WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4| স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪। গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৪। গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪। Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4.Class IX Koshe Dekhi 4.গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4|Class IX Koshe Dekhi 4
1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করিঃ
(i) (7,-24) (ii) (3,-4) (iii) (a+b ,a-b)
সমাধানঃ
(i) মূলবিন্দু (0,0) থেকে (7,-24) এর দূরত্ব
= (5✕5) একক
= 25 একক (উত্তর)
(ii) মূলবিন্দু (0,0) থেকে (3,-4) বিন্দুর দূরত্ব
= √25 একক
= 5 একক (উত্তর)
(iii) মূলবিন্দু (0,0) থেকে (a+b,a-b) বিন্দুর দূরত্ব
2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করিঃ
(i) (5,7) এবং (8,3)
সমাধানঃ (5,7) এবং (8,3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= √25 একক
= 5 একক
(ii) (7,0) এবং (2,-12)
সমাধানঃ (7,0) এবং (2,-12) বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব
= √169 একক
= 13 একক
(iii) (-3/2 ,0) এবং ( 0 ,-2)
সমাধানঃ (-3/2 ,0) এবং ( 0 ,-2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= 2.5 একক
(iv) (3,6) এবং (-2,-6)
সমাধানঃ (3,6) এবং (-2,-6) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= √169 একক
= 13 একক
(v) (1,-3) এবং (8,3)
সমাধানঃ (1,-3) এবং (8,3) বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব
= √85 একক
(vi) (5,7) এবং (8,3)
সমাধানঃ (5,7) এবং (8,3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= √25 একক
= 5 একক
3. প্রমাণ করি যে , (-2,-11) বিন্দুটি (-3,7) ও (4,6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী ।
সমাধানঃ (-2 ,-11) এবং (-3,7) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
∴ (-2,-11) বিন্দুটি (-3,7) ও (4,6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী ।
4. হিসেব করে দেখাই যে (7,9) ,(3,-7) এবং (-3,3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
সমাধানঃ ধরা যাক , A (7,9) ,B(3,-7) এবং C (-3,3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
∴ AB2 = BC2+CA2
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
5. প্রমাণ করি যে ,উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
(i) (1,4) ,(4,1) ও (8,8)
সমাধানঃ ধরা যাক , A(1,4) , B(4,1) এবং C (8,8) বিন্দু তিনটি ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু ।
∴ ABC ত্রিভুজের BC ও CA বাহুর দৈর্ঘ্য সমান । অর্থাৎ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ । সুতরাং (1,4) ,(4,1) ও (8,8) বিন্দুগুলি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
(ii) (-2,-2) ,(2,2) ও (4,-4)
সমাধানঃ ধরা যাক , A(-2,-2) , B(2,2) এবং C (4,-4) বিন্দু তিনটি ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু
∴ ABC ত্রিভুজের BC ও CA বাহুর দৈর্ঘ্য সমান । অর্থাৎ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ । সুতরাং (-2,-2) ,(2,2) ও (4,-4) বিন্দুগুলি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
6. প্রমাণ করি যে , A(3,3) ,B (8,-2) ও C (-2,-2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । ABC এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ ABC ত্রিভুজের AB বাহুর দৈর্ঘ্য
এখন , AB2+AC2
= (√50)2+(√50)2
= 50+50
=100
= (10)2
= BC2
∴ AB2 +AC2 =BC2
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ ।
আবার ABC সমকোণী ত্রিভুজের AB =AC
∴ ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ । (প্রমাণিত )
অতিভুজ BC –এর দৈর্ঘ্য 10 একক ।
7. হিসেব করে দেখাই যে , (2,1) ,(0,0) ,(-1,2) এবং (1,3) বিন্দু চারটি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু ।
সমাধানঃ ধরা যাক , A (2,1) ,B (0,0) ,C(-1,2) এবং D (1,3) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র ।
∴ ABCD চতুর্ভুজের AB =BC =CD =DA এবং কর্ণ AC = কর্ণ BD । সুতরাং চতুর্ভুজ ABCD একটি বর্গক্ষেত্র । ( প্রমাণিত )
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
8. হিসেব করে দেখি , y এর মান কী হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে ।
সমাধানঃ (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক ।
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ,
64 + (9+y)2 = 100
বা, 64 +81+18y +y2 = 100
বা, y2 + 18y + 145-100=0
বা, y2 +18y + 45 = 0
বা, y2 + (15+3)y + 45=0
বা, y2 +15y +3y +45 = 0
বা, y(y+15) +3(y+15) = 0
বা, (y+15) (y+3) = 0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় , (y+15) = 0
বা, y = -15
অথবা , (y+3) = 0
বা, y = -3
∴ y এর মান -15 বা -3 হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
9. x অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3,5) ও (1,3) বিন্দুগুলি থেকে সমদূরবর্তী ।
সমাধানঃ ধরি , x অক্ষের উপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (a,0) ।
শর্তানুসারে ,
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ,
(3-a) 2 +25 = (1-a)2+9
বা, 9-6a+a2 +25 = 1-2a +a2+9
বা, a2-a2-6a+2a+9 -9+25-1 = 0
বা, -4a = -24
বা, a = 6
∴ নির্ণেয় বিন্দুটি হল (6,0) যা (3,5) ও (1,3) বিন্দুগুলি থেকে সমদূরবর্তী ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
10. O (0,0) ,A(4,3) এবং B (8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ O (0,0) ,A(4,3) এবং B (8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি OA +AB = OB হয় ।
∴ OA+AB = (5+5) একক = 10 একক = OB
∴ OA +AB =OB
সুতরাং O(0,0) ,A(4,3) ,B(8,6) বিন্দুত্রয় সমরেখ ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
