WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২।গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২।Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
1. নিম্নলিখিত বিন্দুগুলি ছক কাগজে স্থাপন করি ও কোথায় (অক্ষের উপর বা কোন পাদে ) অবস্থিত তা লিখি ।
(i) (3,0) ,(ii) (0,8) (iii) (-5,0) ,(iv) (0,-6) (v) (6,4) (vi) (-7,4) (vii) (9,-9) (viii) (-4,-5)
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে প্রদত্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল।
উত্তরঃ (i) (3,0) বিন্দুটি x অক্ষের উপর অবস্থিত ।
(ii) (0,8) বিন্দুটি y অক্ষের উপর অবস্থিত
(iii) (-5,0) বিন্দুটি x অক্ষের উপর অবস্থিত ।
(iv) (0,-6) বিন্দুটি y অক্ষের উপর অবস্থিত ।
(v) (6,4) বিন্দুটি প্রথম পাদে অবস্থিত ।
(vi) (-7,4) বিন্দুটি দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত ।
(vii) (9,-9) বিন্দুটি চতুর্থ পাদে অবস্থিত ।
(viii) (-4,-5) বিন্দুটি তৃতীয় পাদে অবস্থিত ।
2. ছক কাগজে XOX ও YOY’ পরস্পর লম্ব অক্ষ টেনে যেকোনো 5 টি বিন্দু স্থাপন করি যারা তৃতীয় পাদে অবস্থিত ।
5 টি বিন্দু হল (-15,-5) ,(-5,-5) ,(-10,-10) ,(-10,-15) এবং (-15,-15) ।
3.নীচের বক্তব্যগুলি রৈখিক সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি :
(i) 3 টি খাতা ও 2 টি পেনের দাম 55 টাকা এবং 4 টি খাতা ও 3 টি পেনের মোট দাম 75 টাকা ।
সমাধানঃ ধরি , একটি খাতার দাম x টাকা এবং একটি পেনের দাম y টাকা ।
∴ 3 টি খাতা ও 2 টি পেনের মোট দাম = (3x+2y) টাকা এবং 4 টি খাতা ও 3 টি পেনের মোট দাম (4x+3y) টাকা
শর্তানুসারে ,
3x+2y = 55 —-(i)
এবং 4x+3y = 75 —(ii)
(i) ও(ii) নং সমীকরণ দুটি হল প্রদত্ত সমস্যার নির্ণেয় রৈখিক সমীকরণ ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(ii) দুটি সংখ্যার যোগফল 80 এবং ওই দুটি সংখ্যার বিয়োগফলের 3 গুণ বড় সংখ্যাটির থেকে 20 বেশি ।
সমাধানঃ ধরি , সংখ্যা দুটি হল x এবংy এবং x >y ।
∴ x+y = 80 —-(i)
এবং 3(x-y) = x+20 —(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটি হল প্রদত্ত সমস্যার নির্ণেয় রৈখিক সমীকরণ ।
(iii) কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সঙ্গে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান হয়7/9 এবং ভগ্নাংশের লব ও হর প্রত্যেকটি থেকে 3 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান হয় 1/2 ।
শর্তানুসারে ,
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হল প্রদত্ত সমস্যাটির নির্ণেয় রৈখিক সমীকরণ ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(iv) দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কটি এককের অঙ্কের দ্বিগুন । অঙ্কদ্বয়কে উলটে লিখলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা মূলসংখ্যা থেকে 27 কম ।
সমাধানঃ ধরি , দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক x এবং দশকের ঘরের অঙ্ক y ।
∴ সংখ্যাটি হবে – (10y+x)
অঙ্কদ্বয়কে উল্টে লিখলে সংখ্যাটি হবে – (10x+y)
শর্তানুসারে ,
Y = 2x —(i)
এবং (10y+x) -(10x+y) = 27
বা, 10y+x-10x-y =27
বা, 9y-9x=27
বা, 9(x-y) =27
বা, (x-y) =27/9
বা, (x-y) = 3 —-(ii)
∴ (i) ও (ii) নং সমীকরণ দুটি হল নির্ণেয় রৈখিক সমীকরণ ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
4. নীচের বক্তব্যগুলি দুইচল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করিঃ
(i) বর্তমানে সুজাতার পিতার বয়স সুজাতার বয়স অপেক্ষা 26 বছর বেশি । [ ধরি , সুজাতার পিতার বয়স x বছর এবং সুজাতার বয়স y বছর ]
সমাধানঃ যেহেতু সুজাতার বয়স y বছর এবং সুজাতার পিতার বয়স x বছর ।
∴ x = y + 26 —(i)
সুতরাং (i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 14 | 16 | 10 |
| y | -12 | -10 | -16 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (14,-12) , ( 16,-10) এবং (10,-16) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(ii) দুটি সংখ্যার সমষ্টি 15
সমাধানঃ ধরি , একটি সংখ্যা x এবং অপর সংখ্যাটি y ।
∴ x+y =15
বা, x = 15-y
সুতরাং (i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 0 | 8 | 7 |
| y | 15 | 7 | 8 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (0,15) , (8,7) এবং (7,8) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(iii) কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সঙ্গে 2যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 7/9 হয়।
