বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|Koshe Dekhi 10 Class 10

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10|গণিত প্রকাশ সমাধান দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০)(টেন)|WBBSE Madhyamik Class 10(Ten)(X) Math Chapter 10 Solution|WB Board Maths Solution Class 10| Ganit Prakash Somadhan Class 10.

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

WBBSE Official Site.

প্রশ্নঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ কাকে বলে ?

উত্তরঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক তাকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলে ।

প্রশ্নঃ সম্পূরক কোন কাকে বলে?

উত্তরঃ কোনো দুটি কোণের সমষ্টি 2 সমকোন হলে একটি কোন, অপর কোনটির সাথে সম্পূরক বলা হয় ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কিছু গুরুত্বপূর্ণ ধর্মঃ

(i) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ।

(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোন, অন্তঃস্থ বিপরীত কোনের সমান ।( প্রমান গণিত প্রকাশ বই-এ আছে )

(iii) বৃত্তস্থ সামান্তরিক সর্বদা আয়তক্ষেত্র হবে । ( প্রমান গণিত প্রকাশ বই-এ আছে )

(iv) বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম অবশ্যই সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হবে ।( প্রমান গণিত প্রকাশ বই-এ আছে)

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|Koshe Dekhi 10 Class 10|কষে দেখি 10 ক্লাস 10

1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্নদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমন ভাবে ছেদ করেছে যে , ∠PRS = 65 এবং ∠RQS = 45 ; ∠SQP ও ∠RSP এর মান হিসাব করে লিখি ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10|গণিত প্রকাশ সমাধান দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০)|WBBSE Class 10(Ten)(X) Math Chapter 10 Solution|WB Board Maths Solution Class 10| Ganit Prakash Somadhan Class 10.

সমাধানঃ

∠SQP = ∠PRS [ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান ]

∴ ∠SQP = 65º

∠SQR = ∠SPR [একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান ]

∴ ∠SPR = 45º

∴ ∆SPR এর ক্ষেত্রে ,

∠PSR = 180º-(∠SPR+∠SRP)

         = 180º-(45º+65º)

         = 180º-110º

         = 70º

∴ ∠RSP = 70º

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

2.ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখেছি ∠XBC = 82º এবং ∠ADB=47º ; ∠BAC এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

∠XBC = 82º

∴ ∠ABC = 180º-82º= 98º

∴ ∠ADC = 180º-98º=82º [ ∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

∴ ∠ADB+∠BDC = 82º

বা, 47º+∠BDC=82º

বা, ∠BDC = 82º-47º

বা, ∠BDC =35º

∴ ∠BAC = 35º [ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোনের মান সমান ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ , SR বাহুদুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হল । বৃত্তের কেন্দ্র O ; ∠POQ =110º , ∠QOR =60º ,∠ROS = 80º হলে , ∠RQS ও ∠QTR এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

RS বৃত্তচাপের ওপর ∠ROS কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠RQS পরিধিস্থ কোন ।

∴ ∠RQS = ½ ∠ROS = ½✕ 80º = 40º [∵একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোন পরিধিস্থ কোনের দ্বিগুন ]

∴ ∠RQS = 40º

∠QSR = ½ ∠QOR [ ∵ QR বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোন ∠QOR এবং পরিধিস্থ কোন ∠QSR, একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোন পরিধিস্থ কোনের দ্বিগুন]

∠QSR = ½✕ 60º

∠QSR = 30º

∠POS = 360º-(∠POQ+∠QOR+∠ROS)

∠POS=360º-(110º+60º+80º)

∠POS=360º-250º

∠POS=110º

PS বৃত্তচাপের ওপর ∠POS কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠PQS পরিধিস্থ কোন ।

∴ ∠PQS = ½ ∠POS [ ∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোন পরিধিস্থ কোনের দ্বিগুন ]

∠PQS= ½ ✕110º = 55º

আবার  ∆SQT এর বহিঃস্থ কোন ∠PQS = ∠QST+∠QTS [ ∵ ত্রিভুজের কোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোন অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

∴ 55º = 30º+∠QTS

বা, ∠QTS = 55º-30º

বা, ∠QTS = 25º

∴ ∠QTR = 25º [ ∵ ∠QTR =∠QTS]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করি যে AC ∥ BD ।

