বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১। Koshe Dekhi 7.1 Class 10|মাধ্যমিক গনিত প্রকাশ সমাধান কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ (টেন) |Ganit Prakash Somadhan Class 10 Chapter 7 Solution| WBBSE Math Class 10 Koshe Dekhi 7.1| Madhyamik Math Koshe Dekhi 7.1.

মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |Koshe Dekhi 7.1 Class 10|কষে দেখি 7.1 ক্লাস 10

1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত । ∠BOC= 100° হলে ABC ও ∠ ABO এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  

Madhyamik Math বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC.বৃত্তের কেন্দ্র O , BC বাহুর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত ।∠ABC ও ∠ ABO এর মাণ নির্ণয় করতে হবে ।

BOC = 100° ( প্রদত্ত)

এখন BAC বৃত্ত চাপের ওপর প্রবিদ্ধ কোণ∠BOC হল কেন্দ্রস্থ কোণ এবং কোণ ∠BAC হল পরিধিস্থ কোণ

∴∠ BOC=2∠BAC

সুতরাং , ∠BAC = ½ প্রবিদ্ধ কোণ ∠BOC

         = ½ (360°-100°)

         =1/2 ✕ 260°

         =130°  

এখন , ত্রিভুজ ∆BAC এর ক্ষেত্রে ,

AB=AC

∴ ∠ABC = ∠ACB

আবার কোণ ∠BAC = 130°

সুতরাং , ∠ABC = ∠ACB = (180°-∠BAC)/2 = (180°-130°)/2 = 25°

ত্রিভুজ ∆OBC এর ক্ষেত্রে OB=OC

সুতরাং , ∠OBC = ∠OCB

আবার , কোণ ∠BOC = 100°

∴  ∠OBC =∠ OCB = (180°-100°) / 2= 40°

সুতরাং ∠ABO = ∠ABC+∠OBC = 25°+40° =65°

∴ ∠ABC = 25° এবং ∠ABO = 65° (উত্তর)

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

2. পাশের চিত্রে ত্রিভুজ ABC এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠ AOC = 110° ; ∠ABC এর মাণ হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ABC বৃত্ত চাপের ওপর প্রবিদ্ধ কোণ AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ABC পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ABC = ½ প্রবিদ্ধ কোণ AOC

ABC = ½ (360°-110°)= ½ ✕250° = 125°

3.O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD হল একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DC বাহুকে P পর্যন্ত বর্ধিত করা হল । BCP = 108 হলে BOD এর মাণ হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD হল একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DC বাহুকে P পর্যন্ত বর্ধিত করা হল

BCP = 108°

BCD = 180°-108°=72°

এখন , BCD বৃত্ত চাপের ওপর কোণ BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং কোণ BCD পরিধিস্থ কোণ

BOD = 2BCD = 2✕72°=144°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD =40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠ BCO এবং ∠ BOD এর মাণ হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই ।

সমাধানঃ

∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°

বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA

∴ ∠DOA = 2 ∠DCA

Or, ∠DCA = ½ ∠DOA = ½✕40° = 20°

∴ ∠BCO = ∠DCA+∠ACB= 20°+35° = 55°

আবার ,AB বৃত্ত চাপের ওপর AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ACB পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ∠AOB = 2∠ACB = 2✕ 35° = 70°

∴ ∠BOD = ∠AOB+∠AOD = 70°+40°=110°

∴∠ BCO = 55° এবং ∠BOD = 110° ( উত্তর)

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

5. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ APB = 80° হলে ∠AOB ও ∠COD এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উভয় উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই ।

সমাধানঃ  

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80°

∠AOB ও ∠COD এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে

A,D যুক্ত করা হল ।

AB বৃত্ত চাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠AOB =2 ∠ADB—–(i)

আবার , CD বৃত্ত চাপের ওপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠CAD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠COD = 2∠CAD—–(ii)

এখন ∆APD ত্রিভুজে বহিঃস্থ কোণ ∠APB = ∠PAD+∠ADP [∵কোনো ত্রিভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ,অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

