WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩।গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩।গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩। অপনয়ন পদ্ধতি। Ganit Prakash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

WBBSE Official Site

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|অপনয়ন পদ্ধতি|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

1. নীচের দুইচল বিশিষ্ট একঘাত সহসমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে যাচাই করি:

(a) 8x+5y-11=0 , 3x-4y-10 = 0

সমাধানঃ প্রদত্ত সহসমীকরণ দুটি হল –

8x+5y-11=0 —(i) এবং 3x-4y-10 = 0 —(ii)

এখন , (i) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা গুণ করে পাই ,

 32x+20y-44 = 0 —(iii)

15x -20y -50 = 0 —(iv)

(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

32x+20y-44+15x -20y -50 = 0

বা, 47x – 94 =0

বা, 47x = 94

বা, x = 94/47

বা, x = 2

x –এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

8(2)+5y-11 = 0

বা, 16+5y-11= 0

বা, 5y + 5 = 0

বা, 5y = -5

বা, y = -5/5

বা, y = -1

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 এবং y = -1

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধানঃ

8x+5y-11 = 0

বা, x = (11-5y) / 8

X	-3	2	7
y	7	-1	-9

3x-4y-10 = 0

বা, x = (10+4y) /3

X	6	10	2
y	2	5	-1

ছক কাগজে XOX এবং YOY দুটি পরপর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের  একটি বাহুকে 1 একক ধরে (-3,7) ,(2,-1) এবং (7,-9) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যোগ করে AB সরলরেখা এবং (6,2) ,(10,5) ,(2,-1) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা অঙ্কন করলাম । AB ও CD সরলরেখা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,-1) । সুতরাং নির্ণেয় সমাধান x=2 , y =-1

অর্থাৎ অপনয়ন পদ্ধতিতে সহসমীকরণ দুটির সমাধান এবং লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণেয় সমাধান সমান ।

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

(b) 2x+3y-7=0 , 3x+2y -8 = 0

সমাধানঃ প্রদত্ত সহ সমীকরণ দুটি হল –

2x+3y-7=0 —(i)

3x+2y -8 = 0 —(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই ,

4x + 6y -14 = 0 —(iii)

9x +6y – 24 = 0 —(iv)

এখন ,(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণকে বিয়োগ করে পাই ,

(4x+6y-14) –(9x+6y-24) = 0

বা, 4x + 6y -14 – 9x -6y +24 = 0

বা, -5x +10 = 0

বা, 5x = 10

বা, x = 10 /5

বা, x = 2

X এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে  পাই ,

2 (2) +3y -7 = 0

বা, 4 + 3y -7 = 0

বা, 3y -3 =0

বা, 3y = 3

বা, y = 3/3

বা, y = 1

∴ নির্নেয় সমাধান x = 2 এবং y =1

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধানঃ

2x+3y-7=0

বা, 2x = 7-3y

বা, x = (7-3y) /2

X	2	-1	5
y	1	3	-1

 3x+2y -8 = 0

বা, x = (8-2y) /3

x	0	-2	-4
y	4	7	10

ছক কাগজে XOX এবং YOY দুটি পরপর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে ও প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের  একটি বাহুকে 1 একক ধরে (2,1) ,(-1,3) এবং (5,-1) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যোগ করে AB সরলরেখা এবং (0,4) ,(-2,7) ,(-4,10) বিন্দুগুলি যোগ করে CD সরলরেখা অঙ্কন করলাম । AB ও CD সরলরেখা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে । P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,1) । সুতরাং নির্ণেয় সমাধান x=2 , y =1।

অর্থাৎ অপনয়ন পদ্ধতিতে সহসমীকরণ দুটির সমাধান এবং লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণেয় সমাধান সমান ।

2. 7x-5y+2 = 0 সমীকরণকে কত দিয়ে গুণ করে 2x+15y+3 = 0 সমীকরণের সঙ্গে যোগ করব যাতে y চলটিকে অপনিত করতে পারি ।

সমাধানঃ

7x-5y+2 = 0 —(i)

2x+15y+3 = 0 —(ii)

5 এবং 15 এর লসাগু 15 অর্থাৎ y –কে অপনীত করতে গেলে (i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করতে হবে ।

3. 4x-3y = 16 ও 6x+5y = 62 উভয় সমীকরণকে সবথেকে ছোটো কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে দুটি সমীকরণের x – এর সহগ সমান হবে তা লিখি ।

