WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution.
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান|গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9)(IX)Math Book Solution.
Koshe Dekhi- 15.2|কষে দেখি-15.2
1. নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
(i) ABC ত্রিভুজের AB =BC =CA = 10সেমি.
∴ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ
(ii) ABC ত্রিভুজের AB =AC = 10 সেমি. এবং BC = 8 সেমি.
∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ।
A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ AD , ABC ত্রিভুজের একটি মধ্যমা ।
∴ CD = 8/2 সেমি. = 4 সেমি.
এখন ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AC2 = AD2 + CD2
বা, (10)2 = AD2 + (4)2
বা, 100 = AD2 +16
বা, AD2 = 100-16
বা, AD2 = 84
বা, AD = √84
বা, AD = 2√21
(iii) ABCD চতুর্ভুজের AD || BC
∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম ।
আবার , CD ⊥ AD এবং CD ⊥ BC
∴ CD , ABCD ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ।
ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= ½ ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) ✕ উচ্চতা
= ½ ✕ (AD + BC) ✕ CD
= { ½ ✕(5+4) ✕ 3 } বর্গ সেমি.
= 27/2 বর্গ সেমি.
= 13.5 বর্গ সেমি.
(iv) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD ⊥ BC
∴ ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার উচ্চতা AD
ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= ½ ✕ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল ) ✕ উচ্চতা
= ½ ✕ (AB+DC) ✕ AD
= {½ ✕(15+40) ✕ 9 } বর্গ সেমি.
= 247.50 বর্গ সেমি.
(v) ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং AD || BC , অর্থাৎ বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল এবং ∠ADC = 90
∴ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র
এখন , ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AD2 +CD2 = AC2
বা, AD2 + (38)2 = (42)2
বা, AD2 = (42)2 –(38)2
বা, AD2 = (42+38) (42-38)
বা, AD2 = 80 ✕ 4
বা, AD2 = 320
বা, AD = 8√5
∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AD ☓ DC = (8√5 ☓ 38 ) বর্গ সেমি. = 304√5 বর্গ সেমি. ।
| WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution. |
2. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 48 সেমি. হলে তার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a সেমি. ।
শর্তানুসারে ,
3a = 48
বা, a = 48/3
বা, a = 16
∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সেমি. ।
এবং সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সেমি. ।
3. ABC সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি. হলে , ত্রিভুজটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে , ABC এর ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = 10 সেমি. এবং BC =4 সেমি. । এখন A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ ∠ADB =∠ADC =90° এবং D , BC এর মধ্যবিন্দু ।
∴ BD =DC = 4/2 সেমি. = 2 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই ,
AC2 = AD2 +CD2
বা, (10)2 = AD2 + (2)2
বা, 100 = AD2 + 4
বা, AD2 = 96
বা, AD = √96 = √(16☓6) = 4√6
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 4√6 সেমি. ।
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা
= ½ ☓ BC ☓ AD
= (½ ☓ 4 ☓ 4√6 ) বর্গ সেমি.
= 8√6 বর্গ সেমি.
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 8√6 বর্গ সেমি. ।
5. যদি কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হয় , তবে ওই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার , AB = AC = 10 সেমি. এবং ভূমি BC = 12 সেমি. । এখন A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
∴ ADB =ADC =90 এবং D , BC এর মধ্যবিন্দু ।
∴ BD =DC = 12/2 সেমি. = 6 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজ ADC থেকে পাই ,
AC2 = AD2 +CD2
বা, (10)2 = AD2 + (6)2
বা, 100 = AD2 + 36
বা, AD2 = 64
বা, AD = √64 = 8
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 8 সেমি. ।
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা
= ½ ☓ BC ☓ AD
= (½ ☓ 12 ☓ 8 ) বর্গ সেমি.
= 48 বর্গ সেমি.
