WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9|ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9|ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9।গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি (ক্লাস ৯) কষে দেখি 9 সমাধান ।Ganit Prakash Class9 (IX) Koshe Dekhi 9 Somadhan.

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

WBBSE OFFICIAL SITE

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9|ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9।গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি (ক্লাস ৯) কষে দেখি 9 সমাধান ।Ganit Prakash Class 9 (IX) Koshe Dekhi 9 Somadhan.

কষে দেখি 9

1. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , EF = ½ BC

ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D । D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , EF = ½ BC

প্রমাণঃ ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D । D বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

∴ F , AC এর মধ্যবিন্দু ।

ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D । D বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

∴ E , AB এর মধ্যবিন্দু ।

এখন , ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু E এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু F ।

∴ EF = ½ BC [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

2. D এবং E বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর ওপর এমনভাবে অবস্থিত যে , AD = ¼ AB এবং AE = ¼ AC ; প্রমাণ করি যে , DE || BC  এবং DE = ¼ BC

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

ABC একটি ত্রিভুজ যার AB ও AC বাহুর ওপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে , AD = ¼ AB এবং AE = ¼ AC হয় ।

প্রমাণ করতে হবে যে , DE || BC  এবং DE = ¼ BC ।

অঙ্কনঃ ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর ওপর  যথাক্রমে M ও N বিন্দু এমন ভাবে নেওয়া হল যাতে  , AD = ½ AM এবং AE = ½ AN হয় ।

প্রমাণঃ AMN ত্রিভুজের AM ও AN বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E । [অঙ্কনানুসারে ]

∴ DE = ½ MN —(i)  এবং DE || MN —(ii)

AD = ½ AM [অঙ্কনানুসারে ]

বা, ¼ AB = ½ AM [যেহেতু , AD = ¼ AB (প্রদত্ত )]

বা, ½ AB = AM

∴ M , AB এর মধ্যবিন্দু । —(iii)

আবার , AE = ½ AN [ অঙ্কনানুসারে ]

বা, ¼ AC = ½ AN

বা, ½ AC = AN

∴ N , AC –এর মধ্যবিন্দু । —(iv)

(ii) ও (iii) থেকে পাই ,

MN = ½ BC এবং MN || BC

এখন , MN = ½ BC

বা, 2DE = ½ BC [ (i) থেকে পাই ]

বা, 4DE = BC

বা, DE = ¼ BC [প্রমাণিত ]

আবার , MN || BC —(v)

(ii) ও (v) থেকে পাই ,

DE || BC [ প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

3. X এবং Z যথাক্রমে PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু । QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে PS = ZP হয় । SX ,PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , PY = ¼ BC

PQR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X এবং Z । QP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে , PS = ZPহয় । SX , PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ করতে হবে  যে , PY = ¼ BC

অঙ্কনঃ X , Z বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ PQR ত্রিভুজের ,QP ও QR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Z ও X ।

∴ ZX || PR  এবং ZX = ½ PR

আবার , ত্রিভুজ SZX –এর PS = ZP[ প্রদত্ত ]

∴ P , SZ –এর মধ্যবিন্দু এবং PY || ZX [ যেহেতু , ZX ||PR (পূর্বে প্রমাণিত )]

∴ Y , SX এর মধ্যবিন্দু ।

∴ ∆SZX –এর SZ এবং SX বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে , P এবং Y

∴ PY = ½ ZX

আবার , ZX = ½ PR (পূর্বে প্রমাণিত )

∴ PY =½ ZX =½(½ PR)

বা, PY = ¼ PR [ প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

4. প্রমাণ করি যে , একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় ,সেটি একটি সামান্তরিক ।

সমাধানঃ ধরি , ABCD একটি সামান্তরিক যার AB ,BC ,CD এবং DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P,Q,R এবং S ।

প্রমাণ করতে হবে যে , PQRS একটি সামান্তরিক ।

অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ  ABD  ত্রিভুজের AB ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও S ।

∴ PS || BD —(i)

এবং PS = ½ BD  —(ii)

আবার , BCD ত্রিভুজের BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R ।

∴ QR ||BD —(iii)

এবং QR = ½ BD —(iv)

(i) ও (iii) থেকে পাই ,

PS || QR

(ii) ও (iv) থেকে পাই ,

PS = QR

∴ PQRS চতুর্ভুজের PS =QR এবং PS || QR , অর্থাৎ একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল সুতরাং PQRS একটি সামান্তরিক [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

