WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 17.সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১৭

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 17|সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১৭|Ganit Prakash Class 9 Solution Of Chapter 17|Ganit Prakash Class Nine Solution Koshe Dekhi 17|West Bengal Board Class Nine Math Book Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৭ সমাধান |গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৭ সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য সমাধান

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

WBBSE OFFICIAL SITE.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 17|সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১৭|Ganit Prakash Class 9 Solution Of Chapter 17|Ganit Prakash Class Nine Solution Koshe Dekhi 17|West Bengal Board Class Nine Math Book Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৭ সমাধান |গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৭ সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য সমাধান

Koshe Dekhi- 17|কষে দেখি -১৭

1. ABC ত্রিভুজে B ও C এর  অন্তসমদ্বিখন্ডক I বিন্দুতে ছেদ করেছে ।প্রমাণ করি যে , ∠BIC = 90º + BAC/2

2. একটি ত্রিভুজের তিনটি  মধ্যমার দৈর্ঘ্য সমান হলে প্রমাণ করি যে , ত্রিভুজটি সমবাহু ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 17|সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১৭|Ganit Prakash Class 9 Solution Of Chapter 17|Ganit Prakash Class Nine Solution Koshe Dekhi 17|West Bengal Board Class Nine Math Book Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৭ সমাধান |গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৭ সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য সমাধান

3. প্রমাণ করি সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র , অন্তকেন্দ্র ,ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমপাতিত হয় ।

ধরি , সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর মধ্যমাত্রয় AD ,BE  এবং CF পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , সমবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র ,অন্তকেন্দ্র ,ভরকেন্দ্র  ও লম্ববিন্দু সমপাতিত হয়েছে ।

প্রমাণঃ ∆ABC –এর মধ্যমা ত্রয় AD ,BE এবং CF পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

∴ ∆ABC  -এর ভরকেন্দ্র G

আবার আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের  উচ্চতাই হল মধ্যমা ।

∴ ∆ABC এর লম্ববিন্দু G

আমরা জানি , সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের  ব্যাসার্ধ তার উচ্চতার দৈর্ঘ্যের এক-তৃতীয়াংশ ।

∴ GD = GE = GF = অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ

∴ অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র হল G

আমরা জানি  ,সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ তার উচ্চতার  দুই – তৃতীয়াংশ ।

∴ AG = BG =CG =পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ

∴ পরিবৃত্তের কেন্দ্রটি হল G

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র , অন্তঃকেন্দ্র , ভরকেন্দ্র ও  লম্ববিন্দু   সমপাতিত হয় ।  [প্রমাণিত ]

4. ABC ত্রিভুজের AD ,BE এবং CF মধ্যমা । প্রমাণ করি যে , ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু ।

ধরি , ABC এর  AD,BE এবং CF মধ্যমা ত্রয়  পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু । অর্থাৎ , ∆DEF এর  ভরকেন্দ্র G প্রমাণ করলেই হবে  , ∆ABC এবং ∆DEF এর ভরকেন্দ্র একই বিন্দু ।

প্রমাণঃ ∆ABC –এর  AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F এবং E

∴ FE || BC এবং EF = ½ BC

আবার D ,BC এর মধ্যবিন্দু

∴ EF =BD

এখন BDEF চতুর্ভুজের , FE || BD [∵ FE ||BC] এবং FE =BD

∴ BDEF একটি সামান্তরিক ।

অনুরূপ ভাবে প্রমাণ  করা যায় যে , DCEF এবং AFDE উভয়ই সামান্তরিক ।

আমরা জানি সামান্তরিকের  কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে  ।

∴ BDEF সামান্তরিক থেকে পাই ,

FQ = QD , ∴ Q ,FD এর মধ্যবিন্দু ।

DCEF সামান্তরিক থেকে পাই ,

DR =RE , ∴ R ,DE এর মধ্যবিন্দু ।

এবং AFDE সামান্তরিক থেকে পাই ,

FP = PE, ∴ P  ,FE এর মধ্যবিন্দু ।

∴ ∆DEF –এর  মধ্যমা তিনটি হল DP ,EQ  এবং FR ,যারা পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

