.   এবং অতিভুজ  AC = 12√2 সেমি. ।

ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  থেকে পাই ,

AB² +BC² = AC²

বা,  x²+x² = (12√2 )²

বা, 2x² = 288

বা, x² = 144

বা, x² = (12)²

বা, x = 12

∴ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের  সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. ।

∴ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল  

= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা

= ( ½ ☓ 12 ☓12 ) বর্গসেমি.

= 72 বর্গ সেমি.

∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সেমি. ।

8.পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার কর্ণদ্বয়ের  দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি. ও 8 সেমি. এবং  কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী  কোণগুলির প্রত্যেকটি 90°;  সামান্তরিকের বাহুগুলির  দৈর্ঘ্য লিখি এবং সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট্য লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে 90° কোণে  ছেদ করেছে । ∴ ABCD একটি রম্বস ।

 আরও ধরা যাক , AC = 6 সেমি. এবং BD = 8 সেমি. ।

 যেহেতু ,রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে ,

∴ AO = OC = 6/2 = 3 সেমি. এবং OB =OD = 8 /2 সেমি. = 4 সেমি.

এখন , AOD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

AD² = OA²+OD²

বা, AD² = (3)² + (4)²

বা, AD² = 9+16

বা, AD² = 25

বা, AD² = (5)²

বা, AD = 5

∴ AB=BC =CD =DA = 5সেমি. [যেহেতু , রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ]

∴ সমান্তরিকটির প্রতিটি বাহুর  দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং সামান্তরিকটি একটি  রম্বস ।

9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4 ; পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার ।

(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি ।

(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত  বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি, ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুগুলির  দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 2x মিটার , 3x মিটার এবং 4x মিটার ।

শর্তানুসারে ,

2x+3x+4x= 216

বা, 9x = 216

বা, x = 216/9

বা, x = 24

∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে (2☓24) মিটার = 48 মিটার , (3☓24) মিটার = 72 মিটার এবং (4☓24) মিটার = 96 মিটার ।

(i)  ত্রিভুজাকৃতি পার্কের  ক্ষেত্রফলঃ

ত্রিভুজাকৃতি পার্কের পরিসীমা = (48+72+96) মিটার = 216 মিটার ।

 ∴ত্রিভুজাকৃতি পার্কের অর্ধ পরিসীমা (S) = 216/2 মিটার = 108 মিটার ।

∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফল

∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের  ক্ষেত্রফল 432√15 বর্গ মিটার ।

(ii) ধরা যাক , ABC হল  ত্রিভুজাকৃতি পার্ক এবং BC হল বৃহত্তম বাহু ।

এখন , A থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব টানা হল ।

অর্থাৎ AD হল পার্কের বৃহত্তম বাহু থেকে  বিপরীত কৌণিক বিন্দু Aপর্যন্ত লম্ব দূরত্ব ।

শর্তানুসারে ,

½ ☓ BC ☓ AD = 432√15

বা, ½ ☓ 96 ☓AD = 432√15

বা, AD = 9Ö15

অর্থাৎ ,পার্কের  বৃহত্তম বাহু থেকে বিপরীত কৌণিক বিন্দু পর্যন্ত হাঁটতে হলে 9√15 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে ।

10.পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য  যথাক্রমে 26 মিটার , 28 মিটার   ও 30 মিটার ।

(i) প্রতি বর্গমিটার 5 টাকা হিসাবে   ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।

(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে  প্রবেশের গেট  তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ  হবে  হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা = (26+28+30) মিটার = 84 মিটার

∴ অর্ধ পরিসীমা (s) = 84/2 মিটার = 42 মিটার ।

 ∴ ত্রিভুজাকৃতি মাঠের  ক্ষেত্রফল 

∴ প্রতি বর্গ মিটার 5 টাকা হিসাবে ঘাস লাগাতে খরচ হবে = (336✕5) টাকা = 1680 টাকা ।

(ii)  ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে  প্রবেশের গেট  তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে ,  যে  দৈর্ঘ্যের বেড়া লাগবে তা হল –

(ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা –  গেটের জন্য ছেড়ে রাখা জায়গার পরিমাণ)

= (84 -5 )মিটার

= 79 মিটার

∴ প্রতি  মিটার 18 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে খরচ হবে = (79 ☓18) টাকা = 1422 টাকা ।

11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে । আমি ওই সমবাহু ত্রিভুজের অন্তস্থঃ কোনো  বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহ গুলির ওপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করেছি যাদের  দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি. ,12 সেমি. এবং 8 সেমি. ।  হিসাব করে PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , PQR সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।

∴ PQ =QR =RP = a সেমি. ।

আরও  ধরা যাক , PQR ত্রিভুজের অন্তস্থ বিন্দু O থেকে  PQ ,QR এবং PR বাহুগুলির ওপর লম্ব তিনটি যথাক্রমে OX ,OY এবং OZ এবং OX = 10 সেমি. , OY = 12 সেমি. এবং OZ = 8 সেমি.

স্পষ্টতই , ∆PQR  = ∆OPQ + ∆OQR + ∆ORP

∴ PQR সমবাহু  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300√3 বর্গ সেমি. ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution.

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

12. একটি  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ধরি ,ABC ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় হল AB এবং BC । অর্থাৎ AB = BC = 20 সেমি. এবং ∠ABC = 45˚ ।

অঙ্কনঃ ABC ত্রিভুজটির A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর লম্ব AD অঙ্কন করা হল ।

ABD ত্রিভুজের ∠ABD= 45˚ এবং ∠ADB =90˚

∴ ∠BAD = 180˚-(∠ADB+∠ABD) = 180˚- (90˚+45˚)=180˚-135˚=45˚

∴ ABD ত্রিভুজের ∠BAD = ∠ABD =45˚

∴ AD = BD

ধরি ,AD = BD =x সেমি.

এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই ,

AB² =  AD²+BD²

বা, AB² = x²+x²

বা, (20)² = 2x²

বা, 2x² = 400

বা ,x² = 200

বা , x²= 2×100

বা, x = 10√2

∴ ABC ত্রিভুজের ভূমি BC = 20 সেমি. এবং উচ্চতা = 10√2 সেমি.

∴ ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ ×ভূমি × উচ্চতা = (½ ×20×10√2) বর্গ সেমি. = 100√2 বর্গ সেমি.

বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করে )

12. একটি  সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB =AC = 20 সেমি. এবং BAC = 45° , B বিন্দু থেকে AC এর ওপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল ।

এখন , BAD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই  বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ধরি ,ABC ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় হল AB এবং BC । অর্থাৎ AB = BC = 20 সেমি. এবং ∠ABC = 30˚ ।

অঙ্কনঃ এখন, ABC এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল । AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = DE হয় ।

এখন ত্রিভুজ ABD এবং ত্রিভুজ BDE এর ক্ষেত্রে ,

AD =DE [অঙ্কনানুসারে ]

∠ADB = ∠BDE =90˚

BD সাধারণ বাহু

∴ △ABD = △BDE (S-A-S শর্তানুসারে )

∴ ∠ABD = ∠DBE = 30˚

আবার , ∠BAD = ∠BED

ত্রিভুজ ABD –এর

∠BAD + ∠ABD + ∠BDA=180˚

বা, ∠BAD + 30˚ +90˚ =180˚

বা, ∠BAD = 180˚ -120˚

বা, ∠BAD = 60˚

∴ ∠BED =60˚

এখন ত্রিভুজ ABE –এর ,

∠ABE = ∠ABD + ∠DBE = 30˚+30˚=60˚

আবার , ∠BAD = ∠BAE = 60˚ এবং ∠BED=∠BEA = 60˚

∴ ত্রিভুজ ABE একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ AB = BE = AE = 20 সেমি.

আবার , AD = DE

∴ AD = 10 সেমি.

∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ ×20×10 বর্গ সেমি. = 100 বর্গ সেমি.

বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করে )

13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই  বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB =AC = 20 সেমি. এবং BAC = 30° , B বিন্দু থেকে AC এর ওপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল ।

এখন , BAD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,

14. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা (√2+1) সেমি. হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a সেমি. এবং অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য b একক ।

∴ a+a+b = (√2+1)

বা, 2a+b = (√2+1) —(i)

এখন , পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,

a²+a² =b²

বা, 2a² =b²

বা, b = a√2

(i) নং সমকরণ থেকে পাই ,

a+a+a√2 = √2 +1

বা, 2a+a√2 = √2 +1

বা, a√2 (√2+1) = √2 +1

15. মারিয়া  ঘণ্টায় 18 কিমি. বেগে সাইকেল চালিয়ে 10 মিনিটে  একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর ঘুরে এল ।  ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু  পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি । (√3 = 1.732 )

সমাধানঃ 18 কিমি. = 18000 মিটার ।

মারিয়া 60 মিনিটে  যায় 18000 মিটার

16. একটি সমবাহু ত্রিভুজের  প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1মিটার বৃদ্ধি করলে  ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল √3 মিটার বৃদ্ধি পায় ।সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করি ।

বা, 2a+1 = 4

বা, 2a = 4-1

বা, 2a = 3

বা, a = 3/2

বা, a = 1.5

∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার ।

17. একটি সমবাহু ত্রিভুজ   এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত √3 : 2 ; বর্গক্ষেত্রটির  কর্ণের দৈর্ঘ্য 60 সেমি. হলে , সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হিসাব করে লিখি  ।

18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং পরিসীমা যথাক্রমে  13 সেমি. এবং 30 সেমি. ।  ত্রিভুজটির  ক্ষেত্রফল  হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরা যাক , সমকোণী ত্রিভুজটির সমকোণ সংলগ্ন বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a সেমি. এবং b সেমি. ।

∴ a+b = ত্রিভুজটির পরিসীমা – অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (30 -13) সেমি. = 17 সেমি. ।

আবার , a²+b² =(13)²

বা, (a+b)² -2ab = 169

বা, (17)² – 2ab = 169

বা, 289 – 2ab = 169

বা, 2ab = 289 – 169

বা, 2ab = 120

বা, ab = 60 

∴ সমকোণী ত্রিভুজটির  ক্ষেত্রফল = ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা = ½ ☓ 60 বর্গ সেমি. = 30 বর্গ সেমি. ।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সেমি. ।

19.  একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সেমি. ও 5 সেমি. ।সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি । (3 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান ) ।

20. 3 সেমি. ,4 সেমি. ও 5 সেমি.  দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজাকার  ক্ষেত্র থেকে একটি  সর্ববৃহৎ  বর্গাকারক্ষেত্র এমনভাবে কেটে  নেওয়া  হলো যার একটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজটির অতিভুজের ওপর অবস্থিত । বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্যের হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর AB = 3সেমি. , BC = 4 সেমি. এবং AC = 3সেমি. ।

সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গাকার ক্ষেত্র BDEF কেটে নেওয়া হল  যার একটি শির্সবিন্দু E ত্রিভুজটির অতিভুজ AC এর ওপর অবস্থিত । ধরি, বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।

∴ AF = (3-a) সেমি. এবং DC = (4-a) সেমি. ।

এখন , ∆AFE +∆EDC + বর্গক্ষেত্র BDEF = ∆ABC

বা, ½ ✕  FE ✕ AF + ½ ✕ DC ✕ DE  + BD² = ½ ✕ 4 ✕ 3

বা, ½ [a(3-a) +(4-a)a ] + a²  = ½ ✕ 4 ✕ 3

বা, ½ [3a-a² +4a –a² ] +a² =6

21. বহু  বিকল্পীয় প্রশ্নঃ (M.C.Q)

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. হলে ত্রিভুজটির উচ্চতার পরিমাপ

(a) 4√3 সেমি.

(b) 16√3 সেমি.

(c ) 8√3 সেমি.