∴ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সেমি. ।
6. কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেমি. এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের 5/6 অংশ ; ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ , যার AB = AC = x সেমি. এবং অতিভুজ AC = 12√2 সেমি. ।
ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AB2 +BC2 = AC2
বা, x2+x2 = (12√2 )2
বা, 2x2 = 288
বা, x2 = 144
বা, x2 = (12)2
বা, x = 12
∴ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সেমি. ।
∴ ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা
= ( ½ ☓ 12 ☓12 ) বর্গসেমি.
= 72 বর্গ সেমি.
∴ সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সেমি. ।
8.পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি. ও 8 সেমি. এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির প্রত্যেকটি 90°; সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য লিখি এবং সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট্য লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে 90° কোণে ছেদ করেছে । ∴ ABCD একটি রম্বস ।
আরও ধরা যাক , AC = 6 সেমি. এবং BD = 8 সেমি. ।
যেহেতু ,রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে ,
∴ AO = OC = 6/2 = 3 সেমি. এবং OB =OD = 8 /2 সেমি. = 4 সেমি.
এখন , AOD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
AD2 = OA2+OD2
বা, AD2 = (3)2 + (4)2
বা, AD2 = 9+16
বা, AD2 = 25
বা, AD2 = (5)2
বা, AD = 5
∴ AB=BC =CD =DA = 5সেমি. [যেহেতু , রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ]
∴ সমান্তরিকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং সামান্তরিকটি একটি রম্বস ।
9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4 ; পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার ।
(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি ।
(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি, ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 2x মিটার , 3x মিটার এবং 4x মিটার ।
শর্তানুসারে ,
2x+3x+4x= 216
বা, 9x = 216
বা, x = 216/9
বা, x = 24
∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে (2☓24) মিটার = 48 মিটার , (3☓24) মিটার = 72 মিটার এবং (4☓24) মিটার = 96 মিটার ।
(i) ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফলঃ
ত্রিভুজাকৃতি পার্কের পরিসীমা = (48+72+96) মিটার = 216 মিটার ।
∴ত্রিভুজাকৃতি পার্কের অর্ধ পরিসীমা (S) = 216/2 মিটার = 108 মিটার ।
∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফল
∴ ত্রিভুজাকৃতি পার্কের ক্ষেত্রফল 432√15 বর্গ মিটার ।
(ii) ধরা যাক , ABC হল ত্রিভুজাকৃতি পার্ক এবং BC হল বৃহত্তম বাহু ।
এখন , A থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব টানা হল ।
অর্থাৎ AD হল পার্কের বৃহত্তম বাহু থেকে বিপরীত কৌণিক বিন্দু Aপর্যন্ত লম্ব দূরত্ব ।
শর্তানুসারে ,
½ ☓ BC ☓ AD = 432√15
বা, ½ ☓ 96 ☓AD = 432√15
বা, AD = 9Ö15
অর্থাৎ ,পার্কের বৃহত্তম বাহু থেকে বিপরীত কৌণিক বিন্দু পর্যন্ত হাঁটতে হলে 9√15 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে ।
10.পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার , 28 মিটার ও 30 মিটার ।
(i) প্রতি বর্গমিটার 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।
(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা = (26+28+30) মিটার = 84 মিটার
∴ অর্ধ পরিসীমা (s) = 84/2 মিটার = 42 মিটার ।
∴ ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল
∴ প্রতি বর্গ মিটার 5 টাকা হিসাবে ঘাস লাগাতে খরচ হবে = (336✕5) টাকা = 1680 টাকা ।
(ii) ওই ত্রিভুজাকৃতি মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে , যে দৈর্ঘ্যের বেড়া লাগবে তা হল –
(ত্রিভুজাকৃতি মাঠের পরিসীমা – গেটের জন্য ছেড়ে রাখা জায়গার পরিমাণ)
= (84 -5 )মিটার
= 79 মিটার
∴ প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে খরচ হবে = (79 ☓18) টাকা = 1422 টাকা ।
11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে । আমি ওই সমবাহু ত্রিভুজের অন্তস্থঃ কোনো বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহ গুলির ওপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করেছি যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি. ,12 সেমি. এবং 8 সেমি. । হিসাব করে PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , PQR সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
∴ PQ =QR =RP = a সেমি. ।
আরও ধরা যাক , PQR ত্রিভুজের অন্তস্থ বিন্দু O থেকে PQ ,QR এবং PR বাহুগুলির ওপর লম্ব তিনটি যথাক্রমে OX ,OY এবং OZ এবং OX = 10 সেমি. , OY = 12 সেমি. এবং OZ = 8 সেমি.