5. প্রমাণ করো যে একটি আয়তকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি রম্বস , কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয় ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

6. প্রমাণ করি যে , একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় ,সেটি একটি বর্গাকার চিত্র ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

7. প্রমাণ করি যে , একটি রম্বসের বাহুগুলির  মধ্যবিন্দুগুলি পরপর  যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি আয়তকার চিত্র ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E ; P ও Q যথাক্রমে CD ও BD এর মধ্যবিন্দু ।প্রমাণ করি যে BE ও PQ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC –এর সমদ্বিখন্ডকের  উপর AD লম্ব । D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , AE =EC   

উত্তরঃ  ABC ত্রিভুজের ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব । D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে , AE =EC ।

অঙ্কনঃ A,D যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা BC –কে F বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ ∆ABD ও ∆BFD -এর ক্ষেত্রে ,

∠ABD = ∠DBF [যেহেতু , BD , ∠ABC এর সমদ্বিখণ্ডক ]

∠ADB = ∠BDF [উভয়ই সমকোণ ]

এবং , BD সাধারণ বাহু ।

∴ ∆ABD ≅ ∆BFD

∴ AD = FD

∴ D , AF –এর মধ্যবিন্দু ।

এখন , ∆AFC ত্রিভুজের AF বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং DE || BC ,

∴ DE || FC

∴ E , AC –এর মধ্যবিন্দু ।

∴ AE =EC [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা । B ও C বিন্দু দিয়ে AD –এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR ও CT টানা হলো যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T ও R বিন্দুতে মিলিত হয় ।প্রমাণ করি যে , 1/AD = 1/RB + 1/TC

মনে করি , ABC এর AD মধ্যমা । B ও C বিন্দু দিয়ে AD এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BR ও CT টানা হল যারা বর্ধিত BA ও CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয় ।

প্রমাণ করতে হবে যে , 1/AD = 1/RB + 1/TC

প্রমাণঃ ∆RBC এর ,BC বাহুর মধ্যবিন্দু D [ যেহেতু , AD মধ্যমা ] এবং AD || RB

∴ AD = ½ RB

আবার , ∆TBC থেকে পাই ,BC বাহুর মধ্যবিন্দু D [যেহেতু , AD মধ্যমা ] এবং AD || TC

∴ AD = ½ TC

∴ RB = TC

আবার , যেহেতু , AD = ½ RB

∴ 1/AD = 2/RB

বা, 1/AD = 1/ RB +1/RB

আবার যেহেতু , RB =TC

∴ 1/AD = 1/RB + 1/TC [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

11. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB >DC ; E ও F যথাক্রমে কর্ণদ্বয় AC ও BD এর মধ্যবিন্দু । প্রমাণ করি যে , EF = ½ (AB –DC)

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

12. AB সরল রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । A,B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR ,BS এবং CT ; প্রমাণ করি যে , AR +BS =2CT

মনে করি , AB সরল রেখার মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । A,B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR ,BS এবং CT

প্রমাণ করতে হবে যে , AR +BS = 2CT

অঙ্কনঃ R ,B যুক্ত করা হল যা , CT কে M বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ যেহেতু , AR , BS এবং CT সরলরেখাগুলি যথাক্রমে A ,B এবং C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব , তাই AR ,BS এবং CT সরলরেখাগুলি প্রত্যেকে PQ –এর ওপর লম্ব ।

অর্থাৎ , CT || AR এবং CT || BS

এখন ত্রিভুজ  ABR থেকে পাই ,

AB বাহুর মধ্যবিন্দু C (কল্পনানুসারে )

এবং CM ||AR

∴ M ,BR –এর মধ্যবিন্দু এবং CM = ½ AR

আবার ত্রিভুজ BRS এর ,

BR বাহুর মধ্যবিন্দু M এবং MT || BS

∴ MT = ½ BS

সুতরাং, CM +MT = ½ AR + ½ BS

বা, CT = ½ (AR +BS)

অর্থাৎ , AR +BS= 2CT [ প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । B ,C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ওপর লম্ব যথাক্রমে BL ,CM এবং DN , প্রমাণ করি যে , DL = DM .

