WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12.ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি সমাধান|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১২ সমাধান|Gonit prokash Class Nine Koshe Dekhi 12|Gonit Prokash Class IX Koshe Dekhi 12|West Bengal Board Class 9 Math Solution Of Chapter 12.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি সমাধান|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১২ সমাধান|Gonit prokash Class Nine Koshe Dekhi 12|Gonit Prokash Class IX Koshe Dekhi 12|West Bengal Board Class 9 Math Solution Of Chapter 12.

Koshe Dekhi-12|কষে দেখি-১২

WBBSE Class 9 Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি সমাধান|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ১২ সমাধান|Gonit prokash Class Nine Koshe Dekhi 12|Gonit Prokash Class IX Koshe Dekhi 12|West Bengal Board Class 9 Math Solution Of Chapter 12.

সমাধানঃ ধরি , ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q । P,C ; A,Q এবং P,Q যুক্ত করা হল ।

প্রমান করতে হবে যে , APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ ✕ ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।

প্রমাণঃ সামান্তরিক ABCD ও APQ একই ভূমি AP এবং একই সমান্তরাল যুগল AP ও DQ এর মধ্যে অবস্থত ।

∴ ∆APQ = ½ সামান্তরিক APQD

আবার , সামান্তরিক BPQC এবং ত্রিভুজ ∆CPQ একই ভূমি QC এবং একই সমান্তরাল যুগল QC ও PB এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆CPQ = ½ সামান্তরিক BPQC

∴ ∆APQ + ∆CPQ = ½ সামান্তরিক APQD +½ সামান্তরিক BPQC

বা, চতুর্ভুজ APCQ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ [সামান্তরিক APQD + সামান্তরিক BPQC ]

বা,  চতুর্ভুজ APCQ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ ✕ সামান্তরিক ABCD [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

2. ABCD রম্বসের AB ও DC বাহুর মধ্যে দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS ; প্রমাণ করো যে , PQ =RS

ধরি , ABCD রম্বসের AB ও DC বাহুর মধ্যে দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS , প্রমাণ করতে হবে যে , PQ = RS ।

অঙ্কনঃ A,Q ও B ,Q যুক্ত করা হল । এবং B,R ও C,R যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ যেহেতু রম্বস একটি সামান্তরিক

∴ সামান্তরিক ABCD এবং ∆ABQ এর একই ভূমি AB এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও CD-এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆ABQ= ½ সামান্তরিক ABCD 

আবার , সামান্তরিক ABCD এবং ∆BCR একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও AD এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆BCR = ½ সামান্তরিক ABCD

∴ ∆ABQ = ∆BCR

বা, ½ ✕ AB ✕ PQ = ½ ✕ BC ✕ RS [যেহেতু , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½✕ভূমি✕উচ্চতা ]

∴ PQ = RS [যেহেতু , ABCD একটি রম্বস , ∴ AB =BC ] [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

3. ABCD সামান্তরিকের AB ও DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q ; প্রমাণ করতে হবে যে , (i) PBQD একটি সামান্তরিক (ii) ∆PBC = ½ সামান্তরিক PBQD

অঙ্কনঃ P ,D ও B ,Q এবং P,C যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ABCD একটি সামান্তরিক

∴ AB = DC

∴ PB = DQ [ যেহেতু , P,Q যথাক্রমে AB ও CD এর মধ্যবিন্দু ]

আবার ,যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক

∴ AB || DC

∴ PB || DQ

এখন , চতুর্ভুজ PBQD এর PB || DQ এবং PB =DQ

∴ PBQD একটি সামান্তরিক [ (i) নং প্রমাণিত ]

এখন , ∆PBC ও সামান্তরিক PBCQ একই ভূমি PB ও একই সমান্তরাল যুগল PB ও CD এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆PBC = ½ সামান্তরিক PBQD [(ii) নং প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

4. ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB =AC এবং বর্ধিত BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । P বিন্দু থেকে AB এবং AC বাহুর ওপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব । B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BS ; প্রমাণ করি  যে , PQ –PR =BS