স্পষ্টতই , ∆PQR = ∆OPQ + ∆OQR + ∆ORP
∴ PQR সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300√3 বর্গ সেমি. ।
| WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution. |
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
12. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি ,ABC ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় হল AB এবং BC । অর্থাৎ AB = BC = 20 সেমি. এবং ∠ABC = 45˚ ।
অঙ্কনঃ ABC ত্রিভুজটির A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর লম্ব AD অঙ্কন করা হল ।
ABD ত্রিভুজের ∠ABD= 45˚ এবং ∠ADB =90˚
∴ ∠BAD = 180˚-(∠ADB+∠ABD) = 180˚- (90˚+45˚)=180˚-135˚=45˚
∴ ABD ত্রিভুজের ∠BAD = ∠ABD =45˚
∴ AD = BD
ধরি ,AD = BD =x সেমি.
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই ,
AB2 = AD2+BD2
বা, AB2 = x2+x2
বা, (20)2 = 2x2
বা, 2x2 = 400
বা ,x2 = 200
বা , x2= 2×100
বা, x = 10√2
∴ ABC ত্রিভুজের ভূমি BC = 20 সেমি. এবং উচ্চতা = 10√2 সেমি.
∴ ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ ×ভূমি × উচ্চতা = (½ ×20×10√2) বর্গ সেমি. = 100√2 বর্গ সেমি.
বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করে )
12. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB =AC = 20 সেমি. এবং BAC = 45° , B বিন্দু থেকে AC এর ওপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
এখন , BAD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি ,ABC ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় হল AB এবং BC । অর্থাৎ AB = BC = 20 সেমি. এবং ∠ABC = 30˚ ।
অঙ্কনঃ এখন, ABC এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল । AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = DE হয় ।
এখন ত্রিভুজ ABD এবং ত্রিভুজ BDE এর ক্ষেত্রে ,
AD =DE [অঙ্কনানুসারে ]
∠ADB = ∠BDE =90˚
BD সাধারণ বাহু
∴ △ABD = △BDE (S-A-S শর্তানুসারে )
∴ ∠ABD = ∠DBE = 30˚
আবার , ∠BAD = ∠BED
ত্রিভুজ ABD –এর
∠BAD + ∠ABD + ∠BDA=180˚
বা, ∠BAD + 30˚ +90˚ =180˚
বা, ∠BAD = 180˚ -120˚
বা, ∠BAD = 60˚
∴ ∠BED =60˚
এখন ত্রিভুজ ABE –এর ,
∠ABE = ∠ABD + ∠DBE = 30˚+30˚=60˚
আবার , ∠BAD = ∠BAE = 60˚ এবং ∠BED=∠BEA = 60˚
∴ ত্রিভুজ ABE একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।
∴ AB = BE = AE = 20 সেমি.
আবার , AD = DE
∴ AD = 10 সেমি.
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ ×20×10 বর্গ সেমি. = 100 বর্গ সেমি.
বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করে )
13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি. এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB =AC = 20 সেমি. এবং BAC = 30° , B বিন্দু থেকে AC এর ওপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল ।
এখন , BAD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই ,
14. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা (√2+1) সেমি. হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a সেমি. এবং অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য b একক ।
∴ a+a+b = (√2+1)
বা, 2a+b = (√2+1) —(i)
এখন , পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
a2+a2 =b2
বা, 2a2 =b2
বা, b = a√2
(i) নং সমকরণ থেকে পাই ,
a+a+a√2 = √2 +1
বা, 2a+a√2 = √2 +1
বা, a√2 (√2+1) = √2 +1
15. মারিয়া ঘণ্টায় 18 কিমি. বেগে সাইকেল চালিয়ে 10 মিনিটে একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর ঘুরে এল । ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি । (√3 = 1.732 )
সমাধানঃ 18 কিমি. = 18000 মিটার ।
মারিয়া 60 মিনিটে যায় 18000 মিটার
16. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1মিটার বৃদ্ধি করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল √3 মিটার বৃদ্ধি পায় ।সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করি ।
বা, 2a+1 = 4
বা, 2a = 4-1
বা, 2a = 3
বা, a = 3/2
বা, a = 1.5
∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার ।
17. একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত √3 : 2 ; বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 60 সেমি. হলে , সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হিসাব করে লিখি ।
18. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং পরিসীমা যথাক্রমে 13 সেমি. এবং 30 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরা যাক , সমকোণী ত্রিভুজটির সমকোণ সংলগ্ন বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a সেমি. এবং b সেমি. ।
∴ a+b = ত্রিভুজটির পরিসীমা – অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (30 -13) সেমি. = 17 সেমি. ।
আবার , a2+b2 =(13)2
বা, (a+b)2 -2ab = 169
বা, (17)2 – 2ab = 169
বা, 289 – 2ab = 169
বা, 2ab = 289 – 169
বা, 2ab = 120
বা, ab = 60
∴ সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা = ½ ☓ 60 বর্গ সেমি. = 30 বর্গ সেমি. ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সেমি. ।
19. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সেমি. ও 5 সেমি. ।সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি । (3 দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান ) ।
20. 3 সেমি. ,4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গাকারক্ষেত্র এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যার একটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজটির অতিভুজের ওপর অবস্থিত । বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্যের হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর AB = 3সেমি. , BC = 4 সেমি. এবং AC = 3সেমি. ।
সমকোণী ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র থেকে একটি সর্ববৃহৎ বর্গাকার ক্ষেত্র BDEF কেটে নেওয়া হল যার একটি শির্সবিন্দু E ত্রিভুজটির অতিভুজ AC এর ওপর অবস্থিত । ধরি, বর্গাকার ক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
∴ AF = (3-a) সেমি. এবং DC = (4-a) সেমি. ।
এখন , ∆AFE +∆EDC + বর্গক্ষেত্র BDEF = ∆ABC
বা, ½ ✕ FE ✕ AF + ½ ✕ DC ✕ DE + BD2 = ½ ✕ 4 ✕ 3
বা, ½ [a(3-a) +(4-a)a ] + a2 = ½ ✕ 4 ✕ 3
বা, ½ [3a-a2 +4a –a2 ] +a2 =6
21. বহু বিকল্পীয় প্রশ্নঃ (M.C.Q)
(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. হলে ত্রিভুজটির উচ্চতার পরিমাপ
(a) 4√3 সেমি.
(b) 16√3 সেমি.
(c ) 8√3 সেমি.
(d ) 2√3সেমি.
Ans: (d ) 2√3সেমি.
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a একক । ত্রিভুজটির পরিসীমা
(a) (1+√2)a একক
(b) (2 +√2)a একক
(c ) 3a একক
(d) (3+2√2)a একক
Ans: (b) (2 +√2)a একক
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল , পরিসীমা এবং উচ্চতা যথাক্রমে a,s এবং h হলে, 2a /sh এর মান
(a) 1
(b) ½
(c ) 1/3
(d) 1/4
Ans: (c ) 1/3
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x একক ।
(iv) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 6 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
(a) 18 বর্গ সেমি.
(b) 12 বর্গ সেমি.
