WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9|ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9।গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি (ক্লাস ৯) কষে দেখি 9 সমাধান ।Ganit Prakash Class9 (IX) Koshe Dekhi 9 Somadhan.
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9|ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9।গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি (ক্লাস ৯) কষে দেখি 9 সমাধান ।Ganit Prakash Class 9 (IX) Koshe Dekhi 9 Somadhan.
কষে দেখি 9
1. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , EF = ½ BC
ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D । D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমাণ করতে হবে যে , EF = ½ BC
প্রমাণঃ ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D । D বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
∴ F , AC এর মধ্যবিন্দু ।
ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D । D বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
∴ E , AB এর মধ্যবিন্দু ।
এখন , ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু E এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু F ।
∴ EF = ½ BC [প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
2. D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর ওপর এমনভাবে অবস্থিত যে , AD = ¼ AB এবং AE = ¼ AC ; প্রমাণ করি যে , DE || BC এবং DE = ¼ BC
ABC একটি ত্রিভুজ যার AB ও AC বাহুর ওপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে , AD = ¼ AB এবং AE = ¼ AC হয় ।
প্রমাণ করতে হবে যে , DE || BC এবং DE = ¼ BC ।
অঙ্কনঃ ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর ওপর যথাক্রমে M ও N বিন্দু এমন ভাবে নেওয়া হল যাতে , AD = ½ AM এবং AE = ½ AN হয় ।
প্রমাণঃ AMN ত্রিভুজের AM ও AN বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E । [অঙ্কনানুসারে ]
∴ DE = ½ MN —(i) এবং DE || MN —(ii)
AD = ½ AM [অঙ্কনানুসারে ]
বা, ¼ AB = ½ AM [যেহেতু , AD = ¼ AB (প্রদত্ত )]
বা, ½ AB = AM
∴ M , AB এর মধ্যবিন্দু । —(iii)
আবার , AE = ½ AN [ অঙ্কনানুসারে ]
বা, ¼ AC = ½ AN
বা, ½ AC = AN
∴ N , AC –এর মধ্যবিন্দু । —(iv)
(ii) ও (iii) থেকে পাই ,
MN = ½ BC এবং MN || BC
এখন , MN = ½ BC
বা, 2DE = ½ BC [ (i) থেকে পাই ]
বা, 4DE = BC
বা, DE = ¼ BC [প্রমাণিত ]
আবার , MN || BC —(v)
(ii) ও (v) থেকে পাই ,
DE || BC [ প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
3. X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু । QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে PS = ZP হয় । SX ,PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , PY = ¼ BC
PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X এবং Z । QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে , PS = ZPহয় । SX , PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণ করতে হবে যে , PY = ¼ BC
অঙ্কনঃ X , Z বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ PQR ত্রিভুজের ,QP ও QR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Z ও X ।
∴ ZX || PR এবং ZX = ½ PR
আবার , ত্রিভুজ SZX –এর PS = ZP[ প্রদত্ত ]
∴ P , SZ –এর মধ্যবিন্দু এবং PY || ZX [ যেহেতু , ZX ||PR (পূর্বে প্রমাণিত )]
∴ Y , SX এর মধ্যবিন্দু ।
∴ ∆SZX –এর SZ এবং SX বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে , P এবং Y
∴ PY = ½ ZX
আবার , ZX = ½ PR (পূর্বে প্রমাণিত )
∴ PY =½ ZX =½(½ PR)
বা, PY = ¼ PR [ প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
4. প্রমাণ করি যে , একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় ,সেটি একটি সামান্তরিক ।
সমাধানঃ ধরি , ABCD একটি সামান্তরিক যার AB ,BC ,CD এবং DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P,Q,R এবং S ।
প্রমাণ করতে হবে যে , PQRS একটি সামান্তরিক ।
অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ ABD ত্রিভুজের AB ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও S ।
∴ PS || BD —(i)
এবং PS = ½ BD —(ii)
আবার , BCD ত্রিভুজের BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R ।
∴ QR ||BD —(iii)