ধরি , ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB =AC এবং বর্ধিত BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । P থেকে বর্ধিত AB এবং AC বাহুর উপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব । B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BS

প্রমাণ করতে হবে যে , PQ –PR = BS

অঙ্কনঃ A,P যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ABC এর ক্ষেত্রফল  =  ½ ✕ AC ✕ BS [যেহেতু , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ ✕ ভূমি ✕ উচ্চতা ]

এবং ACP = ½ ✕ AC ✕ PR [যেহেতু , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ ✕ ভূমি ✕ উচ্চতা ]

আবার , ∆ABP = ∆ABC + ∆ACP

বা, ½ ✕ AB ✕ PQ = ½ ✕ AC ✕ BS + ½ ✕ AC ✕ PR

বা, ½ ✕ AC ✕ PQ = ½ ✕ AC✕(BS +PR) [যেহেতু , AB =AC ]

বা, PQ = BS+PR

বা, PQ – PR = BS [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

5. ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে এবং ABC কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে O যেকোনো একটি বিন্দু । O বিন্দু থেকে AB ,BC এবং CA বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP , OQ এবং OR; প্রমাণ করি যে , ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP +OQ – OR 

ধরি , ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে এবং ABC কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে O যেকোনো একটি বিন্দু । O বিন্দু থেকে AB ,BC এবং CAবাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP ,OQ এবং OR

প্রমাণ করতে হবে যে , ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP +OQ – OR

অঙ্কনঃ A বিন্দু থেকে BC –এর ওপর AS লম্ব অঙ্কন করা হল । O,A ;O,B এবং O,C যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ABC = ∆AOB +∆BOC-∆AOC

বা, ½ ✕ BC ✕ AS = ½ ✕ AB ✕ OP + ½ ✕ BC ✕ OQ – ½ ✕ AC ✕ OR

বা, BC ✕ AS= BC ✕ OP + BC ✕ OQ –  BC ✕ OR [ যেহেতু , AB =AC = BC ]

বা, AS = OP +OQ – OR

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP +OQ –OR [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

6. ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD ,AC এবং BC –কে বা তাদের বর্ধিতাংশকে যথাক্রমে E,F ও G বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , ∆AEG = AFD

ধরি , ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, AC  ও BC কে বা তাদের বর্ধিতাংশকে যথাক্রমে E,F ও G বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , ∆AEG = ∆AFD

অঙ্কনঃ F বিন্দু দিয়ে AD এর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও CD কে যথাক্রমে I এবং H বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ  AIFE ,BIFG ,CGFH এবং DEFH প্রত্যেকেই সামান্তরিক ।

ABCD সামান্তরিকের কর্ণ  AC

∴ ∆ABC = ∆ACD

অনুরূপভাবে , AIF = AEF

এবং FGC = FHC

∴ ∆ABC – ∆AIF – ∆FGC = ∆ACD –∆AEF –∆FHC

∴ সামান্তরিক BIFG = সামান্তরিক DEFH

∴ সামান্তরিক BIFG + সামান্তরিক AIFE = সামান্তরিক AIFE + সামান্তরিক AIFE

∴ সামান্তরিক ABGE = সামান্তরিক AIHD

যেহেতু ∆AFD এবং সামান্তরিক AIHD এর একই ভূমি AD এবং একই সমান্তরাল যুগল AD ও IH এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆AFD = ½ ✕ সামান্তরিক AIHD

আবার সামান্তুরিক ABGE এর মধ্যমা AG

∴ ∆AEG = ½ ✕ সামান্তরিক ABGE

যেহেতু , সামান্তরিক ABGE = সামান্তরিক AIHD

∴ ∆AEG = ∆AFD [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

7. ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু । বর্ধিত AE , বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে । D ,F যুক্ত করা হল ।প্রমাণ করি যে  , (i) ∆ADF = ABE  (ii) DEF = BEC