(c ) 15 বর্গ সেমি.
(d) 30 বর্গ সেমি.
Ans: (b) 12 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
(v) ABC ত্রিভুজের AC বাহুর ওপর Dএমন একটি বিন্দু যে AD : DC = 3:2 ; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সেমি. হলে BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 16 বর্গ সেমি.
(b ) 24 বর্গ সেমি.
(c ) 30 বর্গ সেমি.
(d ) 36 বর্গ সেমি.
Ans: (a) 16 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ B বিন্দু থেকে AC –এর ওপর BE লম্ব টানা হল ।
আবার, AD :DC = 3:2 [প্রদত্ত ]
∴ ∆ABD : ∆BDC = ½ ☓AD ☓ BE : ½ ☓ DC ☓ BE = AD : DC = 3:2
বা, 2∆ABD = 3 ∆BDC
বা, ∆ABD = 3/2 ∆BDC
∴ ∆ABC = ∆ABD+∆BDC
∴ BDC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি. ।
(vi) একটি ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা থেকে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর যথাক্রমে 8 সেমি. ,7 সেমি. ও 5 সেমি. । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
(a ) 20√7 বর্গ সেমি.
(b) 10√14 বর্গ সেমি.
(c ) 20√14 বর্গ সেমি.
(d ) 140 বর্গ সেমি.
Ans: (c ) 20√14 বর্গ সেমি.
সমাধানঃ ধরা যাক , ত্রিভুজটির অর্ধ পরিসীমা s সেমি.
∴ (s-a) = 8 সেমি. , (s-b) = 7 সেমি. এবং (s –c) = 5 সেমি.
∴ (s-a)+(s-b) +(s-c) =20
বা, 3s –(a+b+c) = 20
22. সংক্ষিপ্ত উত্তর ভিত্তিক প্রশ্নঃ
(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার সংখ্যামান সমান । ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক ।
(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে ?
(iii) একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুন করলে , ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি হয় ?
(iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি. , x সেমি. এবং (x+2) সেমি. । ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধানঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x-2) সেমি. , x সেমি. এবং (x+2) সেমি. ।
সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
(x+2)2 = x2 +(x-2)2
বা, x2 + 4x +4 = x2 +x2 -4x +4
বা, x2 +4x +4 –x2 –x2 +4x -4 = 0
বা, -x2 +8x = 0
বা, -x (x-8) = 0
বা, x (x -8) = 0
দুটি রাশির গুনফল শুন্য ।
∴ x = 0 অথবা (x-8) = 0 ⇒ x = 8
কিন্তু , x = 0 , এক্ষেত্রে অসম্ভব
∴ x = 8
সুতরাং ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য (x+2) সেমি. = (8+2) সেমি. = 10 সেমি. ।
(v ) একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার ওপর একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করা হল ।ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত ?
| WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 15.2|ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৫.২|Ganit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 15.2 Somadhan|Ganit Prakash Class Nine Koshe Dekhi 15.2 Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৫.২ সমাধান |গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৫.২|West Bengal Board Class Nine(9 )(IX) Math Book Solution. |
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
15.2 chapter এর 13 নং অঙ্ক টা ত্রিকোনোমিতি ব্যবহার না করে কিভাবে হবে? কারণ ক্লাস 9 এ West Bengal board এ ত্রিকোনোমিতি নেই
অসংখ্যা ধন্যবাদ আপনাকে এই মতামতের জন্য । অঙ্ক দুটির (12 এবং 13) সমাধান ত্রিকোণমিতি ছাড়াও অন্য পদ্ধতিতে দেওয়া হল ।অনুশীলন.কম -এর পাশে থাকবেন।
Eta khuh valo websites
Thank you
কোটি কোটি ধন্যবাদ
Eta khub valo website amader para lakhar jonno
Ei website theke ami math practice kore puro math book complete kore phelechi,1st unite ami math-e 40/40 peyechi