বা, 9(x+2) = 7(y+2)
বা, 9x+18 =7y+14
বা, 9x = 7y +14-18
বা, 9x = 7y -4
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | -2 | 5 | -9 |
| y | -2 | 7 | -11 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (-2,2) , (5,7) এবং (-9,-11) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(iv) আমাদের আয়তকার বাগানের পরিসীমা 80 মিটার ।
সমাধানঃ ধরি , আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার ।
শর্তানুসারে ,
2(x+y) = 80
বা, x+y = 80/2
বা, x+y = 40
বা, x = 40-y —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 25 | 20 | 15 |
| y | 15 | 20 | 25 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (25,15) , (20,20) এবং (15,25) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম ।PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(v) দুটি সংখ্যার বড়োটির 5 গুণ ছোটোটির 8 গুনের সমান ।
সমাধানঃ ধরি , বড়ো সংখ্যাটি x এবং ছোটো সংখ্যা y ।
শর্তানুসারে , 5x = 8y
বা, x = 8y/5 —(i)
(i) নং সমীকরণটির জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 8 | 16 | 0 |
| y | 5 | 10 | 0 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (8,5) , (16,10) এবং (0,0) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম ।PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
5. নীচের সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ
(i) x =5
সমাধানঃ x =5
প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 5 | 5 | 5 |
| y | 5 | 7 | 10 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (5,5) , (5,7) এবং (5,10) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম ।PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(ii) y+2=0
সমাধানঃ y +2 = 0
বা, y = -2 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 3 | 5 | 7 |
| y | -2 | -2 | -2 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (3,-2) , (5,-2) এবং (7,-2) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম ।PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(iii) x =3-4y
সমাধানঃ x =3-4y
প্রদত্ত সমীকরণটির জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 3 | 15 | -5 |
| y | 0 | -3 | 2 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (3,0) , (15,-3) এবং (-5,2) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(iv) 3x-7y = 21
সমাধানঃ
3x-7y = 21
বা, 3x = 21+7y
বা, x = (21+7y)/3—(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 7 | 0 | 14 |
| y | 0 | -3 | 3 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (7,0) , (0,-3) এবং (14,3) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(v) 5x-3y = 8
সমাধানঃ
5x-3y = 8
বা, 5x = 8 +3y
বা, x = (8+3y)/5 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 4 | 9 | -1 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (4,4) , (7,9) এবং (1,-1) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(vi) 2x+3y = 11
সমাধানঃ
2x+3y = 11
বা, 2x = 11 -3y
বা, x = (11-3y)/2 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 4 | 1 | -2 |
| y | 1 | 3 | 5 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (4,1) , (1,3) এবং (-2,5) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | -3 | -6 | 3 |
| y | 4 | 8 | -4 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (-3,4) , (-6,8) এবং (3,-4) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(viii) 6x-7y = 12
সমাধানঃ
6x-7y = 12
বা, 6x = 7y+12
বা, x = (7y+12) / 6 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 2 | 9 | -5 |
| y | 0 | 7 | -7 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (9,7) , (2,0) এবং (-5,-7) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(ix) x+y-10 = 0
সমাধানঃ
x+y-10 = 0
বা, x = 10-y —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 5 | 6 | 3 |
| y | 5 | 4 | 7 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (5,5) , (6,4) এবং (3,7) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(x) y =5x-3