এবং QR = ½ BD —(iv)
(i) ও (iii) থেকে পাই ,
PS || QR
(ii) ও (iv) থেকে পাই ,
PS = QR
∴ PQRS চতুর্ভুজের PS =QR এবং PS || QR , অর্থাৎ একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল সুতরাং PQRS একটি সামান্তরিক । [প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
5. প্রমাণ করো যে একটি আয়তকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি রম্বস , কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয় ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
6. প্রমাণ করি যে , একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় ,সেটি একটি বর্গাকার চিত্র ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
7. প্রমাণ করি যে , একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি আয়তকার চিত্র ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E ; P ও Q যথাক্রমে CD ও BD এর মধ্যবিন্দু ।প্রমাণ করি যে BE ও PQ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC –এর সমদ্বিখন্ডকের উপর AD লম্ব । D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , AE =EC
উত্তরঃ ABC ত্রিভুজের ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব । D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে , AE =EC ।
অঙ্কনঃ A,D যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা BC –কে F বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণঃ ∆ABD ও ∆BFD -এর ক্ষেত্রে ,
∠ABD = ∠DBF [যেহেতু , BD , ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডক ]
∠ADB = ∠BDF [উভয়ই সমকোণ ]
এবং , BD সাধারণ বাহু ।
∴ ∆ABD ≅ ∆BFD
∴ AD = FD
∴ D , AF –এর মধ্যবিন্দু ।
এখন , ∆AFC ত্রিভুজের AF বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং DE || BC ,
∴ DE || FC
∴ E , AC –এর মধ্যবিন্দু ।
∴ AE =EC [প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা । B ও C বিন্দু দিয়ে AD –এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR ও CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T ও R বিন্দুতে মিলিত হয় ।প্রমাণ করি যে , 1/AD = 1/RB + 1/TC
মনে করি , ABC এর AD মধ্যমা । B ও C বিন্দু দিয়ে AD এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR ও CT টানা হল যারা বর্ধিত BA ও CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয় ।
প্রমাণ করতে হবে যে , 1/AD = 1/RB + 1/TC
প্রমাণঃ ∆RBC এর ,BC বাহুর মধ্যবিন্দু D [ যেহেতু , AD মধ্যমা ] এবং AD || RB
∴ AD = ½ RB
আবার , ∆TBC থেকে পাই ,BC বাহুর মধ্যবিন্দু D [যেহেতু , AD মধ্যমা ] এবং AD || TC
∴ AD = ½ TC
∴ RB = TC
আবার , যেহেতু , AD = ½ RB
∴ 1/AD = 2/RB
বা, 1/AD = 1/ RB +1/RB
আবার যেহেতু , RB =TC
∴ 1/AD = 1/RB + 1/TC [প্রমাণিত]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
11. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB >DC ; E ও F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD এর মধ্যবিন্দু । প্রমাণ করি যে , EF = ½ (AB –DC)
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
12. AB সরল রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । A,B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR ,BS এবং CT ; প্রমাণ করি যে , AR +BS =2CT
মনে করি , AB সরল রেখার মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । A,B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR ,BS এবং CT
প্রমাণ করতে হবে যে , AR +BS = 2CT
অঙ্কনঃ R ,B যুক্ত করা হল যা , CT কে M বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণঃ যেহেতু , AR , BS এবং CT সরলরেখাগুলি যথাক্রমে A ,B এবং C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব , তাই AR ,BS এবং CT সরলরেখাগুলি প্রত্যেকে PQ –এর ওপর লম্ব ।
অর্থাৎ , CT || AR এবং CT || BS
এখন ত্রিভুজ ABR থেকে পাই ,
AB বাহুর মধ্যবিন্দু C (কল্পনানুসারে )
এবং CM ||AR
∴ M ,BR –এর মধ্যবিন্দু এবং CM = ½ AR
আবার ত্রিভুজ BRS এর ,
BR বাহুর মধ্যবিন্দু M এবং MT || BS
∴ MT = ½ BS
সুতরাং, CM +MT = ½ AR + ½ BS
বা, CT = ½ (AR +BS)
অর্থাৎ , AR +BS= 2CT [ প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । B ,C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ওপর লম্ব যথাক্রমে BL ,CM এবং DN , প্রমাণ করি যে , DL = DM .