মনে করি , ABC –এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা । B ,C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখাংশের উপর লম্ব যথাক্রমে BL ,CM এবং DN ; প্রমাণ করতে হবে যে , DL = DM

প্রমাণঃ BL ,DN এবং CN প্রত্যেকে PQ সরলরেখার ওপর লম্ব ।

সুতরাং BL || DN ||CM

আবার , BD = DC

∴ LN =MN

এখন ∆LDN এবং ∆MND এর মধ্যে ,

∠LND = ∠MND [উভয়ই সমকোণ ]

LN =MN [পূর্বে প্রমাণিত ]

এবং ND সাধারণ বাহু ।

∴ ∆LDN ≅ ∆MND

∴ DL =DM [অনুরূপ বাহু ] [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

14. ABCD একটি বর্গাকার চিত্র । AC এবং DB কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে । BAC –এর সমদ্বিখন্ডক BO কে P বিন্দুতে এবং BC –কে Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , OP = ½ CQ

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

15. বহু  বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) PQR ত্রিভুজে PQR = 90° এবং PR =10 সেমি. । PR বাহুর মধ্যবিন্দু S হলে , QS এর দৈর্ঘ্য

(a) 4 সেমি.

(b) 5 সেমি.

(c) 6 সেমি.

(d) 3 সেমি.

Ans: (b) 5 সেমি.

সমাধানঃ

PQR ত্রিভুজে PQR = 90° এবং  PR বাহুর মধ্যবিন্দু S ।

S বিন্দু থেকে PQ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ অঙ্কন করা হল যে QR –কে T বিন্দুতে ছেদ করে ।

PR বাহুর মধ্যবিন্দু S

আবার ST || PQ

∴ T ,QR –এর মধ্যবিন্দু ।

আবার , ST || PQ , QR ভেদক

∴ PQR = STQ = 90°

এখন , ∆QST এবং ∆RST –এর মধ্যে ,

∠STQ = ∠STR = 90°

ST সাধারণ বাহু

এবং QT = TR [যেহেতু , T ,QR এর মধ্যবিন্দু ]

∴ ∆QST ≅ ∆STR

∴ QS =SR

আবার , S , PR এর মধ্যবিন্দু

∴ SR = ½ PR

∴ QS = ½ PR

∴ QS =  (½✕10) সেমি. = 5 সেমি.

∴ QS = 5সেমি.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(ii) ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং AB =7 সেমি. ও DC =5সেমি. ।AD ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F হলে ,EF –এর দৈর্ঘ্য

(a) 5সেমি.

(b) 7 সেমি.

(c ) 6 সেমি.

(d) 12 সেমি.

Ans: (c ) 6 সেমি.

সমাধানঃ EF = ½ (AB+DC) = ½ (7+5) সেমি. = 6 সেমি.

EF = ½ (AB+DC) –এর প্রমাণ নীচে দেখানো হল ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(iii) ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E ; বর্ধিত BE , AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে । AC =10.5 সেমি. হলে AF –এর দৈর্ঘ্য

(a) 3 সেমি.

(b) 5 সেমি.

(c) 2.5 সেমি.

(d) 3.5 সেমি.

Ans: (d) 3.5 সেমি.

সমাধানঃ AF =  1/3 AC = (1/3✕10.5 ) সেমি. = 3.5 সেমি.

AF=1/3 AC –এর প্রমাণ নীচে দেখানো হল

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(iv) ABC ত্রিভুজের BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D,E ও F ; BE ও DF , X বিন্দুতে , CF ও DE  Y বিন্দুতে ছেদ করলে , XY –এর দৈর্ঘ্য সমান

(a) ½ BC

(b) ¼ BC

(c ) 1/3 BC

(d) 1/8 BC

Ans: (b) ¼ BC

সমাধানঃ

যেহেতু , BC , CA ,AB –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ,E এবং F

∴ EF || BC , FD || AC এবং ED || AB

সুতরাং BDEF এবং DCEF দুটি সামান্তরিক ।

∴ X ও Y যথাক্রমে FD ও DE এর মধ্যবিন্দু ।[যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ]

এখন, ∆ABC থেকে পাই , EF = ½ BC [যেহেতু,CA ,AB –এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E এবং F]

এবং ∆DEF থেকে পাই , XY = ½ FE [যেহেতু ,X ও Y যথাক্রমে FD ও DE এর মধ্যবিন্দু ]

