WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮|Ganit Prakash Class 9 Koshe Dekhi 18 Solution|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমাধান|West Bengal Board Class Nine Math Solution Of Chapter 18 Exercise 18.
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮|Ganit Prakash Class 9 Koshe Dekhi 18 Solution|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমাধান|West Bengal Board Class Nine Math Solution Of Chapter 18 Exercise 18.
1. আমিনাবিবি আজ 2.1 মিটার লম্বা একটি দড়ি দিয়ে তার গোরুটিকে ফাঁকা মাঠে খুঁটির সঙ্গে বাঁধলেন । হিসাব করে দেখি গোরুটি সবথেকে বেশি কতটা জমির ঘাস খেতে পারবে ।
সমাধানঃ 2.1 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তাকার অংশের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$ × (2.1)2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$ ×2.1× 2.1 বর্গ মিটার
= 22×0.3 × 2.1 বর্গ মিটার
= 13.86 বর্গ মিটার
উত্তরঃ গোরুটি 13.86 বর্গ মিটার জমির ঘাস খেতে পারবে ।
2. সুহানা একটি বৃত্ত আঁকবে যার পরিধি 35.2 সেমি । হিসাব করে দেখি সুহানা যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত নেবে এবং বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে ।
সমাধানঃ ধরি , সুহানা যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধ হবে r সেমি. ।
প্রশ্নানুসারে ,
2πr = 35.2
বা, 2 ×$\frac{22}{7}$ × r = 35.2
বা, r =$\frac{35.2 \times 7}{22 \times 2}$
বা, r = 5.6
∴ সুহানা যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নেবে 5.6 সেমি. ।
সুহানার আঁকা বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × (5.6)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$×5.6 × 5.6 বর্গ সেমি.
= 98.56 বর্গ সেমি.
উত্তরঃ সুহানার আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5.6 সেমি. এবং বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98.56 বর্গ সেমি. ।
3. রেখার দিদিমা একটি গোলাকার টেবিলের ঢাকনা তৈরি করেছেন যার ক্ষেত্রফল 5544 বর্গ সেমি । তিনি এই টেবিলের ঢাকনার চারদিকে রঙিন ফিতে লাগাতে চান । হিসাব করে দেখি দিদিমাকে কত দৈর্ঘ্যের রঙিন ফিতে কিনতে হবে ।
সমাধানঃ ধরি , গোলাকার টেবিলের ব্যাসার্ধ r সেমি. ।
∴ πr2 = 5544
বা, $\frac{22}{7}$ × r2 =5544
বা, r2 =$\frac{5544 \times 7}{22}$
বা, r2 = 1764
বা, r2 = 422
বা, r =42
এখন গোলাকার টেবিলের পরিসীমা
= 2πr সেমি.
= 2 × $\frac{22}{7}$ × 42 সেমি.
= 22 ×12 সেমি.
= 264 সেমি.
∴ টেবিলের চারিদিকে রঙিন ফিতে লাগাতে হলে 264 সেমি. দৈর্ঘ্যের ফিতের প্রয়োজন ।
উত্তরঃ দিদিমাকে 264 সেমি. দৈর্ঘ্যের ফিতে কিনতে হবে ।
4. আমাদের পাড়ার বৃত্তাকার খেলার মাঠটি বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 21 টাকা হিসাবে 924 টাকা খরচ হয়েছে । মাঠটি ত্রিপল দিয়ে ঢেকে দেওয়ার জন্য কত বর্গ মিটার ত্রিপল কিনতে হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ আমাদের পাড়ার বৃত্তাকার খেলার মাঠটি বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 21 টাকা হিসাবে 924 টাকা খরচ হয়েছে ।
∴ বেড়ার দৈর্ঘ্য =$\frac{924}{21}$ মিটার = 44 মিটার
∴ খেলার মাঠটির পরিসীমা = 44 মিটার