ধরি , ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যেকোনো বিন্দু । বর্ধিত AE , বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ  করে । D,F যুক্ত করা হল । প্রমান করতে হবে যে , (i) ∆ADF = ∆ABE  (ii) ∆DEF = ∆BEC

অঙ্কনঃ E বিন্দু দিয়ে AD এর সমান্তরাল সরলরেখা AB কে G বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণঃ ∆ADF ও সামান্তরিক ABCD এর একই ভূমি AD  এবং একই সমান্তরালযুগল AD ও BF এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆ADF = ½ ✕ সামান্তরিক ABCD

আবার , ∆ABE ও সামান্তরিক ABCD এর একই ভূমি AB এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও CD এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆ABE = ½ ✕ সামান্তরিক ABCD

∴ ∆ADF = ∆ABE [(i)নং প্রমাণিত ]

যেহেতু , ∆ADF = ∆ABE

∴ ∆DEF +∆ADE = ∆AGE +∆BEG

∴ ∆DEF +∆AGE = ∆AGE +∆BEC

[যেহেতু , AGED এর AC কর্ণ এবং BCEG এর BE কর্ণ ]

∴ ∆DEF = ∆BEC [(ii) নং প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

8. সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABC এবং ABD দুটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র AB বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত । প্রমাণ করি যে , AB , CD কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

ধরি , সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABC এবং ABD দুটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র AB বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত । প্রমাণ করতে হবে যে , AB , CD –কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

অঙ্কনঃ AB এর উপর C ও D বিন্দু থেকে যথাক্রমে CP এবং DQ লম্ব অঙ্কন করা হল ।

প্রমাণঃ যেহেতু , ABC = ABD

∴ ½ ✕ AB ✕ CP = ½ ✕ AB ✕ DQ

∴ CP =DQ

এখন ∆CPO এবং ∆DQO এর মধ্যে ,

∠CPO = ∠DQO [উভয়ই সমকোণ ]

∠COP = বিপ্রতীপ ∠DOQ

এবং CP = DQ

∴ ∆CPO ≅ ∆DQO

∴ CO = OD

∴ O ,CD এর মধ্যবিন্দু

∴ AB ,CD কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।[প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

9. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু এবং A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত । প্রমাণ করি যে , ∆ABC = সামান্তরিক CDEF

ধরি , ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু এবং A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত ।

প্রমাণ করতে হবে যে , ∆ABC = সামান্তরিক CDEF

অঙ্কনঃ A ,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ADC এবং সামান্তরিক CDEF এর একই ভূমি CD এবং একই সমান্তরাল যুগল DC ও EF এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆ADC = ½ সামান্তরিক CDEF

আবার BC বাহুর মধ্যবিন্দু D

∴ AD , ∆ABC এর মধ্যমা

∴ ∆ADC = ½ ∆ABC

∴ ½ ∆ABC = ½ সামান্তরিক CDEF [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

10. ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করি যে , ∆APD = CPD ।

ধরি , ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , ∆APD = ∆CPD

অঙ্কনঃ A ও C বিন্দু দিয়ে BD এর উপর যথাক্রমে AE ও CF লম্ব অঙ্কন করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ADE এবং ∆BCF –এর মধ্যে

AD =BC [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ]

∠ADE = একান্তর ∠CBF [ যেহেতু , AD || BC এবং DB ভেদক ]

এবং ∠AED = ∠BFC [উভয়ই সমকোণ ]

∴ ∆ADE ≅ ∆BCF

∴ AE = CF [অনুরূপ বাহু ]

এখন ∆APD ও ∆CPD এর একই ভূমি DP এবং একই উচ্চতা বিশিষ্ট [যেহেতু , AE =CF ]

∴ ∆APD = ∆CPD [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

11. ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা । প্রমাণ করি যে , ∆ACD =∆BCE