∴ XY = ½ FE= ¼ BC

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(v) ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু E ; DE এবং বর্ধিত AB , F বিন্দুতে মিলিত হয় । AF –এর দৈর্ঘ্য সমান

(a) 3/2 AB

(b) 2AB

(c ) 3AB

(d) 5/4 AB

Ans: (b) 2AB

সমাধানঃ

∆BEF এবং ∆CED এর মধ্যে ,

BE = CE [যেহেতু , E ,BC এর মধ্যবিন্দু ]

∠BEF = বিপ্রতীপ ∠CED

এবং, ∠EBF = একান্তর ∠ECD [ যেহেতু , AF || DC এবং BC ভেদক ]

∴ ∆BEF ≅∆CED

সুতরাং , BF =CD [অনুরূপ বাহু ]

∴ BF =AB [যেহেতু , AB = DC, সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ]

অর্থাৎ , AF = AB +BF =AB +AB = 2AB

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ

(i) ABC ত্রিভুজের AD  এবং BE মধ্যমা   এবং BE এর সমান্তরাল সরলরেখা DF , AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয় । AC বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি. হলে , CF বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের AD  এবং BE মধ্যমা   এবং BE এর সমান্তরাল সরলরেখা DF , AC বাহুর সঙ্গে F বিন্দুতে মিলিত হয় । G , AD ও BE –এর ছেদবিন্দু ।

BEC ত্রিভুজে , BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং এবং BE || DF

∴ F , CE –এর মধ্যবিন্দু ।

∴ EF =FC

আবার , BE মধ্যমা ।

∴ AE =EC = ½ AC

∴ CF = EF = ½ EC = ½ ( ½ AC) = ¼ AC =(1/4✕8)সেমি. = 2 সেমি.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(ii) ABC ত্রিভুজের BC , CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ,Q ,R ;যদি AC =21 সেমি. , BC =29 সেমি. এবং AB = 30সেমি. হয় , তাহলে ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা লিখি ।

সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের BC , CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ,Q ,R

∴ PR = ½ AC = (½✕21) সেমি. = 10.5 সেমি.

এবং , PQ =  ½ AB =( ½ ✕ 30)সেমি. = 15 সেমি.

আবার , AR = ½ AB = (½ ✕ 30) সেমি = 15 সেমি.

এবং AQ = ½ AC = ( ½ ✕ 21) সেমি. = 10.5 সেমি.

∴ ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা = (AR+PR+PQ +AQ) = (15+10.5+15+10.5) সেমি. = 51 সেমি.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(iii)ABC ত্রিভুজের AC বাহুর উপর D একটি বিন্দু । P,Q ,X ,Y যথাক্রমে AB ,BC ,AD এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু । PX = 5 সেমি. হলে , QY –এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

সমাধানঃ P,Q ও B,D যুক্ত করা হল ।

ABD ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ,

AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং X

∴ PX = ½ BD এবং PX || BD — (i)

আবার , BCD ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ,

BC ও CD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও Y

∴ QY = ½ BD এবং QY || BD —(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

PX = QY এবং PX || QY

∴ PXYQ একটি সামান্তরিক ।

∴ PX = QY = 5 সেমি.[যেহেতু , সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(iv) ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে । P এবং Q যথাক্রমে BG ও CG –এর মধ্যবিন্দু । PQ =3 সেমি. হলে BC এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করে । P এবং Q যথাক্রমে BG ও CG –এর মধ্যবিন্দু ।

BGC ত্রিভুজে BG ও CG বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q ।

∴ PQ = ½ BC

বা,BC = 2PQ = (2✕3) সেমি. = 6 সেমি.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

(v) ABC ত্রিভুজের BC ,CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ,E ও F ; EF ,AD কে O বিন্দুতে ছেদ করে । AD = 6সেমি. হলে ,AO এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের BC ,CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ,E ও F

∴ FD = ½ AC = AE

আবার, DE = ½ AB = AF

AFDE চতুর্ভুজের AF = DE এবং AE = FD

অর্থাৎ AFDE চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান, সুতরাং AFDE একটি সামান্তরিক ।

∴ AO = OD [যেহেতু , সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ]

∴ AO = ½ AD = (½✕6)সেমি. = 3 সেমি.

∴ AO –এরদৈর্ঘ্য 3 সেমি.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 9.ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি 9

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল। এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে ,আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন।

2 Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!