∴ ∠APB=∠PAD+∠ADP

বা, ∠APB=∠CAD+∠ADB [∵∠PAD =∠CAD এবং ∠ADP = ∠ADB ]

বা, ∠CAD+∠ADB = 80°  [∵∠APB = 80°] —-(iii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

∠AOB+∠COD

=2∠ADB+2∠CAD

=2(∠ADB+∠CAD)

=2✕ 80° [ (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই ]

 = 160°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

6.পাশের ছবির মত C ও D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করি যে ,

(i) ∠ PBQ = CAD

(ii) BPC = BQD

C ও D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত, যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করতে হবে যে ,

(i) PBQ = CAD

(ii) BPC = BQD

(i)

প্রমানঃ AP বৃত্ত চাপের ওপর ACP কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ABP পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ABP = ½ ACP —– (1)

আবার , AQ বৃত্ত চাপের ওপর ADQ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ABQ পরিধিস্থ কোণ

ABQ = ½ ADQ —–(2)

এখন , ত্রিভুজ ∆ACP এর ক্ষেত্রে CA=CP [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

CAP= CPA

ACP = (180º-2CAP) —-(3)

ত্রিভুজ ∆ADQ এর ক্ষেত্রে AD=DQ [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

DAQ = DQA

ADQ = ( 180º -2DAQ) —–(4)

এখন , (1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

ABP+ABQ

= ½ ACP+½ ADQ

= ½ (ACP+ADQ)

= ½ {( 180º-2CAP)+(180º-2DAQ)} [(3) ও (4) নং সমীকরণ থেকে পাই ]

= ½ {360º -2(CAP+DAQ)}

=1/2 {360º -2(180-CAD)}[∵PAQ=1 সরলকোণ ]

=1/2 (360º -360º +2CAD)

= CAD

ABP+ABQ =CAD

বা, PBQ = CAD [ প্রমাণিত ]

(ii)

অঙ্কনঃ C,B ; B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ ACBD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে , BC =AC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

CBA = CAB —-(1)

আবার , BD = DA [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

DBA = DAB —-(2)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

CBA+DBA = CAB+DAB

বা, CBD=CAD —-(3)

আবার , PBQ = CAD [ পূর্বে প্রমাণিত ]

CBD = PBQ

বা, CBQ+DBQ = CBP+CBQ

বা, DBQ = CBP—-( 4)

আবার , DBQ = DQB [∵ DB =DQ , একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]—(5)

এবং , CBP = CPB [∵CB = CP , একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]—(6)

DQB = CPB [ 4,5 এবং 6 থেকে পাই ]

বা, BPC = BQD [ প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O ; প্রমান করি যে , ∠OBC+BAC = 90°

প্রমানঃ

∆ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O ।

এখন , BC বৃত্ত চাপের ওপর BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং BAC পরিধিস্থ কোণ

BAC = ½ BOC —-(1)

আবার , ত্রিভুজ ∆BOC এর ক্ষেত্রে ,

OB = OC [একই বৃত্তের ব্যসার্ধ ]

OBC =OCB

OBC = ( 180° –BOC)/2- —(2)

এখন , OBC+BAC

 = (180°-BOC)/2 + ½ BOC

= 90°- ½ BOC + ½ BOC

=90°

OBC+BAC =90°[ প্রমাণিত ]

8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে , প্রমান করি যে ত্রিভুজ ∆BCD সমবাহু ত্রিভুজ ।

মনে করি, বৃত্ত দুটির কেন্দ্র যথাক্রমে P এবং Q

অঙ্কনঃ PA ,PB ,BQ,QA এবং PQ অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ ∆APQ এর AP=PQ=AQ [ যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধ সমান ]

∴ ∆APQসমবাহু ত্রিভুজ

∴ ∠APQ=∠AQP=60

অনুরূপে , ∆BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ ∠BPQ = ∠BQP = 60