ধরি , ABC ত্রিভুজের AD এবং BE মধ্যমা । প্রমাণ করতে হবে যে , ∆ACD = ∆BCE

অঙ্কনঃ D ,E যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ AD এবং BE উভয়ই ∆ABC –এর মধ্যমা

∴ D ও E যথাক্রমে BC এবং AC –এর মধ্যবিন্দু

∴ ED || AB

এখন ∆ADE এবং ∆BDE ত্রিভুজদ্বয় একই ভূমি DE এবং একই সমান্তরাল যুগল ED ও AB এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆ADE = ∆BDE

উভয়পক্ষে ∆DEC যোগ করে পাই ,

∆ADE + ∆DEC = ∆BDE + ∆DEC

সুতরাং , ∆ACD =∆BCE [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

12. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে । CP এবং BQ পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে , (i) ∆BPQ =CPQ (ii) BCP = BCQ (iii) ACP = ABQ (iv) BXP = CXQ

ধরি ,ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহকে যথাক্রমে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে । CP এবং BQ পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ করতে হবে যে , (i) ∆BPQ =∆CPQ (ii) ∆BCP =∆BCQ (iii) ∆ACP =∆ABQ (iv) ∆BXP = ∆CXQ

প্রমাণঃ ∆BPQ ও ∆CPQ এর একই ভূমি PQ এবং একই সমান্তরাল যুগল PQ ও BC –এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆BPQ =∆CPQ [(i)নং প্রমাণিত ]

∆BCP ও ∆BCQ এর একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল PQ ও BC এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆BCP = ∆BCQ [(ii) নং প্রমাণিত ]

যেহেতু , ∆CPQ = ∆BPQ

∴ ∆CPQ +∆APQ = ∆BPQ +∆APQ

∴ ∆ACP = ∆ABQ [(iii) নং প্রমাণিত ]

যেহেতু , ∆BPQ = ∆CPQ

∴ ∆BPQ – ∆PQX = ∆CPQ – ∆PQX

∴ ∆BXP = ∆CXQ [(iv)নং প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । P ,A যুক্ত করি । D বিন্দু দিয়ে PA সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করি যে ,(i) ∆ADQ = PDQ (ii) BPQ = ½ ABC

ধরি , ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু । P ,A যুক্ত করা হল ।D বিন্দু দিয়ে PA সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমান করতে হবে যে ,(i) ∆ADQ = ∆PDQ (ii) ∆BPQ = ½ ∆ABC

প্রমাণঃ ∆ADQ এবং ∆PDQ ত্রিভুজদ্বয় একই ভূমি QD এবং একই সমান্তরাল যুগল QD ও AP এর মধ্যে অবস্থিত

∴ ∆ADQ = ∆PDQ [(i) নং প্রমাণিত ]

∆BPQ = ∆BDQ +∆PDQ

বা, ∆BPQ = ∆BDQ +∆ADQ [ যেহেতু , ADQ = PDQ ]

বা, ∆BPQ = ∆ABD

বা, ∆BPQ = ½ ∆ABC [যেহেতু , AD মধ্যমা ]

∴ ∆BPQ = ½ ∆ABC [(ii)নং প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

14.ABC ত্রিভুজে AB =AC ;B ও C বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে AC ও AB বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করি যে , FE || BC

ধরি , ABC ত্রিভুজে AB =AC ;B বিন্দু থেকে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে AC ও AB বাহুকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে , FE || BC

প্রমাণঃ ∆ABC = ½ ✕ AB ✕ CF

আবার, ∆ABC = ½ ✕ AC ✕ BE

∴ ½ ✕ AB ✕ CF = ½ ✕ AC ✕ BE

বা, CF =BE [যেহেতু , AB =AC ]

এখন ∆BCE এবং ∆BFC এর মধ্যে

∠BEC = ∠BFC [উভয়ই সমকোণ ]

CF = BE

এবং BC সাধারণ বাহু

∴ ∆BEC ≅ ∆BFC

এখন BEC এবং BFC এর একই ভূমি BC এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান সুতরাং তারা BC ভূমির একই পার্স্বে এবং একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত ।

