বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১। Koshe Dekhi 7.1 Class 10|মাধ্যমিক গনিত প্রকাশ সমাধান কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ (টেন) |Ganit Prakash Somadhan Class 10 Chapter 7 Solution| WBBSE Math Class 10 Koshe Dekhi 7.1| Madhyamik Math Koshe Dekhi 7.1.

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |Koshe Dekhi 7.1 Class 10|কষে দেখি 7.1 ক্লাস 10

1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত । ∠BOC= 100° হলে ∠ ABC ও ∠ ABO এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  

∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC.বৃত্তের কেন্দ্র O , BC বাহুর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত ।∠ABC ও ∠ ABO এর মাণ নির্ণয় করতে হবে ।

BOC = 100° ( প্রদত্ত)

এখন BAC বৃত্ত চাপের ওপর প্রবিদ্ধ কোণ∠BOC হল কেন্দ্রস্থ কোণ এবং কোণ ∠BAC হল পরিধিস্থ কোণ

∴∠ BOC=2∠BAC

সুতরাং , ∠BAC = ½ প্রবিদ্ধ কোণ ∠BOC

         = ½ (360°-100°)

         =1/2 ✕ 260°

         =130°  

এখন , ত্রিভুজ ∆BAC এর ক্ষেত্রে ,

AB=AC

∴ ∠ABC = ∠ACB

আবার কোণ ∠BAC = 130°

সুতরাং , ∠ABC = ∠ACB = (180°-∠BAC)/2 = (180°-130°)/2 = 25°

ত্রিভুজ ∆OBC এর ক্ষেত্রে OB=OC

সুতরাং , ∠OBC = ∠OCB

আবার , কোণ ∠BOC = 100°

∴  ∠OBC =∠ OCB = (180°-100°) / 2= 40°

সুতরাং ∠ABO = ∠ABC+∠OBC = 25°+40° =65°

∴ ∠ABC = 25° এবং ∠ABO = 65° (উত্তর)

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

2. পাশের চিত্রে ত্রিভুজ ABC এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠ AOC = 110° ; ∠ABC এর মাণ হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ABC বৃত্ত চাপের ওপর প্রবিদ্ধ কোণ ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABC পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ∠ABC = ½ প্রবিদ্ধ কোণ ∠AOC

∴ ∠ABC = ½ (360°-110°)= ½ ✕250° = 125°

3.O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD হল একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DC বাহুকে P পর্যন্ত বর্ধিত করা হল । ∠BCP = 108 হলে ∠BOD এর মাণ হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD হল একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DC বাহুকে P পর্যন্ত বর্ধিত করা হল

∠BCP = 108°

∴∠ BCD = 180°-108°=72°

এখন , BCD বৃত্ত চাপের ওপর কোণ ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং কোণ ∠BCD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠BOD = 2∠BCD = 2✕72°=144°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD =40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠ BCO এবং ∠ BOD এর মাণ হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই ।

সমাধানঃ

∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°

বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA

∴ ∠DOA = 2 ∠DCA

Or, ∠DCA = ½ ∠DOA = ½✕40° = 20°

∴ ∠BCO = ∠DCA+∠ACB= 20°+35° = 55°

আবার ,AB বৃত্ত চাপের ওপর AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ACB পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ∠AOB = 2∠ACB = 2✕ 35° = 70°

∴ ∠BOD = ∠AOB+∠AOD = 70°+40°=110°

∴∠ BCO = 55° এবং ∠BOD = 110° ( উত্তর)

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

5. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ APB = 80° হলে ∠AOB ও ∠COD এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উভয় উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই ।

সমাধানঃ  

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80°

∠AOB ও ∠COD এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে

A,D যুক্ত করা হল ।

AB বৃত্ত চাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠AOB =2 ∠ADB—–(i)

আবার , CD বৃত্ত চাপের ওপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠CAD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠COD = 2∠CAD—–(ii)

এখন ∆APD ত্রিভুজে বহিঃস্থ কোণ ∠APB = ∠PAD+∠ADP [∵কোনো ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ,অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

∴ ∠APB=∠PAD+∠ADP

বা, ∠APB=∠CAD+∠ADB [∵∠PAD =∠CAD এবং ∠ADP = ∠ADB ]