ধরি , গোলাকার খেলার মাঠের ব্যাসার্ধ r মিটার
∴ 2πr = 44
বা, 2× $\frac{22}{7}$ ×r =44
বা, r = $\frac{44 \times 7}{22 \times 2}$
বা, r = 7
∴ বৃত্তাকার খেলার মাঠের ব্যাসার্ধ 7 মিটার ।
∴ খেলার মাঠটি ত্রিপল দিয়ে ঘিরতে যে পরিমাণ ত্রিপল লাগবে তা হল মাঠটির ক্ষেত্রফলের সমান
= πr2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$×(7)2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$ × 7 ×7 বর্গ মিটার
= 154 বর্গ মিটার
উত্তরঃ মাঠটি ত্রিপল দিয়ে ঢাকার জন্য 154 বর্গমিটারের ত্রিপল লাগবে ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
5. ফারুক একটি বৃত্ত আঁকবে যার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে 616 বর্গ সেমি । হিসাব করে দেখি ফারুক যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত নেবে এবং বৃত্তটির পরিধি কত পাবে ।
সমাধানঃ ধরি , ফারুকের আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য r মিটার ।
প্রশ্নানুসারে ,
πr2 = 616
বা, $\frac{22}{7}$ × r2 = 616
বা, r2 = $\frac{616 \times 7}{22}$
বা, r2 = 28×7
বা, r2 = 2×2×7×7
বা, r2 = (2×7)2
বা, r2 = 142
বা, r = 14
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr সেমি. = 2 × $\frac{22}{7}$ × 14 সেমি. = 88 সেমি.
উত্তরঃ ফারুক যে বৃত্ত আঁকবে তার ব্যাসার্ধ্যের 14 সেমি. এবং পরিধি 88 সেমি. ।
6. পলাশ ও পিয়ালী দুটি বৃত্ত এঁকেছে যাদের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য অনুপাত 4:5; হিসাব করে দুজনের আঁকা বৃত্তাকার ক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , পলাশ ও পিয়ালির আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r একক এবং 5r একক ।
∴ দুজনের আঁকা বৃত্তাকার ক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= π(4r)2 : π(5r)2
= 16r2 : 25r2
= 16 :25
উত্তরঃ পলাশ ও পিয়লির আঁকা বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 :25 ।
7. সুমিত ও রেবা একই দৈর্ঘ্যের দুটি তামার তার এনেছে । সুমিত ওই তারটি বেঁকিয়ে আয়তাকার চিত্র তৈরি করেছে যার দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং প্রস্থ 40 সেমি । কিন্তু রেবা একই দৈর্ঘ্যের তামার তারটি বেঁকিয়ে বৃত্ত তৈরি করল। হিসাব করে দেখি সুমিতের তৈরি আয়তাকার চিত্র এবং রেবার তৈরি বৃত্তের মধ্যে কোনটি বেশি জায়গা জুড়ে থাকবে ।
সমাধানঃ সুমিতের তৈরি আয়তকার চিত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )সেমি. = 2×(48 +40 ) সেমি. =176 সেমি. ।
যেহেতু , দুটি তারের দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং সুমিতের তৈরি আয়তকার চিত্রের পরিসীমা = রেবার তৈরি বৃত্তের পরিধি = 176 সেমি. ।
ধরি , রেবার তৈরি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. ।
শর্তানুসারে ,
2πr = 176
বা, 2 ×$\frac{22}{7}$×r=176
বা, $\frac{44}{7}$ r = 176
বা, r = 176×$\frac{7}{44}$
বা, r = 28
∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ 28 সেমি. ।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × 282 বর্গ সেমি.
=$\frac{22}{7}$ × 28 × 28 বর্গ সেমি.
= 2464 বর্গ সেমি.
আবার সুমিতের তৈরি আয়তকার চিত্রের ক্ষেত্রফল = (48×40) বর্গ সেমি. = 1920 বর্গ সেমি.