∴ FE || BC [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

15. ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ACB ,ABC ও ACB কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় AC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে ।  প্রমাণ করি যে , FE || BC

ধরি , ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ∠ACB ; ∠ABC ও ∠ACB কোণের সমদ্বিখন্দকদ্বয় AC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , FE || BC

অঙ্কনঃ E ,F যুক্ত করা হল

প্রমাণঃ যেহেতু, BE ও CF যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং ∠ABC = ∠ACB

∴ ∠EBC = ∠FCB

এখন ∆BEC এবং ∆BFC এর মধ্যে

∠EBC = ∠FCB

∠ECB = ∠BFC [যেহেতু,∠ABC = ∠ACB ]

এবং BC সাধারণ বাহু

∴ ∆BEC ≅ ∆BFC

এখন ∆BEC এবং ∆BFC ত্রিভুজদ্বয়ের একই ভূমি BC এবং এদের ক্ষেত্রফল সমান এবং তারা BC ভূমির একই পার্শ্বে অবস্থিত ।

∴ FE || BC [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

16. সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ABCD ও AEFG সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্র দুটির ∠A সাধারণ এবং E ,AB বাহুর উপর অবস্থিত । প্রমাণ করি যে , DE || FC

ধরি , সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABCD ও AEFG সামান্তরিক  আকারের ক্ষেত্রদুটির ∠A সাধারণ এবং E , AB বাহুর উপর অবস্থিত ।

প্রমাণ করতে হবে যে , DE || FC 

অঙ্কনঃ D,E এবং C,E যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ DEC এবং সামান্তরিক ABCD এর একই ভূমি DC এবং একই সমান্তরাল যুগল DC ও AB এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆DEC = ½ সামান্তরিক ABCD

আবার , ∆DEF এবং সামান্তরিক AEFG এর একই ভূমি EF এবং একই সমান্তরাল যুগল EF ও AG এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆DEF = ½ সামান্তরিক AEFG

আবার যেহেতু ABCD ও AEFG সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফল সমান  ।

∴ ∆DEC = ∆DEF

এখন , ∆DEC ও ∆DEF এর একই ভূমি DE এবং ক্ষেত্রফল সমান এবং তারা DE এর একি পার্স্বে অবস্থিত ।

∴ DE || FC [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

17. ABCD একটি সামান্তরিক এবং ABCE একটি চতুর্ভুজ । AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজ আকারের ক্ষেত্রটিকে  দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে । প্রমাণ করি , AC || DE

ধরি , ABCD একটি সামান্তরিক এবং ABCE একটি চতুর্ভুজ । AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজ আকারের ক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে । প্রমাণ করতে হবে যে , AC || DE

প্রমাণঃ সামান্তরিক ABCD এর কর্ণ AC

∴ ∆ABC = ∆ADC

আবার যেহেতু  AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজ আকারের ক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে ।

∴ ∆ABC = ∆ACE

∴ ∆ADC = ∆ACE

এখন ∆ADC ও ∆ACE এর একই ভূমি AC এবং তাদের  ক্ষেত্রফল সমান এবং তারা AC এর একই পার্শ্বে অবস্থিত ।

∴ AC || DE [প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

18. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; P এবং Q যথাক্রমে BC ও BA বাহুর উপর এমনভাবে অবস্থিত যে , ∆BPQ = ½ ABC ;প্রমাণ করি যে , DQ || PA

ধরি , ∆ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; P এবং Q জথাক্রমে BC ও BA বাহুর উপর এমন ভাবে অবস্থিত যে , ∆BPQ = ½ ∆ABC , প্রমাণ করতে হবে যে , DQ || PA

অঙ্কনঃ A,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆BPQ = ½ ∆ABC  =∆ABD [যেহেতু ,AD মধ্যমা ]