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । P এবং Q বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে  A,C ও B,D বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , AC BD ।

অঙ্কনঃ P ও Q যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ ACQP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠ACQ +∠APQ = 180º [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

আবার , AB সরলরেখার ওপর P বিন্দুতে PQ সরলরেখা দণ্ডায়মান , তাই ,

∠APQ+∠BPQ = 180º [ এক সরল কোন ]

∴ ∠ACQ+∠APQ = ∠APQ+∠BPQ

∠ACQ = ∠BPQ

আবার , PQDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে ,

∠BDQ + ∠BPQ = 180º [ ∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

∠BDQ+∠ACQ = 180º [ ∠BPQ = ∠ACQ ]

এখন , AC ও BD সরলরেখাকে , CD ভেদক ছেদ করায় একই পার্শ্বস্থ অন্তঃকোণ ∠BDQ ও ∠BCQ উৎপন্ন হয় এবং এদের সমষ্টি 2 সমকোণ ।

∴ AC BD [প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করলাম ।প্রমাণ করি যে , ∠BAD ও ∠DCE এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের ওপর মিলিত হবে ।

Madhyamik Math Solution Of Cyclic Quadrilateral

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ  বিন্দু x  দিয়ে  দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A ,B বিন্দু ও C ,D বিন্দুতে ছেদ করেছে । যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে , ∠XAC ও ∠XBD এর দুটি করে কোন সমান ।

বৃত্তের বহিঃস্থ  বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা  টানা হয়েছে , যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A ,B বিন্দু এবং C,D বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , ∠XAC = ∠XBD

অঙ্কন ঃ B,D ও A,C যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ ABDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠BDC +∠BAC = 180º  [ ∵বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

আবার , ∠BAC + ∠XAC = 180º [ এক সরলকোণ = 180º ]

∴ ∠BDC+∠BAC = ∠BAC+∠XAC

বা, ∠BDC = ∠XAC

∴ ∆XAC ও ∆XBD এর দুটি করে কোন সমান [প্রমাণিত ]।

7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে । এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ – এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল । প্রমাণ করি যে PQ = RS ।

অঙ্কনঃ P,R ; G, H এবং Q ,S যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ GHSQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে ,

∠HSQ+∠HGQ = 180º

আবার ,PS  সরলরেখার ওপর G বিন্দুতে , GH দণ্ডায়মান ,

∴ ∠PGH+∠HGQ = 180º

∴ ∠HSQ+∠HGQ = ∠PGH+∠HGQ

বা , ∠HSQ= ∠PGH

আবার , PRHG বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে ,

∠PRH + ∠PGH = 180º

∴ ∠PRH+ ∠HSQ = 180º [ ∠PGH = ∠HSQ ]

∴ PR ও QS বাহুদ্বয়ের ভেদক RS এর একই পার্শ্বস্থ অন্তঃকোণের সমষ্টি 180º

∴ PR ∥ QS

আবার , PQ ∥ RS

∴ PRSQ একটি সামান্তরিক ।

∴ PQ = RS [প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC এর ওপর E যেকোনো একটি বিন্দু । ∆ABC এর পরিবৃত্ত AE কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে , ∠ACD = ∠AEC ।

প্রমাণ ঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∠ABC +∠ADC = 180º [ ∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

আবার , ∠ADC +∠EDC = 180º [ ∵ CD সরলরেখা , AE সরলরেখার ওপর দণ্ডায়মান ]

∴ ∠ABC +∠ADC = ∠ADC +∠EDC

∠ABC = ∠EDC

∠ABC = ∠CDE—–(i)

আবার , ABC এর AB =AC

∴ ∠ABC = ∠ACB —– (ii)

CDE এর EC বাহু B পর্যন্ত বর্ধিত ,

∴ ∠DCB = ∠CDE+∠CED [ ∵ ত্রিভুজের কোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোন উৎপন্ন হয় তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমস্টির সমান ]

∠ACD+∠ACB = ∠ABC+∠CED [ ∵ (i) থেকে পাই ∠ABC = ∠CDE ]