মনে করি , ABC –এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । B ,C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখাংশের উপর লম্ব যথাক্রমে BL ,CM এবং DN ; প্রমাণ করতে হবে যে , DL = DM
প্রমাণঃ BL ,DN এবং CN প্রত্যেকে PQ সরলরেখার ওপর লম্ব ।
সুতরাং BL || DN ||CM
আবার , BD = DC
∴ LN =MN
এখন ∆LDN এবং ∆MND এর মধ্যে ,
∠LND = ∠MND [উভয়ই সমকোণ ]
LN =MN [পূর্বে প্রমাণিত ]
এবং ND সাধারণ বাহু ।
∴ ∆LDN ≅ ∆MND
∴ DL =DM [অনুরূপ বাহু ] [প্রমাণিত ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
14. ABCD একটি বর্গাকার চিত্র । AC এবং DB কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে । BAC –এর সমদ্বিখন্ডক BO কে P বিন্দুতে এবং BC –কে Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , OP = ½ CQ
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) PQR ত্রিভুজে PQR = 90° এবং PR =10 সেমি. । PR বাহুর মধ্যবিন্দু S হলে , QS এর দৈর্ঘ্য
(a) 4 সেমি.
(b) 5 সেমি.
(c) 6 সেমি.
(d) 3 সেমি.
Ans: (b) 5 সেমি.
সমাধানঃ
PQR ত্রিভুজে PQR = 90° এবং PR বাহুর মধ্যবিন্দু S ।
S বিন্দু থেকে PQ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ অঙ্কন করা হল যে QR –কে T বিন্দুতে ছেদ করে ।
PR বাহুর মধ্যবিন্দু S
আবার ST || PQ
∴ T ,QR –এর মধ্যবিন্দু ।
আবার , ST || PQ , QR ভেদক
∴ PQR = STQ = 90°
এখন , ∆QST এবং ∆RST –এর মধ্যে ,
∠STQ = ∠STR = 90°
ST সাধারণ বাহু
এবং QT = TR [যেহেতু , T ,QR এর মধ্যবিন্দু ]
∴ ∆QST ≅ ∆STR
∴ QS =SR
আবার , S , PR এর মধ্যবিন্দু
∴ SR = ½ PR
∴ QS = ½ PR
∴ QS = (½✕10) সেমি. = 5 সেমি.
∴ QS = 5সেমি.
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(ii) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB =7 সেমি. ও DC =5সেমি. ।AD ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F হলে ,EF –এর দৈর্ঘ্য
(a) 5সেমি.
(b) 7 সেমি.
(c ) 6 সেমি.
(d) 12 সেমি.
Ans: (c ) 6 সেমি.
সমাধানঃ EF = ½ (AB+DC) = ½ (7+5) সেমি. = 6 সেমি.
EF = ½ (AB+DC) –এর প্রমাণ নীচে দেখানো হল ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(iii) ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E ; বর্ধিত BE , AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে । AC =10.5 সেমি. হলে AF –এর দৈর্ঘ্য
(a) 3 সেমি.
(b) 5 সেমি.
(c) 2.5 সেমি.
(d) 3.5 সেমি.
Ans: (d) 3.5 সেমি.
সমাধানঃ AF = 1/3 AC = (1/3✕10.5 ) সেমি. = 3.5 সেমি.