∴ ∆BDQ +∆DPQ = ∆BDQ +∆ADQ

অর্থাৎ , ∆DPQ = ∆ADQ

এখন ,∆DPQ ও ∆ADQ –এর একই ভূমি DQ এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান এবং তারা DQ –এর একই পার্স্বে অবস্থিত ।

∴ DQ || PA [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

19. ABCD সামান্তরিকের AB , BC, CD এবং DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E,F ,G ও H প্রমাণ করি যে , (i) EFGH একটি সামান্তরিক  (ii) EFGH একটি সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABCD সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্রের  ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ।

ধরি ,ABCD সামান্তরিকের AB ,BC,CD এবং DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E,F,G ও H

প্রমাণ করতে হবে যে , (i) EFGH একটি সামান্তরিক (ii) EFGH সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ।

অঙ্কনঃ D,Bও E,G যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ABD এর AB এবং AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E এবং H

∴ EH = ½ DB এবং EH || BD

অনুরূপভাবে ,∆BDC এর BC এবং CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও G

∴ FG = ½ BD এবং FG || BD

∴ EF = FG এবং EH || FG

∴ EFGH একটি সামান্তরিক [(i) নং প্রমাণিত ]

আবার ,ABCD সামান্তরিকের AB ও DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও G

∴ EG || BC || AD

এখন , ∆EHG ও সামান্তরিক BCGE এর একই ভূমি EG এবং তারা একই সমান্তরাল যুগল EG ও BC এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆EFG = ½ সামান্তরিক BCGE

একিভাবে , ∆EHG ও সামান্তরিক AEGD এর একই ভূমি EG এবং তারা একই সমান্তরালযুগল EG ও AD এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆EHG = ½ সামান্তরিক AEGD

∴ ∆EFG + ∆EHG  = ½ সামান্তরিক BCGE + ½ সামান্তরিক AEGD

∴ সামান্তরিক EFGH = ½ (সামান্তরিক BCGE + সামান্তরিক AEGD )

অর্থাৎ , সামান্তরিক EFGH = ½ সামান্তরিক ABCD [(ii) নং প্রমাণিত]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

20. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু E ; প্রমাণ করি যে , AED ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½✕ ABCD ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।

ধরি , ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB || DC এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু E

প্রমাণ করতে হবে যে , AED ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ ✕ ABCD ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।

অঙ্কনঃ A,C এবং B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ABC এর AE মধ্যমা

∴ ∆ABE = ∆AEC  =  ½ ∆ABC

আবার, ∆BDC এর DE মধ্যমা

∴ ∆CDE = ∆BDE = ½ ∆BDC

এখন , ∆BDC এবং ∆ADC এর একই ভূমি DC এবং একই সমান্তরালযুগল DC ও AB এর মধ্যে অবস্থিত ।

∴ ∆BDC = ∆ADC

∴ ∆CDE = ½ ∆BDC = ½ ∆ADC

এখন , ∆AED = ট্রাপিজিয়াম ABCD – (∆ABE +∆CDE )

 বা, ∆AED =  ট্রাপিজিয়াম ABCD – ( ½ ∆ABC + ½ ∆ADC)

বা, ∆AED = ট্রাপিজিয়াম ABCD – ½  (∆ABC + ∆ADC)

বা, ∆AED = ট্রাপিজিয়াম ABCD – ½ ট্রাপিজিয়াম ABCD

বা, ∆AED = ½ ট্রাপিজিয়াম ABCD [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 12|ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১২

21. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q):

(i) ∆ABC এর BC ,CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D,E এবং F ; যদি  ABC = 16 বর্গ সেমি. হয় তাহলে FBCE ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 40 বর্গ সেমি.

(b) 8 বর্গ সেমি.

(c ) 12 বর্গ সেমি.

(d) 100 বর্গ সেমি.

Ans: (c ) 12 বর্গ সেমি.

সমাধানঃ B,E যোগ করা হল ।

∆ABC এর BC মধ্যমা ।

∴ ∆ABE = ½ ∆ABC = 16/2 বর্গসেমি. = 8 বর্গসেমি.