∴ ∆DEF –এর ভরকেন্দ্র G ।

∴ ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু । [প্রমাণিত ]

5. প্রমাণ করি যে একটি ত্রিভুজের দুটি মধ্যমার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় মধ্যমার দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

6. ABC ত্রিভুজের AD ,BE ও CF মধ্যমা  ।  প্রমাণ করি যে ,

(i) 4(AD +BE+CF) > 3(AB+BC +CA)

(ii) 3(AB+BC+ CA) > 2(AD+BE +CF)

ধরি , ABC  এর AD ,BE এবং CF মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , (i) 4(AD+BE+CF) > 3(AB+BC+CA)

(ii) 3(AB+BC+CA) > 2(AD+BE+CF)

প্রমাণঃ যেহেতু ত্রিভুজের  ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে 

এখন  BGC থেকে পাই ,

BG+GC > BC

বা, 2BE +2CF > 3BC —(i)

অনুরূপভাবে AGC থেকে পাই ,

2AD+2CF > 3AC —–(ii)

এবং AGB থেকে পাই ,

2AD +2BE > 3AB  —–(iii)

(i) ,(ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

2BE+2CF+2AD + 2CF + 2AD+ 2BE > 3BC+3AC+3AB

বা 4 (AD+BE+CF) > 3(AB+BC+CA)  [(i) নং প্রমাণিত ]

∆ACD থেকে পাই ,

AC +CD > AD

বা, AC + ½ BC > AD  — (iv) [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]

একই ভাবে ∆ABE থেকে পাই , AB + ½ AC > BE —(v)

এবং ∆BFC থেকে   পাই , BC + ½ AB  >CF  —(vi)

(iv) ,(v) এবং (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

AC+ ½ BC +AB+ ½ AC + BC  + ½ AB > AD+BE +CF

বা, 3(AB+BC+AC) > 2(AD+BE+CF) [(ii) নং প্রমাণিত ]

7. ABC এর AD ,BE এবং CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে পরস্পকে ছেদ করেছে। ∆ABC –এর ক্ষেত্রফল 36 বর্গসেমি. হলে  (i) ∆AGB –এর ক্ষেত্রফল  (ii) CGE –এর ক্ষেত্রফল  (iii) চতুর্ভুজ BDGF এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

8. ABC ত্রিভুজের AD ,BE ও CF মধ্যমা । যদি 2/3 AD  =BC হয়  , তাহলে  প্রমাণ করি যে ,  অপর  দুটি কোণের অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ 90° ।

ধরি , ∆ABC এর  AD ,BE এবং CF মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং 2/3 AD = BC । প্রমাণ করতে হবে যে ,অপর দুটি মধ্যমা BE এবং CF এর অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠BGC = 90º 

প্রমাণঃ যেহেতু , ∆ABC এর ভরকেন্দ্র G

∴ DG = ½ BC —(i)

আবার যেহেতু D ,BC –এর মধ্যবিন্দু

∴ BD =DC = ½ BC —(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

∴ DG =BD = DC

এখন ∆BGD এর BD = DG

∴ ∠DBG =∠DGB

এবং ∆CGD এর CD = DG

∴ ∠DCG = ∠DGC

যেহেতু , ত্রিভুজের  তিনটি কোণের সমষ্টি 180º

∴ ∆BGD থেকে পাই ,

∠DBG + ∠DGB + ∠BDG = 180º —(iii)

এবং ∆CGD থেকে পাই ,

∠DCG + ∠DGC +∠CDG = 180º —(iv)

(iii) ও (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

∠DBG +∠DGB +∠BDG +∠DCG +∠DGC+ ∠CDG = 180º +180º

বা, 2∠DGB  +∠BDG +2∠DGC + ∠CDG = 360º

বা, 2(∠DGB + ∠DGC) + ∠BDG + ∠CDG =360º

∵ BC বাহুর ওপর DG দন্ডায়মান  ।

∴ ∠BDG +∠CDG = 180º

∴ 2(∠DGB + ∠DGC) + 180º = 360º

বা, 2∠BGC = 180º

বা, ∠BGC = 90º

∴ ∠BGC = 90º [ প্রমাণিত ]