AF=1/3 AC –এর প্রমাণ নীচে দেখানো হল
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(iv) ABC ত্রিভুজের BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D,E ও F ; BE ও DF , X বিন্দুতে , CF ও DE Y বিন্দুতে ছেদ করলে , XY –এর দৈর্ঘ্য সমান
(a) ½ BC
(b) ¼ BC
(c ) 1/3 BC
(d) 1/8 BC
Ans: (b) ¼ BC
সমাধানঃ
যেহেতু , BC , CA ,AB –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ,E এবং F
∴ EF || BC , FD || AC এবং ED || AB
সুতরাং BDEF এবং DCEF দুটি সামান্তরিক ।
∴ X ও Y যথাক্রমে FD ও DE এর মধ্যবিন্দু ।[যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ]
এখন, ∆ABC থেকে পাই , EF = ½ BC [যেহেতু,CA ,AB –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E এবং F]
এবং ∆DEF থেকে পাই , XY = ½ FE [যেহেতু ,X ও Y যথাক্রমে FD ও DE এর মধ্যবিন্দু ]
∴ XY = ½ FE= ¼ BC
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(v) ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু E ; DE এবং বর্ধিত AB , F বিন্দুতে মিলিত হয় । AF –এর দৈর্ঘ্য সমান
(a) 3/2 AB
(b) 2AB
(c ) 3AB
(d) 5/4 AB
Ans: (b) 2AB
সমাধানঃ
∆BEF এবং ∆CED এর মধ্যে ,
BE = CE [যেহেতু , E ,BC এর মধ্যবিন্দু ]
∠BEF = বিপ্রতীপ ∠CED
এবং, ∠EBF = একান্তর ∠ECD [ যেহেতু , AF || DC এবং BC ভেদক ]
∴ ∆BEF ≅∆CED
সুতরাং , BF =CD [অনুরূপ বাহু ]
∴ BF =AB [যেহেতু , AB = DC, সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ]
অর্থাৎ , AF = AB +BF =AB +AB = 2AB
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ
(i) ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা এবং BE এর সমান্তরাল সরলরেখা DF , AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয় । AC বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি. হলে , CF বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।
সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা এবং BE এর সমান্তরাল সরলরেখা DF , AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয় । G , AD ও BE –এর ছেদবিন্দু ।
BEC ত্রিভুজে , BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং এবং BE || DF
∴ F , CE –এর মধ্যবিন্দু ।
∴ EF =FC
আবার , BE মধ্যমা ।
∴ AE =EC = ½ AC
∴ CF = EF = ½ EC = ½ ( ½ AC) = ¼ AC =(1/4✕8)সেমি. = 2 সেমি.
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(ii) ABC ত্রিভুজের BC , CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ,Q ,R ;যদি AC =21 সেমি. , BC =29 সেমি. এবং AB = 30সেমি. হয় , তাহলে ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা লিখি ।
সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের BC , CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ,Q ,R
∴ PR = ½ AC = (½✕21) সেমি. = 10.5 সেমি.
এবং , PQ = ½ AB =( ½ ✕ 30)সেমি. = 15 সেমি.
আবার , AR = ½ AB = (½ ✕ 30) সেমি = 15 সেমি.
এবং AQ = ½ AC = ( ½ ✕ 21) সেমি. = 10.5 সেমি.
∴ ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা = (AR+PR+PQ +AQ) = (15+10.5+15+10.5) সেমি. = 51 সেমি.
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(iii)ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D একটি বিন্দু । P,Q ,X ,Y যথাক্রমে AB ,BC ,AD এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু । PX = 5 সেমি. হলে , QY –এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।
সমাধানঃ P,Q ও B,D যুক্ত করা হল ।
ABD ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ,
AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং X
∴ PX = ½ BD এবং PX || BD — (i)
আবার , BCD ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ,
BC ও CD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও Y
∴ QY = ½ BD এবং QY || BD —(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই ,
PX = QY এবং PX || QY
∴ PXYQ একটি সামান্তরিক ।
∴ PX = QY = 5 সেমি.[যেহেতু , সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান ]
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(iv) ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে । P এবং Q যথাক্রমে BG ও CG –এর মধ্যবিন্দু । PQ =3 সেমি. হলে BC এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।
সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে । P এবং Q যথাক্রমে BG ও CG –এর মধ্যবিন্দু ।
BGC ত্রিভুজে BG ও CG বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q ।
∴ PQ = ½ BC
বা,BC = 2PQ = (2✕3) সেমি. = 6 সেমি.
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9
(v) ABC ত্রিভুজের BC ,CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ,E ও F ; EF ,AD কে O বিন্দুতে ছেদ করে । AD = 6সেমি. হলে ,AO এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।
সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের BC ,CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ,E ও F
∴ FD = ½ AC = AE
আবার, DE = ½ AB = AF
AFDE চতুর্ভুজের AF = DE এবং AE = FD
অর্থাৎ AFDE চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান, সুতরাং AFDE একটি সামান্তরিক ।
∴ AO = OD [যেহেতু , সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ]
∴ AO = ½ AD = (½✕6)সেমি. = 3 সেমি.
∴ AO –এরদৈর্ঘ্য 3 সেমি.
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9