বা, ∠CAD+∠ADB = 80°  [∵∠APB = 80°] —-(iii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

∠AOB+∠COD

=2∠ADB+2∠CAD

=2(∠ADB+∠CAD)

=2✕ 80° [ (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই ]

 = 160°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

6.পাশের ছবির মত C ও D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করি যে ,

(i) ∠ PBQ = ∠CAD

(ii) ∠BPC = ∠BQD

C ও D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত, যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করতে হবে যে ,

(i) ∠ PBQ = ∠ CAD

(ii) ∠ BPC = ∠ BQD

(i)

প্রমানঃ AP বৃত্ত চাপের ওপর ∠ACP কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABP পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ∠ABP = ½ ∠ACP —– (1)

আবার , AQ বৃত্ত চাপের ওপর ∠ ADQ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ ABQ পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠ABQ = ½ ∠ADQ —–(2)

এখন , ত্রিভুজ ∆ACP এর ক্ষেত্রে CA=CP [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠CAP= ∠CPA

∴ ∠ACP = (180º-2∠CAP) —-(3)

ত্রিভুজ ∆ADQ এর ক্ষেত্রে AD=DQ [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠DAQ = ∠DQA

∴ ∠ADQ = ( 180º -2∠DAQ) —–(4)

এখন , (1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

∠ABP+∠ABQ

= ½ ∠ACP+½ ∠ADQ

= ½ (∠ACP+∠ADQ)

= ½ {( 180º-2∠CAP)+(180º-2∠DAQ)} [(3) ও (4) নং সমীকরণ থেকে পাই ]

= ½ {360º -2(∠CAP+∠DAQ)}

=1/2 {360º -2(180-∠CAD)}[∵∠PAQ=1 সরলকোণ ]

=1/2 (360º -360º +2∠CAD)

= ∠CAD

∴ ∠ABP+ABQ =∠CAD

বা, ∠PBQ = ∠CAD [ প্রমাণিত ]

(ii)

অঙ্কনঃ C,B ; B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ ACBD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে , BC =AC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠CBA = ∠CAB —-(1)

আবার , BD = DA [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠DBA = ∠DAB —-(2)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

∠CBA+∠DBA = ∠CAB+∠DAB

বা, ∠CBD=∠CAD —-(3)

আবার , ∠PBQ = ∠CAD [ পূর্বে প্রমাণিত ]

∴ ∠CBD = ∠PBQ

বা, ∠CBQ+∠DBQ = ∠CBP+∠CBQ

বা, ∠DBQ = ∠CBP—-( 4)

আবার , ∠DBQ = ∠DQB [∵ DB =DQ , একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]—(5)

এবং , ∠CBP = ∠CPB [∵CB = CP , একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]—(6)

∴ ∠DQB = ∠CPB [ 4,5 এবং 6 থেকে পাই ]

বা, ∠BPC = ∠BQD [ প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O ; প্রমান করি যে , ∠OBC+∠BAC = 90°

প্রমানঃ

∆ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O ।

এখন , BC বৃত্ত চাপের ওপর ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAC পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠BAC = ½ ∠BOC —-(1)

আবার , ত্রিভুজ ∆BOC এর ক্ষেত্রে ,

OB = OC [একই বৃত্তের ব্যসার্ধ ]

∴ ∠OBC =∠OCB

∴ ∠OBC = ( 180° –∠BOC)/2- —(2)

এখন , ∠OBC+∠BAC

 = (180°-∠BOC)/2 + ½ ∠BOC

= 90°- ½ ∠BOC + ½ ∠BOC

=90°

∴ ∠OBC+∠BAC =90°[ প্রমাণিত ]

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে , প্রমান করি যে ত্রিভুজ ∆BCD সমবাহু ত্রিভুজ ।

মনে করি, বৃত্ত দুটির কেন্দ্র যথাক্রমে P এবং Q

অঙ্কনঃ PA ,PB ,BQ,QA এবং PQ অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ ∆APQ এর AP=PQ=AQ [ যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধ সমান ]

∴ ∆APQসমবাহু ত্রিভুজ

∴ ∠APQ=∠AQP=60^∘

অনুরূপে , ∆BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ ∠BPQ = ∠BQP = 60^∘