সমাধানঃ
y = 5x-3
বা, 5x = y+3
বা, x = (y+3)/5 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 2 | 3 | 0 |
| y | 7 | 12 | -3 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (2,7) , (3,12) এবং (0,-3) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র ।
(xi) y = 0
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরনের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 5 | 10 | 14 |
| y | 0 | 0 | 0 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (5,0) , (10,0) এবং (14,0) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে একটি সরলরেখা XOX´ পেলাম ।
∴ y =0 সমীকরণের লেখচিত্র হল XOX´ সরলরেখা বা X অক্ষ ।
6. নীচের বক্তব্যগুলি রৈখিক সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান করি ।
(i) বর্তমানে রজতের মামা রজতের চেয়ে 16 বছরের বড়ো । 8 বছর পরে তার মামার বয়স তার বয়সের 2 গুণ হবে । বর্তমানে রজতের বয়স ও রজতের মামার বয়স লেখচিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করো ।
সমাধানঃ ধরি , রজতের বয়স x বছর এবং রজতের মামার বয়স y বছর।
শর্তানুসারে ,
y = x+ 16
বা, x = y-16 – (i)
এবং , y+8 = 2(x+8)
বা, y+8 = 2x+16
বা, y = 2x+16-8
বা, y = 2x +8
বা, 2x = y-8
বা, x = (y-8)/2 — (ii)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| X | 0 | -6 | 8 |
| Y | 16 | 10 | 24 |
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 0 | -2 | 8 |
| y | 8 | 4 | 24 |
ছক কাগজে XOX ও YOY দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (0,16) , (-6,10) এবং (8,24) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (0,8) ,(-2,4) এবং (8,24) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8,24) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x =8 এবং y =24 ।
∴ রজতের বয়স 8 বছর এবং রজতের মামার বয়স 24 বছর ।
(ii) দুটি সংখ্যার সমষ্টি 15 এবং অন্তর 3; লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণগুলি সমাধান করে সংখ্যা দুটি লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , দুটি সংখ্যা x এবং y (x > y) ।
শর্তানুসারে ,
x + y = 15
বা, x = 15-y —(i)
এবং , x-y = 3
বা, x = 3+y —(ii)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 0 | 8 | 9 |
| y | 15 | 7 | 6 |
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 8 | 9 | 0 |
| y | 5 | 6 | -3 |
ছক কাগজে XOX ও YOY দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (0,15) , (8,7) এবং (9,6) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (8,5) ,(9,6) এবং (0,-3) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9,6) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x =9 এবং y =6 ।
∴ সংখ্যা দুটি হল 9 এবং 6 ।
(iii) একটি ভগ্নাংশের লব থেকে 3 বিয়োগ এবং হরের সঙ্গে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/3 হয় এবং লব থেকে 4 ও হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি ½ হয় ।বক্তব্যটির সমীকরণ গঠন করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে ভগ্নাংশটি লিখি ।
বা, 3(x-3) = y+2
বা, 3x-9 = y+2
বা, 3x = y+9+2
বা, x = (y+11) / 3 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 5 | 4 | 6 |
| y | 4 | 1 | 7 |
বা, 2(x-4) = y-2
বা, 2x -8 = y-2
বা, 2x = 8+y-2
বা, 2x = y+6
বা, x = (y+6) / 2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 4 | 5 | 0 |
| y | 2 | 4 | -6 |
ছক কাগজে XOX ও YOY দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (5,4) , (4,1) এবং (6,7) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (4,2) ,(5,4) এবং (0,-6) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5,4) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x =5 এবং y =4 ।
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ 5/4 ।
(iv) রোহিতের আয়তআকার বাগানের পরিসীমা 60 মিটার । বাগানের দৈর্ঘ্য 2 মিটার বেশি ও প্রস্থ 2 মিটার কম হলে , বাগানটির ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার কম হয় । লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার ।
শর্তানুসারে ,
2(x+y) = 60
বা, x +y = 60/2
বা, x+y =30