উত্তরঃ সুমিতের তৈরি আয়তকার চিত্র ও রেবার তৈরি বৃত্তাকার চিত্রের মধ্যে রেবার তৈরি বৃত্তাকার চিত্রটি বেশি জায়গা জুড়ে আছে ।
8. পাইওনিয়ার অ্যাথলেটিক ক্লাবের আয়তাকার মাঠের মাঝখানে একটি বৃত্তাকার জলাশয় আছে যার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 মিটার আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্যও প্রস্থ যথাক্রমে 60 মিটার ও 42 মিটার ।জলাশয়বাদে আয়তাকার মাঠের বাকি জায়গায় ঘাস লাগাতে প্রতি বর্গমিটার 75 টাকা হিসাবে কত খরচ হবে হিসাব করে দেখি ।
সমাধানঃ বৃত্তাকার জলাশয়ের ব্যাসার্ধ (r ) = 14 মিটার ।
∴ বৃত্তাকার জলাশয়ের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গমিটার
= $\frac{44}{7}$× (14)2 বর্গ মিটার
= $\frac{44}{7}$× 14 × 14 বর্গ মিটার
= 44 × 14 বর্গ মিটার
= 616 বর্গ মিটার
আয়তকার মাঠটির ক্ষেত্রফল = (60 × 42) বর্গ মিটার = 2520 বর্গ মিটার
∴ জলাশয় বাদে আয়তকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (2520 – 616 ) বর্গ মিটার = 1904 বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গমিটার 75 টাকা হিসাবে মাঠের বাকি জায়গায় ঘাস লাগাতে খরচ পড়বে = 1904 × 75 টাকা = 142800 টাকা
উত্তরঃ জলাশয় বাদে আয়তকার মাঠের বাকি জায়গায় ঘাস লাগাতে খরচ পড়বে 142800 টাকা ।
9. ইটালগাছা ফ্রেন্ডস এসোসিয়েশন ক্লাবের বৃত্তাকার পার্কের বাইরের দিকে পরিধি বরাবর একটি 7 মিটার চওড়া রাস্তা আছে । বৃত্তাকার পার্কের পরিধি 352 মিটার হলে, রাস্তাটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি । প্রতি বর্গ মিটার 20 টাকা হিসাবে রাস্তাটি বাঁধাতে কত টাকা খরচ হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ r মিটার ।
∴ 2πr = 352
বা, 2 × $\frac{22}{7}$ × r = 352
বা, r = 352× $\frac{7}{22}$ × 2
বা, r = 56
∴ বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার ।
7 মিটার চওড়া রাস্তা সহ বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = (56 + 7) মিটার = 63 মিটার ।
∴ রাস্তাসহ পার্কের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$ × (63 )2 বর্গমিটার
= $\frac{22}{7}$ × 63 × 63 বর্গ মিটার
= 12474 বর্গ মিটার
এবং রাস্তা বাদে পার্কটির ক্ষেত্রফল
=$\frac{22}{7}$ × (56)2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$×56×56 বর্গ মিটার
= 22×8×56 বর্গ মিটার
= 9856 বর্গ মিটার
∴ শুধু রাস্তার ক্ষেত্রফল = ( 12474 – 9856) বর্গ মিটার = 2618 বর্গ মিটার এবং প্রতি বর্গ মিটার 20 টাকা হিসাবে রাস্তাটি বাঁধাতে খরচ পড়বে = (2618 × 20) টাকা = 52360 টাকা ।
উত্তরঃ শুধু রাস্তার ক্ষেত্রফল 2618 বর্গ মিটার এবং প্রতি বর্গ মিটার 20 টাকা হিসাবে রাস্তাটি বাঁধাতে খরচ পড়বে 52360 টাকা ।
10. আনোয়ারাবিবি তার অর্ধবৃত্তাকার জমির চারদিকে প্রতি মিটার 18.50 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে 2664 টাকা খরচ করেছেন । তিনি যদি তার ওই অর্ধবৃত্তাকার জমি প্রতি বর্গ মিটার 32 টাকা হিসাবে চাষ করান তাহলে মোট কত টাকা খরচ করবেন হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ আনোয়ারাবিবি তার অর্ধবৃত্তাকার জমির চারদিকে প্রতি মিটার 18.50 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে 2664 টাকা খরচ করেছেন ।
∴ বৃত্তাকার জমির পরিধি = $\frac{2664}{18.50}$ মিটার = 144 মিটার ।
ধরি , অর্ধবৃত্তাকার জমির ব্যাসার্ধ r মিটার ।
শর্তানুসারে ,
πr +2r = 144
বা, $\frac{22}{7}$ r +2r = 144
বা, $\frac{22r + 14r}{7}$ =144
বা, $\frac{36r}{7}$ = 144
বা, r = 144× $\frac{7}{36}$
বা, r = 28
∴ অর্ধ বৃত্তাকার জমির ব্যাসার্ধ 28 মিটার ।