এখন , ∠APB=∠APQ+∠BPQ

∴ ∠APB = 60°+60°

∴ ∠APB = 120°

অনুরূপে , ∠AQB = 120°

এখানে, AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ∠ACB = ½✕ ∠APB = ½✕ 120° = 60°

এবং , APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠ADB = ½ ∠AQB = ½ ✕120° = 60°

∴ ∆BCD ত্রিভুজে ∠BDC = ∠BCD = ∠CBD = 60°

∴ ∆BCD সমবাহু ত্রিভুজ (প্রমাণিত)

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | Koshe Dekhi 7.1|কষে দেখি ৭.১

9. ABC ত্রিভুজের  পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD⊥BC হলে , প্রমান করি যে ∠BAD = ∠SAC

∆ABC ত্রিভুজের  পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC । প্রমান করতে হবে ∠BAD = ∠SAC

অঙ্কনঃ S,C যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ ত্রিভুজ ∆ASC এর ক্ষেত্রে ,

AS =SC

∴ ∠SAC = ∠SCA

∴ ∠SAC= (180^∘– ∠ASC)/2 = 90 – ½ ☓ ∠ ASC —-(i)

আবার , ∠ABC = ½ ✕∠ASC [ যেহেতু একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]—-(ii)

∴ ∠SAC = 90-∠ABC [(i) ও (ii) থেকে পাই ]

আবার , ∠ABD+∠BAD = 90^∘ [যেহেতু ∠ADB = 90^∘ কারণ AD⊥BC ]

∴∠BAD = 90^∘ – ∠ABD

⇒∠BAD = 90^∘ – ∠ABC

  ∴ ∠SAC = ∠BAD

∴ ∠BAD = ∠SAC [ প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান দ্বাদশ শ্রেণী

10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করি যে ∠AOD +∠BOC = 2∠BPC

যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয় তাহলে প্রমান করি যে , জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব ।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে

প্রমান করতে হবে যে,  ∠AOD +∠BOC = 2∠BPC

অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ AD বৃত্তচাপের ওপর ∠AOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠AOD = 2∠ABD ———-(i)

আবার , BC বৃত্তচাপের ওপর ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BDC পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠BOC = 2∠BDC ——(ii)

আবার ত্রিভুজ ∆PDB এর ক্ষেত্রে ,

∠PBD+∠PDB

= ∠ABD+ ∠BDC

= ∠BPC [ যেহেতু ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ , অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]—(iii)

এখন (i) ও (ii)  যোগ করে পাই ,

∠AOD+∠BOC = 2(∠ABD+∠BDC) = 2∠BPC [ (iii) থেকে পাই ]

∴ ∠AOD+∠BOC = 2∠BPC [ প্রমাণিত ]

আবার , ∠AOD এবং ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হলে ,

∠AOD+∠BOC=180°

বা, 2∠BPC = 180° [∵ ∠AOD+∠BOC = 2∠BPC, পূর্বে প্রমাণিত ]

বা, ∠BPC = 90°

সুতরাং AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব ।

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯

11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে , প্রমান করি যে , ∠AOC –∠BOD = 2∠BPC

O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC –∠BOD = 2∠BPC

অঙ্কনঃ A,D যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ AC বৃত্তচাপের ওপর ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADC পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠AOC = 2∠ADC —-(i)

আবার , BD বৃত্তচাপের ওপর ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BAD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠BOD = 2 ∠BAD —-(ii)

আবার ত্রিভুজ ∆APD এর ক্ষেত্রে ,

∠ADC = ∠APD +∠PAD [∵ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ , অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

∴ ∠ADC-∠PAD = ∠APD —–(iii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই ,

∠AOC – ∠BOD

= 2(∠ADC-∠BAD)

=2 (∠ADC-∠PAD) [∵∠BAD = ∠PAD]

= 2∠APD

= 2∠BPC [∵ ∠APD = ∠BPC]

∴ ∠AOC-∠BOD =2∠BPC [প্রমাণিত]

WBBSE Official Site

12.ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল যেটি B , C ও D বিন্দু দিয়ে যায় । প্রমান করি যে CBD+CDB = ½  BAD ।

ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল যেটি B , C ও D বিন্দু দিয়ে যায় । প্রমাণ করতে হবে ∠CBD+∠CDB =½∠BAD

অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির ওপর E একটি বিন্দু , BE এবং DE অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ ত্রিভুজ ∆BCD এর ক্ষেত্রে ,

∠CBD+∠CDB

= 180° –∠BCD [ যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]

= ∠BED [ যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক ∴ ∠BCD+∠BED=180° ]

= ½ ∠BAD [ BED বৃত্তচাপের ওপর ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BED পরিধিস্থ কোণ । এবং একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]

∴ ∠CBD+∠CDB = ½∠BAD [প্রমাণিত]

13.ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ,BC বাহুর উপর লম্ব । প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC ।

ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ,BC বাহুর উপর লম্ব ।

 প্রমাণ করতে হবে ,  ∠BOD = ∠BAC

অঙ্কনঃ OC অঙ্কন করা হল ।

প্রমাণ: ∆BOD ও ∆COD এর ক্ষেত্রে,

∠ODB = ∠ODC =90^∘ [ যেহেতু OD⊥ BC ]

OB = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OD সাধারণ বাহু

∴ ∆BOD ≅ ∆COD

∴ ∠BOD = ∠COD

∴ ∠BOD =½✕∠BOC = ½ ✕2✕∠BAC = ∠BAC

∴∠BOD = ∠BAC [ প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

14. অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (M.C.Q):

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে , x এর মাণ কত ?

(a) 140°

(b) 40°

(c) 80°

(d) 20°

Ans: (d) 20°

সমাধানঃ ∠POR = 140°

∴ ∠ROQ = 180°-140° =40°

এখন , RQ বৃত্তচাপের উপর ∠ROQ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠RSQ পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠RSQ=½ ✕∠ROQ=½ ✕40°=20°

সুতরাং , x = 20°

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের  কেন্দ্র হলে , x এর মাণ

(a) 70°

(b) 60°

(c ) 40°

(d) 20°

Ans: (a) 70°

সমাধানঃ

∠POQ =140° এবং ∠POR = 80°

∴ ∠QOR = 360°-(140°+80°) = 360°-220° = 140°

এখন , QR বৃত্তচাপের উপর ∠QOR কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠QPR পরিধিস্থ কোণ

 ∠QPR = ½ ✕∠QOR = ½ ✕140° =  70°

∴ x = 70°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে ,x এর মাণ

(a) 60°

(b) 50°

(c) 100°

(d) 80°

Ans: (b) 50°

সমাধানঃ OA =OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠OAB = ∠OBA =50°

∴ ∠AOC = ∠OAB+∠OBA =50°+50° =100° [∵ কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের মাণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

আবার AC বৃত্তচাপের উপর ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADC পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠AOC = 2∠ADC

বা, ∠ADC = ½ ✕∠AOC

বা, ∠ADC = ½ ✕100°

বা, ∠ADC = 50°

(iv) BC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র । ∠OAB =50° হলে ∠ACB এর মাণ

(a) 50°

(b)100°

(c)40°

(d)80°

Ans: (c ) 40°

সমাধানঃ ∠OAB = 50°

∠OBA=50° [ OA=OB , একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠AOB = 180°-(∠OAB+∠OBA) =180°-(50°+50°) =80°

আবার , AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ

∠ACB=½ ✕∠AOB [∵একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]

বা,∠ACB=½✕ 80°

বা, ∠ACB=40°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে , PQR এর মাণ

(a) 20°

(b) 40°

(c ) 60°

(d) 80°

Ans: (c ) 60°

ত্রিভুজ ∆OPQ তে , OP =OQ

∴ ∠OPQ =∠OQP =10°

∴ ∠POQ = 180°-(10°+10°) = 160°

আবার ,∆ORQ ত্রিভুজে OQ =OR [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠ORQ =∠OQR =40°

∴ ∠ROQ = 180°-(40°+40°) = 100°

এখন , ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ = 160°-100° = 60°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে , ∠AOB = 2∠ACD

উত্তরঃ মিথ্যা

কারণ AB এবং AD দুটি ভিন্ন বৃত্তচাপ ।

(ii) ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA=OB এবং ∠AOB = 2∠ACB । O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্য এর ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।

উত্তরঃ সত্য ।

কারণ ∠AOB = 2 ∠ACB সুতরাং একই বৃত্তচাপ AB এর ওপর অবস্থিত ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ । সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।