∠ACD = ∠CED [ ∵ (ii) থেকে পাই ,∠ACB = ∠ABC]

∴ ∠ACD = ∠AEC [প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DE জ্যা ∠BDC – এর বহির্দিখন্ডক । প্রমাণ করি যে , AE ( বা বর্ধিত AE ) ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক DE জ্যা । প্রমাণ করতে হবে যে , AE , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক ।

অঙ্কনঃ CD কে F পর্যন্ত এবং BA কে G পর্যন্ত বর্ধিত করা হল ।

প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই ,

যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত কোনের সমান

∴ ∠EAG = ∠EDB

আবার যেহেতু ED , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক তাই ,

∠EDB = ∠EDF

∴ ∠EAG = ∠EDF —-(i)

আবার, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই ,

∠EDF = ∠EAC [ ∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান ]—(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

∠EAG = ∠EAC

∴ EA , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক [প্রমাণিত ]।

10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর ওপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব । প্রমান করি যে , B ,C,E,F বিন্দু চারটি  সমবৃত্তস্থ ।এর থেকে প্রমান করি যে , ∆ AEF ও ∆ ABC এর দুটি করে কোন সমান ।

ABC এর AC এবং AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব । প্রমান করতে হবে যে , B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ।

অঙ্কনঃ E ,F যোগ করা হল ।

প্রমাণঃ ∠CEB = 1 সমকোণ

এবং ∠BFC = 1 সমকোণ

∴ একই রেখাংশ BC এর ওপর অবস্থিত দুটি কোন ∠CEB = ∠BFC = 1 সমকোন

∴ B ,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ( প্রমানিত)

∆AEF এবং ∆ABC থেকে পাই ,

যেহেতু B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ

∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ BCEF এর

বহিঃস্থ কোন ∠AEF = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠FBC

এবং বহিঃস্থ কোন ∠AFE = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠ECB

∆AEF এবং ∆ABC থেকে পাই ,

∠AEF=∠ABC [ ∵∠FBC =∠ABC]

∠AFE = ∠ACB [ ∵∠ECB = ∠ACB ]

∴ ∆AEF ও ∆ABC এর দুটি করে কোন সমান [প্রমাণিত ]।

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

11. ABCD একটি সামান্তরিক । A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমান করি যে E ,F ,C ,D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ।

অঙ্কনঃ P,Q যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ এখানে ABCD একটি সামান্তরিক ।

∴ ∠BAD +∠ADC = 2সমকোণ [ ∵সামান্তরিকের একই পার্শ্বস্থ অন্তঃকোণের সমষ্টি 2 সমকোণ] —– (i)

আবার , ABFE  একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠BAE +∠EFB = 2 সমকোণ [ ∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

কিন্তু , ∠EFB+∠EFC = 2 সমকোণ [ ∵ EF , BC বাহুর ওপর দন্ডায়মান ]

∴ ∠BAE +∠EFB=∠EFB+∠EFC

∴ ∠EFC = ∠BAE

∴ ∠EFC=∠BAD

∴ ∠EFC +∠ADC = 2সমকোণ [(i) থেকে ]

∴ ∠EFC +∠PDC = 2 সমকোণ ।

∴ EFCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ

∴ E,F ,C,D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ।[প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ , যার বর্ধিত AB এবং DC পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুকে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয় । BCP এবং CDR এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমান করি যে P ,T ,R সমরেখ ।

ABCD একটি  বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ , যার বর্ধিত AB এবং DC পরস্পরকে  P বিন্দুতে এবং বর্ধিত AD ও BC পরস্পর R বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । ∆BCP এবং ∆CDR এর  পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করতে হবে যে P,T,R সমরেখ ।

অঙ্কনঃ P,T ; R,T এবং C,T যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ BCTP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠CTP +∠CBP = 180 [ ∵বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক ]

বা , ∠CTP = 180-CBP = ∠ABC [ ∵ AB বাহুর ওপর BC দন্ডায়মান ]

এখন , ∠CTP +∠CTR = ∠ABC +∠CDA = 2 সমকোণ [ ∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ]