বা, x = 30-y —-(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| X | 15 | 20 | 12 |
| y | 15 | 10 | 18 |
এবং xy – (x+2)(y-2) = 24
বা, xy –xy-2y+2x+4 -24 =0
বা, 2x-2y-20 = 0
বা , 2(x-y) = 20
বা, (x-y) = 20/2
বা, x-y = 10
বা, x = 10+y —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 20 | 0 | 15 |
| y | 10 | -10 | 5 |
ছক কাগজে XOX ও YOY দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (15,15) , (20,10) এবং (12,18) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (20,10) ,(0,-10) এবং (15,5) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (20,10) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x =20 এবং y =10 ।
অর্থাৎ আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(v) একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে 16 ঘণ্টায় 96 কিমি. যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে 8 ঘণ্টায় 16 কিমি. যায় । লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে , স্থির জলে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , স্রোতের বেগ xকিমি /ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ y কিমি / ঘণ্টা ।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (x+y) কিমি /ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (x-y) কিমি /ঘণ্টা ।
বা, x+y = 96/16
বা, x+y = 6
বা, x = 6-y —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 0 | 4 | 8 |
| y | 6 | 2 | -2 |
বা, x-y = 16/8
বা, x-y = 2
বা, x= y+2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| X | 4 | 0 | 6 |
| y | 2 | -2 | 4 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (0,6) , (4,2) এবং (8,-2) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (4,2) ,(0,-2) এবং (6,4) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,2 ) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 4 এবং y =2 ।
অর্থাৎ স্রোতের বেগ 4 কিমি. / ঘণ্টা এবং নৌকার বেগ 2 কিমি. / ঘণ্টা ।
7. নীচের সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করি ও ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্নয় করি ।
(i) x = 0 এবং 2x+3y = 15
সমাধানঃ
x = 0 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 0 | 0 | 0 |
| y | 5 | 10 | 12 |
2x+3y=15
বা, x = (15-3y)/2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 0 | -3 | -6 |
| y | 5 | 7 | 9 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (0,5) , (0,10) এবং (0,12) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (0,5) ,(-3,7) এবং (-6,9) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5) ।
∴ লেখচিত্র দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(ii) y =5 এবং 2x+3y =11
সমাধানঃ
y = 5 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 10 | 5 | -10 |
| y | 5 | 5 | 5 |
2x+3y =11
বা, 2x = 11-3y
বা, x = (11-3y) /2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 1 | -2 | -8 |
| y | 3 | 5 | 9 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (10,5) , (5,5) এবং (-10,5) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (1,3) ,(-2,5) এবং (-8,9) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2,5) ।
∴ লেখচিত্র দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2,5)।
(iii) x+y = 12 এবং x-y = 2
সমাধানঃ
x+y = 12
বা, x = 12-y –(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 6 | 2 | 10 |
| y | 6 | 10 | 2 |
x-y =2
বা, x = y+2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 6 | 12 | 8 |
| y | 4 | 10 | 6 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (6,6) ,(2,10) এবং (10,2) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (6,4), (12,10) এবং (8,6) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,5) ।
∴ লেখচিত্র দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,5)।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(iv) 3x-5y = 16 এবং 2x-9y = 5
সমাধানঃ
3x-5y = 16
বা, 3x = 16+5y
বা, x = (16+5y) /3 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 7 | 2 | 12 |
| y | 1 | -2 | 4 |
2x-9y = 5