(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের ___________ ।

উত্তরঃ অর্ধেক

(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান । ∠APB ও ∠DQC বৃত্তস্থ কোণ হলে কোণ দুটির মান __________ ।

উত্তরঃ সমান

(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O হলে , যে কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান _______________ ।

উত্তরঃ 120°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র । ∠OAB = 40° , ∠ABC=120° , ∠BCO = y এবং ∠COA = x হলে x ও y এর মাণ নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ AC বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ ,প্রবিদ্ধ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC ।

∴ ∠ABC = ½ প্রবিদ্ধ ∠AOC [∵একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]

∴ 120° = ½(360°-x)

⇒240°=360°-x

⇒x=360°-240°

⇒x=120°

∴ y=360°-(40°+120°+120°) = 360°-280°=80° [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]

∴x=120°, y=80° [উত্তর]

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D , BC এর মধ্যবিন্দু । ∠BAC = 40° হলে , ∠BOD এর মাণ নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

অঙ্কনঃ OC অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ BAC বৃত্তচাপের ওপর ∠BAC পরিধিস্থ কোণ এবং ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ ।

∠BOC =2∠BAC=2 ✕40° =80°

∆BOD ও ∆ COD এর ক্ষেত্রে ,

BD=DC [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]

OB = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OD সাধারণ বাহু

∴ BOD ≅ COD [বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে ]

∴ ∠BOD = ∠COD

আবার ∠BOC = 80°

∴ ∠BOD = ∠COD =40°

∴ ∠BOD=40° [উত্তর]

মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের মক টেস্টে অংশগ্রহণ করুন এই লিঙ্কে ক্লিক করে

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A ,B ,C তিনটি বিন্দু এমন ভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক । ∠AOC এর মাণ নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

AOCB একটি সমান্তরিক ।

∴∠AOC = ∠ABC [∵ সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান ]—(i)

আবার , ∠ABC = ½ প্রবিদ্ধ ∠AOC [∵একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]—(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

∴∠AOC=½ প্রবিদ্ধ ∠AOC—(iii)

আবার, ∠AOC+প্রবিদ্ধ ∠AOC=360°

বা, ½ প্রবিদ্ধ ∠AOC+প্রবিদ্ধ ∠AOC=360° [(iii) থেকে পাই ]

বা, 3/2 ✕ (প্রবৃদ্ধ ∠AOC) = 360°

বা, 360°–∠AOC = 360° ✕ 2/3

বা, ∠AOC =360°– 240°

বা, ∠AOC =120°

(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠ABC = 120° ; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে , AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

O,A;O,B;O,C যুক্ত করা হল ।

∆OAB এবং ∆OCB এর মধ্যে,

OA=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OB সাধারণ বাহু

AB=BC [ ∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ]

∴∆OAB ≅ ∆OCB [বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে]

∴ ∠OBA=∠OBC=60° [∵∠ABC =120° ]

আবার, ∠OAB=∠OBA=60° [∵OA=OB একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ ∠AOB=60° [∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180° ]

∴ ত্রিভুজ AOB -এর ∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°

∴ AOB সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ OA=OB=AB =5 সেমি.

∴ AB=5 সেমি.[উত্তর]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

(V) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C ও D বিন্দুতে ছেদ করে । A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত । ∠CQD =70° হলে ∠CPD এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

B,C ; B,D যুক্ত করা হল ।

CD বৃত্তচাপের ওপর ∠CBD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠CQD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠CBD =2✕∠CQD =2✕70°=140°

আবার, ∠CBD+∠CPD=180° [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

⇒ ∠CPD= 180°–∠CBD

⇒ ∠CPD=180°-140°

⇒ ∠CPD=40° [উত্তর]

আরও দেখুনঃ

• মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান
• নবম শ্রেণি সকল বিষয়ের মক টেস্ট
• দশম শ্রেণি সকল বিষয়ের মক টেস্ট
• গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধান
• গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধান
• গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধান
• সৌরেন্দ্রনাথ দে দ্বাদশ শ্রেণি সকল অধ্যায়ের সমাধান
• জেক্সপো মক টেস্ট
• WBBSE Official Site

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।