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

9. ABCD সামান্তরিকের BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q ; AP এবং  AQ কর্ণ  BD –কে যথাক্রমে K ও L বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , BK =KL = LD

ধরি , ABCD সামান্তরিকের BC এবং CD বাহুর    মধ্যবিন্দু  যথাক্রমে P এবং Q ; AP এবং AQ কর্ণ BD –কে   যথাক্রমে K ও L বিন্দুতে   ছেদ করে  । প্রমাণ  করতে হবে যে , BK = KL = LD

অঙ্কনঃ A ,C যুক্ত করলাম ।

প্রমাণঃ  যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে । ∴ O , AC এর মধ্যবিন্দু এবং OB = OD

এখন ∆ABC –এর   AC এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে O এবং P

∴ ∆ABC এর AP এবং BO মধ্যমা পরস্পরকে K বিন্দুতে   ছেদ করেছে ।

∴ K , ∆ABC এর ভরকেন্দ্র ।

BK = KL =LD [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 17|সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১৭|Ganit Prakash Class 9 Solution Of Chapter 17|Ganit Prakash Class Nine Solution Koshe Dekhi 17|West Bengal Board Class Nine Math Book Solution| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ১৭ সমাধান |গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১৭ সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য সমাধান

10. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i)  ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O ; ∠BOC = 80° হলে, BAC এর পরিমাপ

(a ) 40°         

(b ) 160°

(c ) 130°

(d) 110°

Ans: (a ) 40°

সমাধানঃ

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O

∴ OA =  OB = OC [একই  বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

∴ ∠OBC = ∠OCB = (180º-∠BOC)/2 = (180º- 80º)/2 = 100º/2 =50º

ধরি , ∠OAB =∠OBA =  x এবং ∠OAC = ∠OCA = y

এখন , ABC ত্রিভুজ থেকে পাই ,

∠A +∠B +∠C = 180º

বা, ∠OAB +∠OAC +∠OBA+  ∠OBC + ∠OCB +∠OCA = 180º

বা, x+y +x+50º + 50º + y = 180º

বা, 2x+2y +100º = 180º

বা, 2(x+y) = 180º-100º

বা, x+y = 80º/2

বা, x+y = 40º

∴ ∠BAC = 40º

বিকল্প পদ্ধতিঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে , BOC = 2BAC [যেহেতু , একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]

BAC = ½ BOC = ½ ☓ 80° = 40°

(ii) ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O ; BAC  = 40° হলে  BOC এর পরিমাপ –

(a) 80°

(b) 140°

(c ) 110°

(d ) 40°

Ans: (b) 140°

সমাধানঃ চতুর্ভুজ AFOE –এর ∠FAE = ∠BAC = 40°

এবং ∠OFA = ∠OEA =90°

∠FOE = 360° –(∠FAE + ∠OFA +∠OEA)

         = 360° –(40°+90°+90°)

         = 360°- 220°

         = 140°

iii) ABC ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র O ; ∠BAC = 40° হলে ∠BOC –এর পরিমাপ

(a ) 80°

(b) 110°

(c ) 140°

(d) 40°

Ans: (b) 110°

সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র O ।

∴ OA ,OB এবং OC যথাক্রমে A ,B এবং C –এর সমদ্বিখন্ডক । 

∆ABC –এর ∠ABC +∠ACB +∠BAC =180º

বা, 2∠OBC +2∠OCB + 40º = 180º

বা, 2(∠OBC +∠OCB ) = 180º-40º

বা, 2(∠OBC +∠OCB) = 140º

বা, ∠OBC +∠OCB = 140º /2

বা, ∠OBC +∠OCB = 70º

এখন OBC ত্রিভুজ থেকে পাই ,

∠BOC = 180º –(∠OBC +∠OCB ) = 180º – 70º = 110º

(iv) ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G ; GBC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সেমি. হলে ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 24 বর্গ সেমি.