বা, 2x = 9y+5
বা, x = (9y+5) / 2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 7 | 16 | -2 |
| y | 1 | 3 | -1 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (1,1) ,(2,-2) এবং (12,4) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (7,1), (16,3) এবং (-2,-1) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,1) ।
∴ লেখচিত্র দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,1)।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
8. লেখচিত্রের সাহায্যে নীচের সমীকরণগুলি সমাধান করি ।
(i) 4x-y = 3 ; 2x+3y = 5
সমাধানঃ
4x-y = 3
বা, 4x = y + 3
বা, x = (y+3) /4 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 2 | 0 | 3 |
| y | 5 | -3 | 9 |
2x +3y = 5
বা, 2x = 5 -3y
বা, x = (5-3y) /2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | -2 | 4 | 7 |
| y | 3 | -1 | -3 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (2,5) ,(0,-3) এবং (3,9) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (-2,3), (4,-1) এবং (7,-3) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,1) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 1 এবং y =1 ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(ii) 3x –y =5 ; 4x+3y = 11
সমাধানঃ
3x –y = 5
বা, 3x = y+5
বা, x = (y+5) /3 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 2 | 3 | 1 |
| y | 1 | 4 | -2 |
4x +3y = 11
বা,4x = 11-3y
বা, x = (11-3y) /4 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | -1 | -4 | 5 |
| y | 5 | 9 | -3 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (2,1) ,(3,4) এবং (1,-2) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (-1,5), (-4,9) এবং (5,-3) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,1) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 এবং y =1 ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(iii) 3x-2y = 1 ; 2x-y = 3
সমাধানঃ
3x-2y = 1
বা, 3x = 1+ 2y
বা, x = (2y+1) /3 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 1 | 3 | 5 |
| y | 1 | 4 | 7 |
এবং 2x-y = 3
বা, 2x = y+3
বা, x = (y+3) /2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 6 | 4 | 5 |
| y | 9 | 5 | 7 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (1,1) ,(3,4) এবং (5,7) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (2,1), (4,5) এবং (5,7) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5,7) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 5 এবং y =7 ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(iv) 2x+3y = 12 ; 2x =3y
সমাধানঃ
2x + 3y = 12
বা, 2x = 12 -3y
বা, x = (12 -3y ) /2 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| X | 6 | 3 | 0 |
| y | 0 | 2 | 4 |
2x =3y
বা, x = 3y / 2—(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 3 | 9 | 15 |
| y | 2 | 6 | 10 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (6,0) ,(3,2) এবং (0,4) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (3,2), (9,6) এবং (15,10) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,2) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 3 এবং y =2 ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(v) 5x-2y = 1 ; 3x+5y = 13
সমাধানঃ
5x -2y =1
বা, 5x = 1+2y
বা, x = (1+2y) /5 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 1 | 3 | 5 |
| y | 2 | 7 | 12 |
3x+5y = 13
বা, 3x = 13- 5y
বা, x = (13-5y) /3 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 1 | -4 | 6 |
| y | 2 | 5 | -1 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (1,2) ,(3,7) এবং (5,12) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (1,2), (-4,5) এবং (6,-1) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,2) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 1 এবং y =2 ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
9. লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রদত্ত সমীকরণ দুটির সমাধান নির্ণয় করি ।
3x+2y = 12 , 12 = 9x -2y
সমাধানঃ
3x+2y = 12