সমাধানঃ

4x-3y = 16 —(i)

6x+5y = 62 —(ii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণে x এর সহগ যথাক্রমে 4 ও 6

4 ও 6 এর লসাগু – 12

∴ (i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা ও (ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করলে সমীকরণদ্বয়ের x – এর সহগ সমান হবে ।

4. নীচের দুইচল বিশিষ্ট সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি ।

(i) 3x+2y = 6 , 2x -3y = 17

সমাধানঃ প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –

 3x+2y = 6 —(i)

, 2x -3y = 17 —(ii)

(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই ,

9x + 6y = 18 —(iii)

এবং 4x – 6y = 34 —(iv)

এখন (iii) ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

9x + 6y +4x – 6y   = 18+34

বা, 13x = 52

বা, x = 52 /13

বা, x = 4

X এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

3x+2y = 6

বা, 3(4) +2y = 6

বা, 12 + 2y = 6

বা, 2y = 6 -12

বা, 2y = -6

বা, y = -6/2

বা, y = -3

∴নির্ণেয় সমাধান x = 4 এবং y = -3 ।

(ii) 2x+3y = 32 , 11y-9x = 3

সমাধানঃ প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –

2x+3y = 32 —(i)

11y-9x = 3 —(ii)

(i) নং সমীকরণকে 9 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই ,

18x + 27y =  288 —(iii)

22y – 18x = 6 —(iv)

(iii) নং ও (iv) নং সমীকরন যোগ করে পাই ,

18x +27y + 22y -18x = 288 +6

বা, 49y = 294

বা, y = 294 / 49

বা, y = 6

Y এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

2x+3(6) = 32

বা, 2x + 18 = 32

বা, 2x = 32-18

বা, 2x = 14

বা, x = 14/2

বা, x = 7

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 7 এবং y = 6 ।

(iii) x+y = 48 , x+4 = 5/2 (y+4)

 সমাধানঃ প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –

x+y = 48 —(i)

 x+4 = 5/2 (y+4) —(ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

2(x+4) = 5(y+4)

বা, 2x+8 = 5y+20

বা, 2x-5y = 20-8

বা, 2x-5y = 12 —(iii)

(i) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা এবং (iii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে পাই ,

5x+5y = 240 —-(iv)

2x-5y = 12 —(v)

এখন , (iv) নং ও (v) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

5x+5y+2x-5y =240+12

বা, 7x = 252

বা, x = 252/ 7

বা, x = 36

X এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

36 + y = 48

বা, y = 48-36

বা, y = 12

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 36 এবং y = 12 ।

 

(iii) নং সমীকরণকে 6 দ্বারা এবং (iv) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে পাই ,

18x+12y = 288 —(v)

এবং , 5x-12y = -12  —(vi)

(v) ও (vi) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই ,

18x+12y +5x-12y = 288-12

বা, 23x = 276

বা, x = 276 /23

বা, x = 12

X এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

3x+2y = 48

বা, 3(12) +2y = 48

বা, 36+2y =48

বা, 2y = 48-36

বা, 2y = 12

বা, y = 12/2

বা, y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 12 এবং y = 6

বা, y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান x =2 এবং y =2

বা, 2x+3y = 6 —(iv)

(iii) নং সমীকরণকে 3দ্বারা এবং (iv) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই ,

9x+6y = 18 —(v)

এবং 4x+6y = 12 —(vi)

(v) ও(vi) নং সমীকরণকে বিয়োগ করে পাই ,

(9x+6y) – (4x+6y) = 18-12

বা, 9x+6y -4x-6y = 6

বা, 5x = 6

বা, x = 6/5

বা, 9x+7y = 126 —(iv)

(iii) নং সমীকরণকে 7 দ্বারা ও (iv) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই ,

35x-21y = 56 —(v)

27x + 21y = 378—(vi)

(v) নং ও (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

35x-21y + 27x + 21y = 56+378

বা, 62x = 434

বা, x = 434 /62

বা, x = 7

x এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

5(7) -3y = 8

বা, 35 -3y = 8

বা, 35 – 8 =3y

বা, 3y = 27

বা, y = 27/3

বা, y = 9

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 7 এবং y = 9

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

বা, x-y = 1 —(v)