ওই জমির ক্ষেত্রফল = $\frac{\pi r^2}{2}$ বর্গ মিটার = $\frac{\frac{22}{7} \times 28 \times 28}{2}$ বর্গ মিটার = 1232 বর্গ মিটার ।
এই অর্ধবৃত্তাকার জমি প্রতি বর্গ মিটার 32 টাকা হিসাবে চাষ করতে মোট খরচ হবে = (1232 × 32 )টাকা = 39424 টাকা ।
উত্তরঃ আনোয়ারাবিবি চাষ করতে মোট 39424 টাকা খরচ করলেন ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
11. আজ আমার বন্ধু রজত একই বেগে দৌড়ে স্কুলের বৃত্তাকার মাঠটি যে সময়ে একবার প্রদক্ষিন করল একই বেগে মাঠের ব্যাস বরাবর দৌড়তে 30 সেকেন্ড কম সময় নিল । তার গতিবেগ 9 মিটার / সেকেন্ড হলে, স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ রজতের গতিবেগ 9 মিটার / সেকেন্ড
∴ রজত 1 সেকেন্ডে যায় 9 মিটার
∴ রজত 30 সেকেন্ডে যায় (30× 9) মিটার = 270 মিটার
∴ মাঠের পরিধি ও ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অন্তর 270 মিটার ।
শর্তানুসারে ,
2πr -2r = 270
বা, 2r(π -1) = 270
বা, 2r $\left(\frac{22}{7} – 1\right)$ = 270
বা, 2r $\left(\frac{22 – 7}{7}\right)$ = 270
বা, 2r × $\frac{15}{7}$ = 270
বা, 2r = $\frac{270 \times 7}{15}$
বা, 2r = 126
বা, r = 63
∴ স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল
= π r2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$ × 632 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$× 63 × 63 বর্গ মিটার
= 12474 বর্গ মিটার
উত্তরঃ স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল 12474 বর্গ মিটার ।
12. বকুলতলার বৃত্তাকার মাঠের বাইরের চারদিকে একটি সমপরিসরের রাস্তা আছে । রাস্তাটির বাইরের সীমারেখার দৈর্ঘ্য ভিতরের সীমারেখার দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 132 মিটার বেশি । পথটির ক্ষেত্রফল 14190 বর্গ মি হলে, বৃত্তাকার মাঠটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ r মিটার এবং রাস্তা সহ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ R মিটার ।
শর্তানুসারে ,
2πR – 2πr = 132
বা, 2π(R –r) = 132
বা, 2× $\frac{22}{7}$ × (R-r) = 132
বা, (R – r ) = $\frac{132 \times 7}{2 \times 22}$
বা, R –r = 21 —(i)
এবং , πR2 – πr2 = 14190
বা, π(R2 –r2) = 14190
বা, $\frac{22}{7}$ (R+r) (R-r) =14190
বা, (R+r) (R-r) = $\frac{14190 \times 7}{22}$
বা, (R+r) (R-r) = 4515
বা, (R +r) × 21 =4515 [ ∵ (R-r) =21]
বা, (R +r) =$\frac{4515}{21}$
বা, (R +r) = 215 —(ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
R+r +R –r = 215 + 21
বা, 2R = 236
বা, R = $\frac{236}{2}$
বা, R = 118
(ii) নং সমীকরণে R এর মান বসিয়ে পাই ,
118 +r = 215
বা, r = 215-118
বা, r = 97
∴ বৃত্তাকার মাঠটির ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ মিটার
= π(97 )2 বর্গ মিটার
= $\frac{22}{7}$ ×97×97 বর্গ মিটার
= $\frac{266998}{7}$ বর্গ মিটার
= $29571\frac{1}{7}$ বর্গ মিটার
উত্তরঃ বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল $29571\frac{1}{7}$ বর্গ মিটার ।
13. নীচের ছবির রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
(i) ABCD একটি বর্গক্ষেত্র । বৃত্তের ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. ।
সমাধানঃ AC = বৃত্তের ব্যাস = 14 সেমি. ।
ধরি , বর্গ ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি. ।
শর্তানুসারে ,
a $\sqrt{2}$ = 14
বা, a = $\frac{14}{\sqrt{2}}$
এখন , বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= π(7)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × 7× 7 বর্গ সেমি.