এখন , ∠APB=∠APQ+∠BPQ

∴ ∠APB = 60°+60°

∴ ∠APB = 120°

অনুরূপে , ∠AQB = 120°

এখানে, AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ

সুতরাং , ∠ACB = ½✕ ∠APB = ½✕ 120° = 60°

এবং , APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠ADB = ½ ∠AQB = ½ ✕120° = 60°

∴ ∆BCD ত্রিভুজে ∠BDC = ∠BCD = ∠CBD = 60°

∴ ∆BCD সমবাহু ত্রিভুজ (প্রমাণিত)

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | Koshe Dekhi 7.1|কষে দেখি ৭.১

9. ABC ত্রিভুজের  পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD⊥BC হলে , প্রমান করি যে BAD = ∠SAC

∆ABC ত্রিভুজের  পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC । প্রমান করতে হবে ∠BAD = ∠SAC

অঙ্কনঃ S,C যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ ত্রিভুজ ∆ASC এর ক্ষেত্রে ,

AS =SC

∴ ∠SAC = ∠SCA

∴ ∠SAC= (180– ∠ASC)/2 = 90 – ½ ☓ ∠ ASC —-(i)

আবার , ∠ABC = ½ ✕∠ASC [ যেহেতু একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]—-(ii)

∴ ∠SAC = 90-∠ABC [(i) ও (ii) থেকে পাই ]

আবার , ∠ABD+∠BAD = 90 [যেহেতু ∠ADB = 90 কারণ AD⊥BC ]

∴∠BAD = 90 – ∠ABD

⇒∠BAD = 90 – ∠ABC

  ∴ ∠SAC = ∠BAD

∴ ∠BAD = ∠SAC [ প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ |কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান দ্বাদশ শ্রেণী

10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমান করি যে AOD +∠BOC = 2∠BPC

যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয় তাহলে প্রমান করি যে , জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব ।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে

প্রমান করতে হবে যে,  ∠AOD +∠BOC = 2∠BPC

অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ AD বৃত্তচাপের ওপর ∠AOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ABD পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠AOD = 2∠ABD ———-(i)

আবার , BC বৃত্তচাপের ওপর ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BDC পরিধিস্থ কোণ

∴ ∠BOC = 2∠BDC ——(ii)

আবার ত্রিভুজ ∆PDB এর ক্ষেত্রে ,

∠PBD+∠PDB

= ∠ABD+ ∠BDC

= ∠BPC [ যেহেতু ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ , অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]—(iii)

এখন (i) ও (ii)  যোগ করে পাই ,

∠AOD+∠BOC = 2(∠ABD+∠BDC) = 2∠BPC [ (iii) থেকে পাই ]

∴ ∠AOD+∠BOC = 2∠BPC [ প্রমাণিত ]

আবার , ∠AOD এবং ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হলে ,

∠AOD+∠BOC=180°

বা, 2∠BPC = 180° [∵ ∠AOD+∠BOC = 2∠BPC, পূর্বে প্রমাণিত ]

বা, ∠BPC = 90°

সুতরাং AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব ।

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ৯

11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে , প্রমান করি যে , ∠AOC –∠BOD = 2∠BPC

O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, AOC –BOD = 2BPC

অঙ্কনঃ A,D যুক্ত করা হল ।

প্রমানঃ AC বৃত্তচাপের ওপর AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ADC পরিধিস্থ কোণ

AOC = 2ADC —-(i)

আবার , BD বৃত্তচাপের ওপর BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং BAD পরিধিস্থ কোণ

BOD = 2 BAD —-(ii)

আবার ত্রিভুজ ∆APD এর ক্ষেত্রে ,

ADC = APD +PAD [∵ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ , অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

ADC-PAD = APD —–(iii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই ,

AOC – BOD

= 2(ADC-BAD)

=2 (ADC-∠PAD) [∵BAD = PAD]

= 2APD

= 2∠BPC [∵ ∠APD = ∠BPC]

∴ ∠AOC-∠BOD =2∠BPC [প্রমাণিত]