আবার , ∆ABE এর EF মধ্যমা ।

∴ ∆AEF = ½ ∆ABE = 8/2 বর্গসেমি. = 4 বর্গসেমি.

∴ ট্রাপিজিয়াম FBCE = ∆ABC – ∆AFE = (16 -4) বর্গসেমি. = 12 বর্গসেমি.

(ii) A ,B,C ও D যথাক্রমে PQRS সামান্তরিকের PQ , QR , RS ,SP বাহুর মধ্যবিন্দু । PQRS সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 36 বর্গসেমি. হলে ,ABCD ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 24 বর্গসেমি.

(b)18 বর্গসেমি.

(c ) 30 বর্গসেমি.

(d) 36 বর্গসেমি.

Ans: (b)18 বর্গসেমি.

সমাধানঃ A ,C যোগ করা হল ।

∴ PS || AC || QR

∴ PACS এবং AQRC প্রত্যেকেই সামান্তরিক ।

∴ ∆ABC = ½ সামান্তরিক AQRC এবং ∆ADC = ½ সামান্তরিক APSC [যেহেতু ,একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ]

∴ ∆ABC + ∆ADC = ½ সামান্তরিক AQRC + ½ সামান্তরিক APSC

বা, সামান্তরিক  ABCD  = ½ (সামান্তরিক AQRC + সামান্তরিক APSC )

বা, সামান্তরিক ABCD = ½ ✕ সামান্তরিক PQRS

বা, সামান্তরিক ABCD = (½ ✕ 36) বর্গসেমি. = 18 বর্গসেমি.

(iii) ABCD সামান্তরিকের ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু ।∆AOB  + COD = 16 বর্গসেমি. হলে , ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a) 8 বর্গসেমি.

(b) 4 বর্গসেমি.

(c ) 32 বর্গসেমি.

(d) 64 বর্গসেমি.

Ans: (c ) 32 বর্গসেমি.

সমাধানঃ O বিন্দু দিয়ে AB ও CD বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানা হল যা AD ও BC বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

∴ AB || EF || DC

∴ CDEF এবং EABF প্রত্যেকেই সামান্তরিক

∴ ∆AOB = ½সামান্তরিক EABF এবং ∆COD = ½ সামান্তরিক CDEF

∴ AOB +COD = ½সামান্তরিক EABF + ½ সামান্তরিক CDEF

বা, 16 = ½ (সামান্তরিক EABF + সামান্তরিক CDEF )

বা, (সামান্তরিক EABF + সামান্তরিক CDEF ) = 32

বা, সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল = 32বর্গসেমি.

(iv) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D , BD বাহুর মধ্যবিন্দু E এবং AE –এর মধ্যবিন্দু O ; BOE ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(a)  1/3 ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(b) ¼ ✕ ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(c )  1/6 ✕ ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

(d) 1/8 ✕ ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

Ans: (d) 1/8 ✕ ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

সমাধানঃ ∆BOE = ½ ∆ABE [যেহেতু , ABE ত্রিভুজের OB মধ্যমা ]

বা, ∆BOE = ½ (  ½ ∆ABD ) [ যেহেতু , ABD ত্রিভুজের AE মধ্যমা ]

বা, ∆BOE = ¼ ∆ABD

বা, ∆BOE = ¼ ( ½ ∆ABC) [যেহেতু , ABC ত্রিভুজের মধ্যমা AD]

বা, ∆BOE =  1/8 ∆ABC

(v) একটি সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্র , একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে P ,Q ও T হলে

(a)  P = R =2T

(b) P =R = T/2

(c ) 2P = 2R = T

(d) P =R =T

Ans: (a)  P = R =2T

সমাধানঃ একই ভূমি এবং একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত, একটি সামান্তরিক আকারের  ক্ষেত্রফল = একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =  2 ✕ একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

বা, P =R = 2T

22. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ

(i) ABCD সামান্তরিকের D বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর লম্ব DE এবং B বিন্দু থেকে AD বাহুর উপর লম্ব BF ; AB =10 সেমি. ,AD = 8 সেমি. এবং DE = 6সেমি. হলে BF দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।