বা, 3x = 12 -2y
বা, x = (12-2y )/3—(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হবে –
| x | 0 | -2 | 4 |
| y | 6 | 9 | 0 |
12 = 9x -2y
বা, 9x = 12 +2y
বা, x = (12+2y) / 9 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| x | 2 | 6 | -2 |
| y | 3 | 21 | -15 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (0,6) ,(-2,9) এবং (4,0) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (2,3), (6,21) এবং (-2,-15) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,3) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 এবং y =3
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
10. x /3 + y/4 = 2 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি ও সমীকরণের লেখচিত্রটি অক্ষদ্বয়ের সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করেছে তার ক্ষেত্রফল হিসেব করে লিখি ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণটি হল-
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| X | 6 | 0 | 3 |
| y | 0 | 8 | 4 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (6,0) , (0,8) এবং (3,4) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম । PQ সরলরেখা X অক্ষকে M বিন্দুতে এবং Y অক্ষকে N বিন্দুতে ছেদ করেছে ।সুতরাং , PQ লেখচিত্রটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজটি তৈরি করে তা হল OMN যার , OM = 8 একক এবং ON = 6 একক ।স্পষ্টতই OMN একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
OMN ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 ✕ ভূমি ✕ উচ্চতা = (1/2 ✕ 6 ✕ 8) বর্গ একক = 24 বর্গএকক ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
11. x =4 , y =3 এবং 3x+4y = 12 সমীকরণ তিনটির লেখচিত্র অঙ্কন করি এবং লেখচিত্র দ্বারা ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
X = 4 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 4 | 4 | 4 |
| y | 8 | 12 | 18 |
Y = 3 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল –
| X | -3 | 5 | 8 |
| y | 3 | 3 | 3 |
3x+4y =12
বা, 3x = 12 -4y
বা, x = (12-4y) /3 —(iii)
(iii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 0 | -4 | 8 |
| y | 3 | 6 | -3 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (4,8),(4,12) এবং (4,18) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা, (-3,3) ,(5,3) ও (8,3) বিন্দুগুলি স্থাপন করে CD সরলরেখা এবং (0,3) ,(-4,6) এবং (8,-3) বিন্দুগুলি স্থাপন করে EF সরলরেখা অঙ্কন করা হল । এখন , AB ,CD এবং EF সরলরেখা তিনটি দিয়ে PQR ত্রিভুজ গঠিত হয় । স্পষ্টতই PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার QP = OR= 4 একক এবং QR =OP = 3 একক ।
∴ PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 ✕ভূমি ✕ উচ্চতা = 1/2 ✕ QR✕PQ বর্গএকক = (1/2 ✕ 3✕4 )বর্গএকক =6 বর্গএকক
∴ লেখচিত্রগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6 বর্গএকক ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
12. y = (x+2) /3 সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করি । সেই লেখচিত্র থেকে x = -2 এর জন্য y এর মান এবং x –এর কোন মানের জন্য y এর মান 3 হবে তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
y = (x+2) /3
বা, 3y = x+2
বা, x = 3y-2 —(i)
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | -2 | 10 | 7 |
| y | 0 | 4 | 3 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (-2,0) , (10,4) এবং (7,3) বিন্দুগুলি স্থাপন করা হল এবং বিন্দুগুলি যোগ করে PQ সরলরেখা পেলাম ।PQসরলরেখা হল নির্ণেয় লেখচিত্র । এই লেখচিত্র থেকে স্পষ্টতই বলা যায় , x =-2 হলে , y =0 এবং x এর মান 7 হলে , y =3 হবে ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
13. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করিঃ
(3x-1) /2 = (2x+6) /3
সমাধানঃ
(i) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 1 | 3 | 5 |
| y | 1 | 4 | 7 |
বা, 3y= 2x+6
বা, 2x = 3y-6
বা, x = (3y-6) /2 —(ii)
(ii) নং সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ছকটি হল-
| x | 0 | 3 | -6 |
| y | 2 | 4 | -2 |