= 154 বর্গ সেমি.
এবং , বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $\left(\frac{14}{\sqrt{2}}\right)^2$ বর্গ সেমি.
= $\frac{14 \times 14}{2}$ বর্গ সেমি.
= 98 বর্গ সেমি.
∴ রেখাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল = (154 – 98 )বর্গ সেমি. = 56 বর্গ সেমি.
উত্তরঃ রেখাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সেমি. ।
(ii) প্রতিটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি. । চারটি বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে A ,B , C এবং D
সমাধানঃ প্রতিটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × (3.5)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ ×3.5×3.5 বর্গ সেমি.
= 22 × 0.5 × 3.5 বর্গ সেমি.
= 38.5 বর্গ সেমি.
∴ 4 টি বৃত্তের ক্ষেত্রফল = (4×38.5) বর্গ সেমি. = 154 বর্গ সেমি.
প্রতিটি বৃত্ত কলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{90°}{360°}$ × একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= $\frac{90°}{360°}$ × 38.5 বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{4}$ × 38.5 বর্গ সেমি.
= 9.625 বর্গ সেমি.
∴ 4 টি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (4×9.625) বর্গ সেমি.= 38.5 বর্গ সেমি.
সুতরাং , রেখাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল = (4 টি বৃত্তের ক্ষেত্রফল – 4 টি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ) = (154 – 38.5 ) বর্গ সেমি. = 115.5 বর্গ সেমি.
উত্তরঃ রেখাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল 115.5 বর্গ সেমি. ।
14. দীনেশ তাদের শ্রেণির কতজন কোন খেলা খেলতে ভালোবাসে তার একটা পাই-চিত্র তৈরি করেছে। সে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 নিয়েছে । হিসাব করে প্রতিটি বৃত্তকলার পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , দীনেশের শ্রেণির মোট ছাত্রসংখ্যা 60 জন ।
এই 60 জন ছাত্রের কতজন কোন খেলা খেলতে ভালবাসে তা নীচের ছকের মাধ্যমে দেখানো হল –
| খেলার নাম | ছাত্র সংখ্যা (জন ) |
| ক্রিকেট | 26 |
| ফুটবল | 20 |
| টেনিস | 8 |
| ভলিবল | 6 |
| মোট | 60 |
কেন্দ্রীয় কোণ নির্ণয়ঃ
ক্রিকেট খেলতে ভালবাসে এমন ছাত্র সংখ্যার কেন্দ্রীয় কোণ = $\frac{26}{60} \times 360°$ = 156°
ফুটবল খেলতে ভালবাসে এমন ছাত্র সংখ্যার কেন্দ্রীয় কোণ = $\frac{20}{60} \times 360°$= 120°
টেনিস খেলতে ভালবাসে এমন ছাত্র সংখ্যার কেন্দ্রীয় কোণ = $\frac{8}{60} \times 360°$ = 48°
ভলিবল খেলতে ভালবাসে এমন ছাত্র সংখ্যার কেন্দ্রীয় কোণ =$\frac{6}{60} \times 360°$ = 36°
বৃত্তকলার পরিসীমা নির্ণয়ঃ
156° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার পরিসীমা
= $ \frac{156°}{360°} \times 2\pi r $
= $ \frac{156°}{360°} \times 2\pi × 3.5 $ সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{156°}{360°} \times 2 \times \pi \times \frac{35}{10}$ সেমি.
= $\frac{91\pi }{30}$ সেমি.
120° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার পরিসীমা
= $\frac{120°}{360°}$ ×2πr
= $\frac{120°}{360°}$ ×2×π×3.5 সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{120°}{360°}$ ×2×π× $\frac{35}{10}$ সেমি.
= $\frac{7\pi }{3}$ সেমি.
48° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার পরিসীমা
= $\frac{48°}{360°}$×2πr
= $\frac{48°}{360°}$ ×2 × π × 3.5 সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{48°}{360°}$ ×2 × $\frac{22}{7}$ × $\frac{35}{10}$ সেমি.
= $\frac{14\pi }{15}$ সেমি.
36° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার পরিসীমা
= $\frac{36}{360}$ × 2πr
= $\frac{36}{360}$ × 2 × π × 3.5 সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{36}{360}$ × 2 × $\frac{22}{7}$ × $\frac{35}{10}$ সেমি.
= $\frac{7\pi }{10}$ সেমি.
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ
156° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{156°}{360°}$ × πr2
= $\frac{156°}{360°}$ × π × (3.5)2 বর্গ সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{156°}{360°}$ × π × 3.5 × 3.5 বর্গ সেমি.
= $\frac{156°}{360°}$ × $\frac{22}{7}$ × $\frac{35}{10}$ × $\frac{35}{10}$
= $\frac{637{\mathrm{\pi}}}{120}$ বর্গ সেমি.
120° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{120°}{360°}$ × πr2
= $\frac{120°}{360°}$ × π × (3.5)2 বর্গ সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{120°}{360°}$ × π × 3.5 × 3.5 বর্গ সেমি.
= $\frac{120°}{360°}$ × $\frac{22}{7}$ × $\frac{35}{10}$ × $\frac{35}{10}$
= $\frac{49{\mathrm{\pi}}}{12}$ বর্গ সেমি.
48° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{48°}{360°}$ × πr2
= $\frac{48°}{360°}$ × π × (3.5)2 বর্গ সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{48°}{360°}$ × π × 3.5 × 3.5 বর্গ সেমি.
= $\frac{48°}{360°}$ × $\frac{22}{7}$ × $\frac{35}{10}$ × $\frac{35}{10}$
= $\frac{49{\mathrm{\pi}}}{30}$ বর্গ সেমি.
36° কেন্দ্রীয় কোণ সম্পন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{36°}{360°}$ × πr2
= $\frac{36°}{360°}$ × π × (3.5)2 বর্গ সেমি. [∵ ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি. ]
= $\frac{36°}{360°}$ × π × 3.5 × 3.5 বর্গ সেমি.
= $\frac{36°}{360°}$ × $\frac{22}{7}$ × $\frac{35}{10}$ × $\frac{35}{10}$
= $\frac{49{\mathrm{\pi}}}{40}$ বর্গ সেমি.
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
15. নীতু একটি বর্গক্ষেত্র ABCD এঁকেছে যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সেমি । আমার বোন পাশের ছবির মতো A, B, C ও D বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের চারটি বৃত্তচাপ এঁকেছে এবং কিছু জায়গায় নকশা আঁকা ক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল লিখি ।
সমাধানঃ বৃত্তচাপের ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য (r ) = 6 সেমি.
প্রতিটি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
= ($\frac{90°}{360°}$ × 2πr) সেমি.
= $\frac{1}{4}$ × 2 × $\frac{22}{7}$ × 6 সেমি.
= $\frac{1}{4}$ × $\frac{264}{7}$ সেমি.
∴ নক্সা আঁকা অংশের পরিসীমা
= 4× $\frac{1}{4}$ × $\frac{264}{7}$ সেমি.
= $\frac{264}{7}$ সেমি.
= $37\frac{5}{7} $ সেমি.
প্রতিটি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{90°}{360°}$ × πr2 বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{4}$ × $\frac{22}{7}$ × 62 বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{4}$ × $\frac{22 \times 36}{7}$ বর্গ সেমি.
∴ 4 টি বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল
= 4×$\frac{1}{4}$ × $\frac{22 \times 36}{7}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{22 \times 36}{7}$ বর্গ সেমি
=$\frac{792}{7}$ বর্গ সেমি.
এখন , ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (12)2 বর্গ সেমি. = 144 বর্গ সেমি.