(iv) নং ও (v) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

x+y +x-y = 7+1

বা, 2x = 8

বা, x = 8/2

বা, x = 4

X এর প্রাপ্ত মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

4+y = 7

বা, y = 7-4

বা, y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 4 এবং y = 3

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

বা, 2x+2y-3x+3y +5=0

বা, 5y –x = -5 —(iv)

(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

(9y-x)- (5y-x) = 7-(-5)

বা, 9y –x -5y +x = 7+5

বা, 4y = 12

বা, y = 12/4

বা, y = 3

Y –এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই ,

9y-x =7

বা, 9(3) – x =7

বা, 27- x = 7

বা, x = 27-7

বা, x = 20

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 20 এবং y = 3

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

(xii) x+y =a+b , ax-by =a²-b²

সমাধানঃ প্রদত্ত সহ-সমিকরণদ্বয় হল-

 x+y =a+b —(i)

 ax-by =a²-b² —(ii)

(i) নং সমীকরণকে b দ্বারা গুণ করে পাই ,

bx –by = ab+b²  —(iii)

(ii) ও(iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

ax-by +bx –by = a²-b² + ab+b² 

বা, ax+bx = a²+ab

বা, x(a+b) = a(a+b)

বা, x = a [ উভয়পক্ষে (a+b) দ্বারা ভাগ করে পাই ]

X এর প্রাপ্ত মাণ (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

x+y =a+b

বা, a+y =a+b

বা, y = a+b-a

বা, y = b

∴ নির্ণেয় সমাধান x = a এবং y = b

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

বা, b(x+a) = a(y+b)

বা, bx +ab = ay +ab

বা, bx –ay = 0 —(iii)

(ii) নং সমীকরণকে a দ্বারা এবং (iii) নং সমীকরণকে b দ্বারা গুণ করে পাই ,

a²x –aby = a³ –ab² —(iv)

b²x –aby = 0 —(v)

(iv) ও (v) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

 (a²x – aby) –(b²x –aby) = a³ –ab²

বা, a²x – aby– b²x +aby = a³ –ab²

বা, a²x – b²x = a(a²-b²)

বা, x(a²-b²) = a(a²-b²)

বা, x = a [ উভয়পক্ষে (a²-b²) দ্বারা ভাগ করে পাই ]

X এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

b(a) –ay = 0

বা, ab = ay

বা, y = b

∴ নির্ণেয় সমাধান x = a এবং y = b

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

(xiv) ax+by =c , a²x+b²y =c²

সমাধানঃ প্রদত্ত সহ-সমিকরণদ্বয় হল-

ax+by =c —(i)

a²x+b²y =c² —(ii)

(i) নং সমীকরণকে b দ্বারা গুণ করে পাই ,

abx +b²y = bc —(iii)

(ii) নং ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

(a²x+b²y)-( abx +b²y ) = c² –bc

বা, a²x +b²y –abx-b²y = c²-bc

বা, a²x –abx = c²-bc

বা, ax (a-b) = c(c-b)

X –এর প্রাপ্ত মাণ (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

∴ নির্ণেয় সমাধান x = c(c-b)/a(a-b) এবং y =c(a-c) / b(a-b)

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3|রৈখিক সহ সমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট) কষে দেখি ৫.৩|গণিত প্রকাশ ক্লাস ৯ কষে দেখি ৫.৩|গনিত প্রকাশ নবম শ্রেণি কষে দেখি ৫.৩|Gonit Prokash Class 9 Math Koshe Dekhi 5.3.

(xvi) (7x-y-6) ²+(14x+2y-16)² =0

সমাধানঃ প্রদত্ত সমীকরণটি হল – (7x-y-6) ²+(14x+2y-16)² =0

দুটি বর্গ রাশির সমস্টি শূন্য

∴ তারা আলাদা আলাদা ভাবে শূন্য ।

∴ 7x-y -6 = 0 —(i)

এবং 14x+2y-16 = 0 —(ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই ,

14x -2y -12 = 0 —(iii)

(ii) নং ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

14x +2y -16 + 14x -2y -12 =0

বা, 28x -28 =0

বা, x = 28/28

বা, x = 1

X এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

7(1) –y -6 = 0

বা, 7-6 –y =0

বা, 1 – y =0

বা, y =1

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 1 এবং y =1

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণির সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

ধন্যবাদ । POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পাওয়ার জন্য , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।