ছক কাগজে XOX´ ও YOY´ দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (1,1) ,(3,4) এবং (5,7) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB সরলরেখা এবং (0,2), (3,4) এবং (-6,2) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা পেলাম । AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) ।
∴ নির্ণেয় সমাধান x =3 এবং y=4 ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
14. বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) 2x+3 = 0 সমীকরণের লেখচিত্রটি
(a) x অক্ষের সমান্তরাল
(b) y –অক্ষের সমান্তরাল
(c ) কোনো অক্ষের সমান্তরাল নয়
(d) মূলবিন্দুগামী
উত্তরঃ (b) y –অক্ষের সমান্তরাল ।
সমাধানঃ 2x+3 = 0
বা, 2x = -3
বা, x = -3/2 , এটি y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ ।
(ii) ay+b = 0 (a ও b ধ্রুবক এবং a ≠ 0,b ≠ 0 ) সমীকরণের লেখচিত্রটি
(a) x অক্ষের সমান্তরাল
(b) y অক্ষের সমান্তরাল
(c ) কোনো অক্ষের সমান্তরাল নয়
(d) মূলবিন্দুগামী
উত্তরঃ (a) x অক্ষের সমান্তরাল ।
সমাধানঃ ay+b = 0
বা, ay = -b
বা, y = -b/a , এই সমীকরণটি x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ ।
(iii) 2x+3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্রটি
(a ) x অক্ষের সমান্তরাল
(b) y অক্ষের সমান্তরাল
(c ) মূলবিন্দুগামী
(d) (2,0 ) বিন্দুগামী
উত্তরঃ (c ) মূলবিন্দুগামী ।
(iv) cx+d =0 (c ও d ধ্রুবক , c ≠0) সমীকরণের লেখচিত্রটি y অক্ষের সমীকরণ হবে যখন
(a) d = -c
(b) d = c
(c ) d = 0
(d ) d = 1
উত্তরঃ (c ) d = 0
সমাধানঃ y অক্ষের সমীকরণ x = 0
∴ cx+d = 0 ⇒ c.0 +d =0 ⇒ d = 0
(v) ay+b = 0 (a ও b ধ্রুবক , a ≠ 0 ) সমীকরণের লেখচিত্রটি x – অক্ষের সমীকরণ হবে যখন
(a ) b =a
(b) b = -a
(c ) b =2
(d) b = 0
উত্তরঃ (d) b = 0
সমাধানঃ x অক্ষের সমীকরণ y = 0
∴ ay +b = 0 ⇒ a. 0 + b = 0 ⇒ b = 0
15.সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ
(i) 2x+3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি x –অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক লিখি ।
সমাধানঃ 2x+3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি x –অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার y – স্থানাঙ্ক বা কোটি সর্বদা শূন্য ।
অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণে y এর স্থানে 0 বসিয়ে পাই ,
2x = 12
বা, x = 6
সুতরাং নির্ণেয় বিন্দুটি হল (6 , 0) ।
(ii) 2x-3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি y অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক লিখি ।
সমাধানঃ 2x-3y = 12 সমীকরণের লেখচিত্রটি y অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার x- স্থানাঙ্ক বা ভুজ শূন্য হবে ।
∴ প্রদত্ত সমীকরণে x = 0 বসিয়ে পাই ,
-3y = 12
বা, y = -12/3
বা, y = -4
সুতরাং বিন্দুটির স্থানাঙ্ক ( 0 , -4 ) ।
(iii) 3x+4y =12 সমীকরণের লেখচিত্রটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত তা লিখি ।
সমাধানঃ 3x+4y =12 সমীকরণে x = 0 বসিয়ে পাই ,
4y = 12
বা, y = 12/4
বা, y = 3
সুতরাং সরলরেখাটি y অক্ষকে ছেদ করে (0 ,3) বিন্দুতে ।
আবার , 3x+4y =12 সমীকরণে y = 0 বসিয়ে পাই ,
3x = 12
বা, x = 12/3
বা, x = 4
সুতরাং সরলরেখাটি x অক্ষকে ছেদ করে (4,0) বিন্দুতে ।
∴ যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হবে তার ভূমি 4 একক এবং উচ্চতা 3 একক । স্পষ্টতই ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
সুতরাং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½ ☓ ভূমি ☓ উচ্চতা = ½ ☓ 4☓3 বর্গএকক = 6 বর্গএকক ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2|লেখচিত্র কষে দেখি ৩.২|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৩.২|Ganit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 3.2.
(iv) ( 6,-8) বিন্দুটির x অক্ষ থেকে দূরত্ব ও y অক্ষ থেকে দূরত্ব কত তা লিখি ।
সমাধানঃ ( 6,-8) বিন্দুটির x অক্ষ থেকে দূরত্ব 8 একক ও y অক্ষ থেকে দূরত্ব 6 একক ।
(v) x = y সমীকরণের লেখচিত্র x অক্ষের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান লিখি ।
সমাধানঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হল , y = x
বা, y = (1) x + 0 [ y = mx+c সরলরেখায় m হল সরলরেখার নতি এবং m =tan ϴ]
এখানে , m = 1 = tan 45°
∴ x = y সমীকরণের লেখচিত্র x অক্ষের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান 45° ।