∴নক্সা আঁকা ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\left(144 – \frac{792}{7}\right)$ বর্গ সেমি. = $\frac{1008 – 792}{7}$ বর্গ সেমি. = $\frac{216}{7}$ বর্গ সেমি. = $30\frac{6}{7}$ বর্গ সেমি.
উত্তরঃ নক্সা আঁকা ক্ষেত্রের পরিসীমা $37\frac{5}{7} $ সেমি. এবং নক্সা আঁকা ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $30\frac{6}{7}$ বর্গ সেমি. ।
16. একটি বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল 154 বর্গসেমি ।বৃত্তাকার মাঠটির পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।যদি বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তাকার মাঠের অন্তর্লিখিত হতো, তাহলে বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল কত হতো তা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার মাঠটির ব্যাসার্ধ r সেমি. ।
∴ শর্তানুসারে ,
πr2 = 154
বা, $\frac{22}{7}$ × r2 = 154
বা, r2 = $\frac{154 \times 7}{22}$
বা, r2 = 7 × 7
বা, r 2 = (7)2
বা, r = 7
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি. ।
∴ বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (2 × 7)সেমি. = 14 সেমি. ।
∴ বৃত্তাকার মাঠটির পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 14 সেমি. ।
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
= (4 × 14 )সেমি.
= 56 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল
= (14)2 বর্গ সেমি.
= 196 বর্গ সেমি. [উত্তর ]
যদি বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত হত তাহলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান হত ।
∴ √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য = 14
বা, বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{14}{\sqrt{2}}$ = $\frac{14 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$ = 7√2
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = (4 × 7√2) সেমি. = 28√2 সেমি. [উত্তর ]
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (7√2 )2 বর্গ সেমি. = 98 বর্গ সেমি. [উত্তর ]
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।
17. নীচের বৃত্তকলাগুলির রেখাঙ্কিত অঞ্চলের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল লিখি ।
(i)
সমাধানঃ (i) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AB –এর দৈর্ঘ্য
$\sqrt{12^2 + 12^2}$
= $\sqrt{144 + 144}$
= $\sqrt{288}$
= 12√2 সেমি.
= 12 × 1.414 সেমি.
= 16.968 সেমি.
AB বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
= $\frac{90°}{360°}$ × বৃত্তের পরিধি
= $\frac{1}{4}$ × 2 π × 12 সেমি.
= 6π সেমি.
= 6 × $\frac{22}{7}$ সেমি.
= 18.857 সেমি.
∴ রেখাঙ্কিত অংশের পরিসীমা= ( 16.968+18.857) সেমি. = 35.83 সেমি. (প্রায় )
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ × 12 × 12 বর্গ সেমি.
= 72 বর্গ সেমি.
সমগ্র বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল
= $\frac{90°}{360°}$ × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{4}$ × π × (12)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{4}$ × $\frac{22}{7}$ × 12×12 বর্গ সেমি.
= $\frac{792}{7}$ বর্গ সেমি.
∴ রেখাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল
= $\left(\frac{792}{7} – 72\right)$ বর্গ সেমি.
= $\frac{792 – 504}{7}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{288}{7}$ বর্গ সেমি.
= $41\frac{1}{7}$ বর্গ সেমি.
উত্তরঃ রেখাঙ্কিত অংশের পরিসীমা 35.83 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল $41\frac{1}{7}$ বর্গ সেমি. ।
(ii)
(ii) AC বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
= $\frac{60°}{360°}$ × বৃত্তের পরিধি
= $\frac{1}{6}$ × 2 π × 42 সেমি.
= 14π সেমি.
= 14 × $\frac{22}{7}$ সেমি.
= 44 সেমি.
রেখাঙ্কিত অংশের পরিসীমা = (44 +42 ) সেমি. = 86 সেমি.
∆ABC সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
$\frac{\sqrt{3}}{4} \times (42)^2$ বর্গ সেমি.
= $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 42 \times 42$ বর্গ সেমি.
= $\sqrt{3} \times 21 \times 21$ বর্গ সেমি.