যেহেতু , ∠CTP এবং ∠CTR এর CT সাধারন বাহু এবং কোন দুটির সমষ্টি 2 সমকোণ ,

∴ P ,T ,R সমরেখ ।[প্রমাণিত ]

13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু  O ; প্রমান করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ।

∆ABC এর শীর্ষবিন্দুত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয় AD ,BE ,CF তিনটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করতে হবে যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ ∆DEF এর অন্তঃকেন্দ্র ।

অঙ্কন ঃ D,E ; E,F এবং F,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ O , ABC এর লম্ববিন্দু । যেহেতু সুক্ষকোনী ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব তার পাদত্রিভুজের কোনকে  সমদ্বিখন্ডিত করে ,

∴ AD রেখা , ∠FDE কে, BE রেখা, ∠DEF কে এবং CF রেখা , ∠DFE কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

সুতরাং , ∠DEF এর অন্তর্দ্বিখন্ডকত্রয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে ।

∴ O ,∠DEF এর অন্তঃকেন্দ্র [প্রমাণিত ]।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC , ∠BAD কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে । AD কে E পর্যন্ত বাড়ানো হল যাতে , DE =AB হয় । প্রমান করতে হবে যে , CE = CA

অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∠BAC = ∠BDC [ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোনের মান সমান ]

এবং ∠CAD = ∠DBC [ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোনের মান সমান ]

আবার , ∠BAC = ∠CAD  [ ∵ AC , ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক ]

∴ ∠BDC = ∠DBC

∴ ∆BCD থেকে পাই , CD =BC

যেহেতু AE সরলরেখার ওপর D বিন্দুতে DE দণ্ডায়মান

∴ ∠EDC + ∠ADC = 2সমকোণ

আবার , ∠ADC + ∠ABC = 2 সমকোন  [ ∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ]

∴ ∠EDC +∠ADC = ∠ADC+∠ABC

অর্থাৎ , ∠EDC = ∠ABC

এখন ∆DEC ও ∆ABC এর মধ্যে ,

DE = AB ( প্রদত্ত )

∠EDC = ∠ABC (  পূর্বে প্রমানিত )

CD = BC ( পূর্বে প্রমানিত )

∴ ∆DCE = ∆ABC [ S-S-S শর্তানুসারে ]

∴ CE = CA (অনুরূপ বাহু )[প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

15.দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে । P ,B ও R ,B যুক্ত করে প্রমান কর যে PR = PB

দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A এবং B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে  P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে । P,B ও R ,B যুক্ত করা হল । প্রমান করতে হবে PR = PB

অঙ্কনঃ O,A ; O,R ; O,B যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ROB এর RO = OB [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠ORB = ∠OBR ——(i)

AOR এর OA = OR [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠ARO = ∠OAR

আবার চতুর্ভুজ AOBP সমবৃত্তস্থ ।

∴ ∠OBP+∠OAP = 2 সমকোণ

আবার PR বাহুর ওপর A বিন্দুতে AO দন্ডায়মান ।

∴ ∠OAP+∠OAR = 2 সমকোণ

∴ ∠OBP= ∠OAR

∴ ∠ARO = ∠OBP —– (ii)

এখন , ∠PRB = ∠ARO+∠ORB =∠OBP+∠OBR=∠PBR

∴ ∆PBR এর ∠PRB = ∠PBR

∴ PR = PB [প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইএর সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

16. প্রমান করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ ।

ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ । প্রমান করতে হবে যে , এর চারটি বিন্দু সমবৃত্তস্থ ।

অঙ্কনঃ A ,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি কোনের মান {(2✕5-4)✕90º}/5 =540º/5=108º

এবং প্রতিটি বাহু সমান , অর্থাৎ ,

AB =BC=CD=DE=EA

এখন , ∆ADE এর DE =EA

∴ ∠EAD =∠EDA= (180º-108º)/2 = 36º

সুতরাং , ∠BAD = 108º-36º=72º

∴ ∠BCD+∠BAD = 108º+72º=180º

∴ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোনগুলির সমষ্টি 180º

∴ ABCD চতুর্ভুজটি সমবৃত্তস্থ ।

সুতরাং একটি পঞ্চভুজের যেকোনো চারটি বিন্দু সমবৃত্তস্থ [প্রমাণিত ]

17. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস । ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । ADC = 120º হলে BAC এর মান

(a) 50º

(b) 60º

(c ) 30º

(d) 40º

Ans: (c ) 30º

সমাধানঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠ADC+∠ABC = 180º [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক]

∴ ∠ABC = 180º-∠ADC

বা, ∠ABC = 180º-120º

বা , ∠ABC = 60º

আবার , ∠ACB = 90º [ ∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোন সমকোন ]

এখন , ABC থেকে পাই ,

∠ABC+∠ACB+∠BAC = 180º

বা, 60º+90º+∠BAC = 180º

বা , ∠BAC = 30º

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস । ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।∠ABC = 65º , ∠DAC = 40º হলে ∠BCD এর মান

(a) 75º

(b) 105º

(c ) 115º

(d) 80º

Ans: (c ) 115º

সমাধানঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠ABC+∠ADC = 180º [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

∴ ∠ADC

= 180º-ABC

= 180º-65º

= 115º

∠ADC=115º

∠ACD

= 180º-(ADC+DAC)

=180º-(115º+40º)

=180º-155º

=25º

∠ACD = 25º

∠ACB = 90º [ অর্ধবৃত্তস্থ কোন ]

∴ ∠BCD = ∠ACB+∠ACD = 90º+25º= 115º

BCD = 115º

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস । ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB DC এবং ∠BAC = 25º হলে ∠DAC এর মান

(a) 50º

(b) 25º

(c ) 130º

(d) 40º

Ans: (d) 40º

BAC = ACD [ একান্তর কোন ,AB ∥ DC , AC ভেদক ]

ACD = 25º

ACB = 90º [ অর্ধবৃত্তস্থ কোন সমকোন ]

ABC = 180º-(ACB+BAC)

বা, ABC= 180º-(90º+25º)

বা , ABC = 180º-115º

বা , ABC = 65º

ADC = 180º-65º = 115º [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

DAC

= 180º-(ADC+ACD)

=180º-(115º+25º)

=180º-140º

=40º

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

(iv) পাশের চিত্রে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । BA কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল । AE CD , ∠ABC = 92º এবং FAE = 20º হলে , BCD এর মান

(a) 20º

(b) 88º

(c) 108º

(d) 72º

Ans: (c) 108º

সমাধানঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ABC = 92º

ADC = 180º-92º = 88º [ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

ADC = DAE [ একান্তর কোন , AE ∥ CD , AD ভেদক ]

DAE = 88º

DAF = 88º+20º = 108º

BCD = 108º [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন,অন্তঃস্থ বিপরীত কোনের সমান ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

(v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে । D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে  E ও F বিন্দুতে ছেদ করে । DAB =75º হলে DEF এর মান

(a) 75º

(b) 70º

(c ) 60º

(d) 105º

Ans: (d) 105º

সমাধানঃ

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

এবং BAC = 75º

BCD = 180º -75º =105º [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

DCF = 180º-105º=75º [ ∵ BF সরলরেখার ওপর C বিন্দুতে , CD দণ্ডায়মান ]

আবার , DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ

DEF = 180º-75º =105º [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

(B ) সত্য/ মিথা লিখিঃ

(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোন পরস্পর পূরক ।

উত্তরঃ মিথ্যা ।

(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয় ।

উত্তরঃ সত্য ।

(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি__________ ।

উত্তরঃ  সমবৃত্তস্থ ।

(ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি ___________ চিত্র ।

উত্তরঃ  আয়তকার চিত্র ।

(iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি _______________ ।

উত্তরঃ সমবৃত্তস্থ ।

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

(i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে । ACD একটি সরলরেখাংশ । ARB= 150º, BQD = x হলে, x এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ ARB = 150º

ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

ACB+ARB = 180º

বা, ACB = 180-150=30º

আবার , ACD = 180º

BCD = 180ºACB

বা,BCD=180º-30º

বা,BCD=150º

প্রবিদ্ধ কোন BQD = 2 ✕BCD [ ∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোন পরিধিস্থ কোনের দ্বিগুন ]