সমাধানঃ B,D যুক্ত করা হল ।

AD কে ভূমি ধরে ,ADB এর ক্ষেত্রফল = ½ ✕ AD ✕ BF

আবার, AB কে ভূমি ধরে , ADB এর ক্ষেত্রফল = ½ ✕ AB ✕ DE

∴ ½ ✕ AD ✕ BF = ½ ✕ AB ✕ DE

বা, ½ ✕ 8 ✕ BF = ½ ✕ 10 ✕ 6

বা, 4 ✕ BF = 30

বা, BF = 30/4

বা, BF = 7.5

∴ BF বাহুর দৈর্ঘ্য 7.5 সেমি. । [উত্তর]

(ii) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গএকক ; BC বাহুর মধ্যবিন্দু P ; ABP ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।

সমাধানঃ AC কর্ণ টানা হল ।

∴ ∆ABC = ½ সামান্তরিক ABCD –এর ক্ষেত্রফল

আবার , ∆ABP = ½ ∆ABC [যেহেতু ,AP ,∆ABC এর মধ্যমা ]

∴ ∆ABP = ½ ∆ABC = ½ ( ½ ABCD ) = ¼ ABCD

∴ ABP ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের  ক্ষেত্রফল ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের ¼ অংশ ।

∴ ABP ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের  ক্ষেত্রফল = (1/4 ✕ 100) বর্গসেমি. = 25 বর্গসেমি. [উত্তর]

(iii) ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা এবং AC বাহুর উপর P এমন একটি বিন্দু যাতে ADP –এর ক্ষেত্রফল : ABD এর ক্ষেত্রফল = 2:3 হয় । PDC এর ক্ষেত্রফল : ABC এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু , ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা ।

∴ ∆ABD = ∆ADC

এবং ∆ABC = 2∆ADC

∆ADP এর ক্ষেত্রফল : ∆ABD –এর ক্ষেত্রফল = 2:3

∴ ∆ADP –এর ক্ষেত্রফল = 2/3 ✕ ∆ABD এর ক্ষেত্রফল = 2/3 ✕ ∆ADC এর ক্ষেত্রফল

∴ ∆PDC –এর ক্ষেত্রফল  = ∆ADC এর ক্ষেত্রফল – ∆ADP এর ক্ষেত্রফল = ∆ADC এর ক্ষেত্রফল – 2/3 ✕ ∆ADC এর ক্ষেত্রফল = 1/3 ∆ADC –এর ক্ষেত্রফল

∴ ∆PDC এর ক্ষেত্রফল :∆ABC এর ক্ষেত্রফল

=  1/3∆ADC : 2∆ADC

= 1/3 : 2

= 1:6 [উত্তর]

(iv) ABDE একটি সামান্তরিক । F , AD বাহুর  মধ্যবিন্দু  । ABD ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি. হলে AEF ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।

সমাধানঃ ABDE সামান্তরিকের AD মধ্যমা ।

∴ ∆ADE = ∆ABD = 20 বর্গসেমি.

আবার , ∆ADE এর AF মধ্যমা ।

∴ ∆AEF = ½ ∆ADE = 10 বর্গসেমি. [উত্তর]

(V) PQRS একটি সামান্তরিক ।X ও Y যথাক্রমে PQ ও SR বাহুর মধ্যবিন্দু । কর্ণ SQ যুক্ত করা হল । সামান্তরিক XQRY আকার  ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : QSR ত্রিভুজকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু ,X এবং Y যথাক্রমে PQ এবং RS বাহুর মধ্যবিন্দু 

∴ XQRY আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ PQRS সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

আবার , PQRS সামান্তরিকের কর্ণ SQ

∴ QSR ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ PQRS সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

∴ XQRY আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = QSR ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

∴ XQRY আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : QSR ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1:1 [উত্তর ]

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!