WBBSE Official Site

12.ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল যেটি B , C ও D বিন্দু দিয়ে যায় । প্রমান করি যে CBD+CDB = ½  BAD

ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল যেটি B , C ও D বিন্দু দিয়ে যায় । প্রমাণ করতে হবে CBD+CDB =½BAD

অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির ওপর E একটি বিন্দু , BE এবং DE অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ ত্রিভুজ ∆BCD এর ক্ষেত্রে ,

CBD+CDB

= 180° –BCD [ যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]

= BED [ যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক ∴ BCD+BED=180° ]

= ½ BAD [ BED বৃত্তচাপের ওপর BAD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং BED পরিধিস্থ কোণ । এবং একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]

CBD+CDB = ½BAD [প্রমাণিত]

13.ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ,BC বাহুর উপর লম্ব । প্রমাণ করি যে BOD = BAC

ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ,BC বাহুর উপর লম্ব ।

 প্রমাণ করতে হবে ,  BOD = BAC

অঙ্কনঃ OC অঙ্কন করা হল ।

প্রমাণ: ∆BOD ও ∆COD এর ক্ষেত্রে,

ODB = ODC =90 [ যেহেতু OD⊥ BC ]

OB = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OD সাধারণ বাহু

∴ ∆BOD ≅ ∆COD

BOD = COD

BOD =½✕BOC = ½ ✕2✕BAC = BAC

BOD = BAC [ প্রমাণিত ]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

14. অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (M.C.Q):

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে , x এর মাণ কত ?

(a) 140°

(b) 40°

(c) 80°

(d) 20°

Ans: (d) 20°

সমাধানঃ POR = 140°

ROQ = 180°-140° =40°

এখন , RQ বৃত্তচাপের উপর ROQ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং RSQ পরিধিস্থ কোণ

RSQ=½ ✕ROQ=½ ✕40°=20°

সুতরাং , x = 20°

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের  কেন্দ্র হলে , x এর মাণ

(a) 70°

(b) 60°

(c ) 40°

(d) 20°

Ans: (a) 70°

সমাধানঃ

POQ =140° এবং POR = 80°

QOR = 360°-(140°+80°) = 360°-220° = 140°

এখন , QR বৃত্তচাপের উপর QOR কেন্দ্রস্থ কোণ এবং QPR পরিধিস্থ কোণ

 QPR = ½ ✕QOR = ½ ✕140° =  70°

∴ x = 70°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে ,x এর মাণ

(a) 60°

(b) 50°

(c) 100°

(d) 80°

Ans: (b) 50°

সমাধানঃ OA =OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OAB = OBA =50°

AOC = OAB+OBA =50°+50° =100° [∵ কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের মাণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান ]

আবার AC বৃত্তচাপের উপর AOC কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ADC পরিধিস্থ কোণ

AOC = 2ADC

বা, ADC = ½ ✕AOC

বা, ADC = ½ ✕100°

বা, ADC = 50°

(iv) BC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র । OAB =50° হলে ACB এর মাণ

(a) 50°

(b)100°

(c)40°

(d)80°

Ans: (c ) 40°

সমাধানঃ ∠OAB = 50°

OBA=50° [ OA=OB , একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

AOB = 180°-(OAB+OBA) =180°-(50°+50°) =80°

আবার , AB বৃত্তচাপের ওপর AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ACB পরিধিস্থ কোণ

ACB=½ ✕AOB [∵একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]

বা,ACB=½✕ 80°

বা, ACB=40°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে , PQR এর মাণ

(a) 20°

(b) 40°

(c ) 60°

(d) 80°

Ans: (c ) 60°

ত্রিভুজ ∆OPQ তে , OP =OQ

OPQ =OQP =10°

POQ = 180°-(10°+10°) = 160°

আবার ,∆ORQ ত্রিভুজে OQ =OR [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

ORQ =OQR =40°

ROQ = 180°-(40°+40°) = 100°

এখন , POR = POQ – ROQ = 160°-100° = 60°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে , AOB = 2ACD