∴ প্রবিদ্ধ BQD = 2 ✕150º =300º

বা, BQD =360º– প্রবিদ্ধ BQD

বা, BQD= 360º-300º

বা, BQD=60º

∴ x = 60º [উত্তর]

(ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে । ∠QAD=80º এবং ∠PDA=84º হলে, ∠QBC ও ∠BCP এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ QAD=80º

ADPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

QAD+QPD=180º [ ∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

বা, QPD=180º-QAD

বা,QPD=180º-80º

বা, ∠QPD=100º

আবার , DC একটি সরলরেখা

QPC=180º-100º=80º

আবার , PQBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ

QPC+QBC = 180º [ যেহেতু , বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক]

বা, QBC=180º-QPC

বা, QBC=180º-80º

বা, ∠QBC=100º[উত্তর]

একিইভাবে ,PDA=84º হলে, বহিঃস্থ কোন PQB=84º

PCB=180º-84º=96º [যেহেতু, PQB এবং PCB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোন অতএব তারা সম্পূরক]

∠PCB=96º[উত্তর]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

(iii) পাশের চিত্রে BAD =60º , ABC = 80º হলে , DPC এবং BQC এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∠BAD =60º ( প্রদত্ত)

DCP=60º [ যেহেতু, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো একটি বহিঃস্থ কোনের মান অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান]

আবার, ABC= 80º

CDP=80º [ যেহেতু, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো একটি বহিঃস্থ কোনের মান অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান]

∆ CPD ত্রিভুজ থেকে পাই,

CPD=180º-(CDP+DCP)

বা,CPD=180º-(80º+60º)

বা,∠CPD=180º-140º

বা,∠CPD=40º

∠DPC=40º [উত্তর]

আবার, BCQ = BAD=60º [ যেহেতু, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো একটি বহিঃস্থ কোনের মান অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান]

∠CBQ=180-ABC=180º-80º=100º

∆CQB থেকে পাই ,

∠BQC =180º-(BCQ+CBQ)

∴ ∠BQC=180º-(60º+100º)

বা,∠BQC =180º-160º

বা,∠BQC=20º

∠BQC=20º[উত্তর]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস । AOB=80º এবং ACE=10º হলে , BED-এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ ∠AOB =80º

এখন,∠ACB=1/2 ✕∠AOB [ যেহেতু,AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোন]

∴ ∠ACB= 1/2✕ 80º=40º

আবার,∠ECB= ∠ACE+∠ACB

∴ ∠ECB=10º+40º

বা,∠ECB=50º

আবার , ∠BOC = 180º-∠AOB

বা,∠BOC=180º-80º

বা,∠BOC=100º

আবার , BC বৃত্তচাপের ওপর ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠BEC পরিধিস্থ কোন

∴ ∠BEC =1/2✕ ∠BOC [ যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোন পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]

বা,∠BEC=1/2✕ 100º

বা, ∠BEC=50º

আবার, ∠BEC=∠DCE =50º [একান্তর কোন, কারণ EB ∥ DC এবং EC ভেদক ]

∴ ∠DCE=50º

∴ ∠DCB=∠DCE+∠ECB=50º+50º=100º

এখন,∠BED=180-∠DCB [ যেহেতু,DEBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক]

বা,∠BED=180º-100º

বা,∠BED=80º

∠BED=80º [উত্তর]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

(V) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস । ∠AOD=140º এবং ∠CAB=50º হলে , ∠BED এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ ABDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

∴ ∠CAB+∠BDC=180º

বা,50º+∠BDC=180º

বা,∠BDC=130º

∠BDE=180º-130º=50º [∵∠CDE=180º]

আবার, ∠BOD =180º-140º=40º

∆OBD ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,

OB=OD [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∠OBD=∠ODB

∠OBD=(180º-∠BOD)/2

বা,∠OBD=(180º-40º)/2 [∵∠BOD=40º]

বা,∠ODB=70º

এখন, ∆BED ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোন ∠OBD=∠BDE+∠BED (অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি)

∴ 70º=50º+∠BED

বা,∠BED=70º-50º

∠BED=20º [উত্তর]

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০|কষে দেখি ১০ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 10 Class10

ধন্যবাদ । POST টি আপনাদের ভাললাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল। এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!