(b) 6 বর্গ সেমি.

(c ) 36 বর্গ সেমি.

(d ) কোনোটিই নয় ।

Ans: (c ) 36 বর্গ সেমি.

This image has an empty alt attribute; its file name is rsz_img_20210701_0001_new-1-2-1.jpg

সমাধানঃ ∆ABC এর ক্ষেত্রফল =3 ☓ ∆BGC –এর ক্ষেত্রফল = 3 ☓ 12 বর্গ সেমি. = 36 বর্গ সেমি. ।

(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে   অতিভুজের  দৈর্ঘ্য

(a ) 25 সেমি.

(b) 10 সেমি.

(c ) 5 সেমি.

(d) কোনোটিই নয় ।

Ans:(b) 10 সেমি.

সমাধানঃ সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য তার অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক ।

∴ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 2☓5 সেমি. = 10 সেমি. ।

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ

(i) একটি ত্রিভুজের বাহুর  বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. , 8 সেমি. ও 10 সেমি. হলে  ত্রিভুজটির  পরিকেন্দ্র  ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের কোথায় অবস্থিত তা লিখি ।

সমাধানঃ একটি ত্রিভুজের বাহুর  বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি. , 8 সেমি. ও 10 সেমি. ।

এখন , 82 + 62 = 64 +36 = 100 =(10)2

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ । আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজের  ক্ষেত্রে  ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ত্রিভুজটির অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত ।

∴ ত্রিভুজটির  পরিকেন্দ্র ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের 10 সেমি. বাহুর মধ্যবিন্দুতে  অবস্থিত ।

(ii) ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র । ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 3√3 সেমি. হলে AG –এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

(iii)একটি ত্রিভুজের কয়টি বিন্দু ত্রিভুজের বাহুগুলি থেকে সমদূরবর্তী তা লিখি ।

সমাধানঃ একটি  অন্তঃকেন্দ্র (অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র ) এবং তিনটি বহিঃকেন্দ্র (বহিঃবৃত্তের কেন্দ্র) ত্রিভুজের বাহুগুলি থেকে সমদূরবর্তী ।

∴ একটি ত্রিভুজের চারটি বিন্দু ত্রিভুজের বাহু গুলি থেকে সমদূরবর্তী ।

(iv) ABC সমবাহু ত্রিভুজের  পাদ ত্রিভুজ ∆DEF  ; FDA এর  পরিমাপ কত তা লিখি ।

সমাধানঃ সমবাহু ত্রিভুজের পাদ ত্রিভুজও সমবাহু ত্রিভুজ হবে ।

∴  DEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ , সুতরাং এর  প্রতিটি কোণ 60º

যেহেতু  AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু  যথাক্রমে F এবং E

∴ FE = ½ BC  = ½ AC  = ½ AB [∵ AB =BC = CA ]

∴ AEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ , সুতরাং এর প্রতিটি কোণ 60º

∆ADF এর FD = AF

∴ ∠FDA = ∠FAD

∴ ∠FDA +∠FAD +∠AFD = 180º

বা, ∠FDA +∠FDA  + [∠AFP +∠DFP ] = 180º

বা, 2∠FDA + [60º+60º] =180º

বা, 2∠FDA  = 180º-120º

বা, 2∠FDA = 60º

বা, ∠FDA = 30º

∴ ∠FDA = 30º

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

(v) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠ABC = ACB এবং   মধ্যমা AD = ½ BC । যদি AB = √2 সেমি. হয়  তাহলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

সমাধানঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের D ,BC বাহু   মধ্যবিন্দু এবং AD = ½ BC

∴ ∠BAC =90º ,সুতরাং , ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ

আবার , ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠ABC = ∠ACB

∴ AB =  AC = √2 সেমি.

ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB2 + AC2 = BC2

ধন্যবাদ। এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল ।এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!