উত্তরঃ মিথ্যা

কারণ AB এবং AD দুটি ভিন্ন বৃত্তচাপ ।

(ii) ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA=OB এবং AOB = 2ACB । O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্য এর ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।

উত্তরঃ সত্য ।

কারণ AOB = 2 ACB সুতরাং একই বৃত্তচাপ AB এর ওপর অবস্থিত AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ACB পরিধিস্থ কোণ । সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।

(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের ___________

উত্তরঃ অর্ধেক

(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান । APB ও DQC বৃত্তস্থ কোণ হলে কোণ দুটির মান __________ ।

উত্তরঃ সমান

(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O হলে , যে কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান _______________ ।

উত্তরঃ 120°

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র । OAB = 40° , ABC=120° , BCO = y এবং COA = x হলে x ও y এর মাণ নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ AC বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ ,প্রবিদ্ধ AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ABC ।

ABC = ½ প্রবিদ্ধ AOC [∵একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]

∴ 120° = ½(360°-x)

⇒240°=360°-x

⇒x=360°-240°

⇒x=120°

∴ y=360°-(40°+120°+120°) = 360°-280°=80° [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]

∴x=120°, y=80° [উত্তর]

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D , BC এর মধ্যবিন্দু । BAC = 40° হলে , BOD এর মাণ নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

অঙ্কনঃ OC অঙ্কন করা হল ।

প্রমানঃ BAC বৃত্তচাপের ওপর BAC পরিধিস্থ কোণ এবং BOC কেন্দ্রস্থ কোণ ।

BOC =2BAC=2 ✕40° =80°

∆BOD ও ∆ COD এর ক্ষেত্রে ,

BD=DC [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]

OB = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OD সাধারণ বাহু

∴ BOD ≅ COD [বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে ]

BOD = COD

আবার BOC = 80°

BOD = COD =40°

BOD=40° [উত্তর]

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A ,B ,C তিনটি বিন্দু এমন ভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক । AOC এর মাণ নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

AOCB একটি সমান্তরিক ।

AOC = ABC [∵ সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান ]—(i)

আবার , ABC = ½ প্রবিদ্ধ AOC [∵একই বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন ]—(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই ,

AOC=½ প্রবিদ্ধ AOC—(iii)

আবার, AOC+প্রবিদ্ধ AOC=360°

বা, ½ প্রবিদ্ধ AOC+প্রবিদ্ধ AOC=360° [(iii) থেকে পাই ]

বা, 3/2 ✕ (প্রবৃদ্ধ AOC) = 360°

বা, 360°AOC = 360° ✕ 2/3

বা, AOC =360°– 240°

বা, AOC =120°

(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ABC = 120° ; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে , AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

O,A;O,B;O,C যুক্ত করা হল ।

∆OAB এবং ∆OCB এর মধ্যে,

OA=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]

OB সাধারণ বাহু

AB=BC [ ∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ]

∴∆OAB ≅ ∆OCB [বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে]

OBA=OBC=60° [∵ABC =120° ]

আবার, OAB=OBA=60° [∵OA=OB একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

AOB=60° [∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180° ]

∴ ত্রিভুজ AOB -এর OAB=OBA=AOB=60°

∴ AOB সমবাহু ত্রিভুজ ।

∴ OA=OB=AB =5 সেমি.

∴ AB=5 সেমি.[উত্তর]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য|কষে দেখি ৭.১|Koshe Dekhi 7.1 Class 10

(V) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C ও D বিন্দুতে ছেদ করে । A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত । CQD =70° হলে CPD এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

B,C ; B,D যুক্ত করা হল ।

CD বৃত্তচাপের ওপর CBD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং CQD পরিধিস্থ কোণ

CBD =2✕∠CQD =2✕70°=140°

আবার, CBD+CPD=180° [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ]

CPD= 180°CBD

CPD=180°-140°

CPD=40° [উত্তর]

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

2 Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!