(d ) 2√3সেমি.

Ans: (d ) 2√3সেমি.

(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান বাহুদ্বয়ের  প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a একক । ত্রিভুজটির পরিসীমা

(a) (1+√2)a একক

(b) (2 +√2)a একক

(c ) 3a একক

(d) (3+2√2)a একক 

Ans: (b) (2 +√2)a একক

(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল , পরিসীমা এবং উচ্চতা যথাক্রমে a,s এবং h হলে, 2a /sh এর মান

(a) 1

(b) ½

(c ) 1/3

(d) 1/4

Ans: (c ) 1/3

সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x একক ।

(iv) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য  6 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

(a) 18 বর্গ সেমি.

(b) 12 বর্গ সেমি.

(c ) 15 বর্গ সেমি.

(d) 30 বর্গ সেমি.

Ans: (b) 12 বর্গ সেমি.

সমাধানঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

(v) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর ওপর Dএমন একটি বিন্দু যে AD : DC = 3:2 ; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সেমি. হলে BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

(a) 16 বর্গ সেমি.

(b ) 24 বর্গ সেমি.

(c ) 30 বর্গ সেমি.

(d ) 36 বর্গ সেমি.

Ans: (a) 16 বর্গ সেমি.

সমাধানঃ B বিন্দু থেকে AC –এর ওপর BE লম্ব  টানা হল ।

আবার, AD :DC = 3:2 [প্রদত্ত ]

∴ ∆ABD : ∆BDC = ½ ☓AD ☓ BE : ½ ☓ DC ☓ BE = AD : DC = 3:2

বা, 2∆ABD = 3 ∆BDC

বা, ∆ABD = 3/2 ∆BDC

∴ ∆ABC = ∆ABD+∆BDC

∴ BDC ত্রিভুজের  ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি. ।

(vi) একটি  ত্রিভুজের অর্ধ  পরিসীমা থেকে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর যথাক্রমে 8 সেমি. ,7 সেমি. ও 5 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

(a ) 20√7 বর্গ সেমি.

(b) 10√14 বর্গ সেমি.

(c ) 20√14 বর্গ সেমি.

(d ) 140 বর্গ সেমি.

Ans: (c ) 20√14 বর্গ সেমি.

সমাধানঃ ধরা যাক , ত্রিভুজটির অর্ধ পরিসীমা s সেমি.

∴ (s-a) = 8 সেমি. , (s-b) = 7 সেমি. এবং (s –c) = 5 সেমি.

∴ (s-a)+(s-b) +(s-c) =20

বা, 3s –(a+b+c)  = 20

22. সংক্ষিপ্ত উত্তর ভিত্তিক প্রশ্নঃ

(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের  ক্ষেত্রফল ও  উচ্চতার সংখ্যামান সমান । ত্রিভুজের  বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের  বাহুর দৈর্ঘ্য a একক ।

(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে ,  ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে ?

(iii) একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুন করলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হয় ?

(iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি. , x সেমি. এবং (x+2) সেমি. । ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত ?

সমাধানঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি. , x সেমি. এবং (x+2) সেমি. ।

সমকোণী ত্রিভুজে  পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,

(x+2)² = x² +(x-2)²

বা, x² + 4x +4 = x² +x² -4x +4

বা, x² +4x +4 –x² –x² +4x -4 = 0

বা, -x² +8x = 0

বা, -x (x-8) = 0

বা, x (x -8) = 0

দুটি রাশির গুনফল শুন্য ।

∴ x = 0 অথবা (x-8) = 0 ⇒ x = 8

কিন্তু , x = 0 , এক্ষেত্রে অসম্ভব

∴ x = 8

সুতরাং  ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য (x+2) সেমি. = (8+2) সেমি. = 10 সেমি. ।

(v ) একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার ওপর  একটি বর্গক্ষেত্র  অঙ্কন করা হল ।ত্রিভুজ ও  বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত  কত ?

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution.

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

ধন্যবাদ । এই POST টি আপনাদের ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।