11. দেখাই যে , (2,2) ,(-2,-2) এবং (-2√3 ,2√3) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
সমাধানঃ ধরা যাক , A(2,2) , B(-2,-2) এবং C (-2√3 ,2√3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
∴ ABC ত্রিভুজের AB = BC =CA
∴ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
12. দেখাই যে , (-7,12) , (19 ,18) , (15,-6) এবং (-11,-12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয় ।
সমাধানঃ ধরা যাক , A (-7,12) ,B (19,18) ,C(15,-6) এবং D(-11,-12) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক ।
∴ ABCD চতুর্ভুজের AB = CD এবং BC = DA । অর্থাৎ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান । সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক । ( প্রমাণিত )
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
13. দেখাই যে , (2,-2) ,(8,4) ,(5,7) এবং (-1,1) বিন্দুগুলি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু ।
সমাধানঃ ধরা যাক , A (2,-2) ) ,B (8,4) ,C(5,7) এবং D(-1,1) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র ।
∴ ABCD চতুর্ভুজের AB = CD , BC = DA এবং কর্ণ AC = কর্ণ BD । অর্থাৎ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণ দ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান । সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র । ( প্রমাণিত )
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
14. দেখাই যে , (2,5) ,(5,9) ,(9,12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয় ।
সমাধানঃ ধরা যাক , A (2,5) ) ,B (5,9) ,C(9,12) এবং D(6,8) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র ।
∴ ABCD চতুর্ভুজের AB =BC =CD= DA । সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি রম্বস । ( প্রমাণিত )
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) (a+b,c-d) এবং (a-b , c+d ) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
উত্তরঃ 2√(b2+d2)
সমাধানঃ (a+b,c-d) এবং (a-b , c+d ) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
(ii) (x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে , x –এর মানগুলি হল –
(a) 0 অথবা 6
(b) 2 অথবা 3
(c ) 5 অথবা 1
(d) 6 অথবা 0
উত্তরঃ(a) 0 অথবা 6
সমাধানঃ (x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক ।
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ,
(3-x)2 + 16 = 25
বা, (3-x)2 = 25-16
বা, (3-x)2 = 9
বা, 3-x = ±√9
বা, 3-x = ±3
∴ 3-x = 3
বা, x = 0
অথবা , 3-x = – 3
বা, x = 6
∴ x = 0 অথবা x = 6
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 4|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি দূরত্ব নির্ণয় কষে দেখি ৪| গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৪| Gonit Prokash Class 9 Koshe Dekhi 4
(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয় , তাহলে x এর মান
(a) ± 4
(b) ± 5
(c ) ± 3
(d) কোনোটিই নয়
উত্তরঃ (c ) ± 3
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ,
x2 +16 = 25
বা, x2 = 25-16
বা, x2 = 9
বা, x = ±√9
বা, x = ±3
(iv) (3,0) ,(-3,0) এবং (0,3) বিন্দু তিনটি যোগ করলে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয় সেটি
(a) সমবাহু
(b) সমদ্বিবাহু
(c ) বিষমবাহু
(d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
উত্তরঃ (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
সমাধানঃ ধরা যাক , A(3,0) , B(-3,0) এবং C (0,3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
BC2 + CA2 = (√18)2+(√18)2 = 18+18 = 36 = (6)2 = AB2
∴ ABC ত্রিভুজের BC ও CA বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান এবং BC2+CA2 =AB2
∴ ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ।
(v ) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) হলে , বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
(a) 5 একক
(b) 4 একক
(c ) 3 একক
(d) কোনোটিই নয়
উত্তরঃ(a) 5 একক
সমাধানঃ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) হলে , বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= √25 একক
= 5 একক
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ
(i)মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে , y এর মান কত লিখি ।
সমাধানঃ মূলবিন্দু (0,0) থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ,
16+y2 = 25
বা, y2 = 25-16
বা, y2 = 9
বা, y = ±√9
বা, y = ± 3
∴ y এর মান ± 3 ।
(ii) y –অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান ।
সমাধানঃ ধরি , y অক্ষের উপর বিন্দুটি হল (0,a) যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান ।
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ,
4+ (3-a)2 = 1+(2-a)2
বা, 4 + 9 – 6a +a2 = 1+4-4a+a2
বা, 13-6a+a2 = 5-4a+a2
বা, 13-5 = 6a -4a
বা, 8 = 2a
বা, a = 8/2
বা, a = 4
∴ y অক্ষের উপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হল (0,4) ।
(iii) x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x অক্ষ ,y অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয় ।
সমাধানঃ x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (6,0 ) এবং (0,6)
এই বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয় ।
(iv) x –অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x অক্ষ থেকে সমান ।
সমাধানঃ x –অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল – (6,3) এবং (6,-3) যাদের দূরত্ব x অক্ষ থেকে সমান ।
(v) y –অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y অক্ষ থেকে সমান ।
সমাধানঃ y –অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (8,6) এবং (-8,6) যাদের দূরত্ব y অক্ষ থেকে সমান ।
16(iii) ,16(iv) এবং 16(v) এই প্রশ্নগুলির অন্য উত্তর হতে পারে ।
Good
🌹🙏