= 763 .834 বর্গ সেমি.
ABC বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{60°}{360°}$ × π বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{6}$ × $\frac{22}{7}$ × (42)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{6}$ × $\frac{22}{7}$ × 42 × 42 বর্গ সেমি.
= 924 বর্গ সেমি.
∴ রেখাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল = (924 – 763. 834) বর্গ সেমি. = 160.166 বর্গ সেমি.
উত্তরঃ রেখাঙ্কিত অংশের পরিসীমা 86 সেমি. এবং ক্ষেত্রফল 160.166 বর্গ সেমি. ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
18. লীনা মেলা থেকে একটি বালা কিনে হাতে পরেছে । বালাটিতে 269.5 বর্গ সেমি ধাতু আছে। বালাটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি হলে, অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি , বালাটির অন্তর্ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য r সেমি.।
বালাটির বহিব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য = $\frac{28}{2}$ সেমি. = 14 সেমি.
শর্তানুসারে ,
$\pi (14)^2 – \pi r^2$ = 269.5
বা, $\frac{22 \times 196}{7} – \frac{22r^2}{7}$ = 269.5
বা, $22 \times 28 – \frac{22r^2}{7}$ = 269.5
বা, $616 – 269.5$ = $\frac{22r^2}{7}$
বা, $\frac{22r^2}{7}$ = 346.5
বা, $r^2$ = $\frac{346.5 \times 7}{22}$
বা, $r^2$ = 110.25
বা, $r^2$ = $(10.5)^2$
বা, r = 10.5
∴ অন্তর্ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. ।
∴ অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য =(2×10.5 )সেমি. = 21 সেমি.।
উত্তরঃ অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি. ।
19. প্রতুল পাশের ছবির মতো একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। সুমিতা A, B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি বৃত্তচাপ এঁকেছে এবং মাঝের কিছু জায়গা রঙিন করেছে। হিসাব করে রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল লিখি। [ √3 = 1.732 (প্রায়) ]
সমাধানঃ সমবাহু ত্রিভুজ ABC –এর প্রতিটি কোণের মান 60° ।
∴ প্রতিটি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= $\frac{60°}{360°}$ × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
=$\frac{60°}{360°}$ πr2
= $\frac{1}{6}$ × π × (5)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{1}{6}$ × 22/7 × 25 বর্গ সেমি.
= $\frac{275}{21}$ বর্গ সেমি.
∴ তিনটি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
= 3 × $\frac{275}{21}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{275}{7}$ বর্গ সেমি.
= 39.28 বর্গ সেমি.
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\frac{\sqrt{3}}{4}$ × 10 × 10 বর্গ সেমি.
= 25√3 বর্গ সেমি.
= 25 × 1.732 বর্গ সেমি.
= 43.3 বর্গ সেমি.
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (43.3 – 39.28 )বর্গ সেমি. = 4.02 বর্গ সেমি. ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
20. রাবেয়া একটি বড়ো কাগজে 21 সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ আঁকল । ওই সমবাহু ত্রিভুজের একটি অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করে বৃত্তাকার জায়গাটি রঙিন করল । আমি রঙিন জায়গার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ × 21 সেমি.
= 21×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ সেমি.
∴ সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা 21×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ সেমি. । আমরা জানি , ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে । আবার , সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ও অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র একই বিন্দু । অর্থাৎ উপরের চিত্রে GD হল অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং AG হল পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
∴ অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ (GD) = $\frac{1}{3} \times \frac{21\sqrt{3}}{2}$ সেমি. = $\frac{7\sqrt{3}}{2}$ সেমি.
∴ অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= $\pi \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2$ বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7} \times \frac{49 \times 3}{4}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{21 \times 11}{2}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{231}{2}$ বর্গ সেমি.
= 115.5 বর্গ সেমি.
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল 115.5 বর্গ সেমি. ।
উত্তরঃ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল 115.5 বর্গ সেমি. ।
21. একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 462 বর্গ সেমি । ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি. ।
শর্তানুসারে ,
πr2 = 462
বা, $\frac{22}{7}$ × r2 = 462
বা, 22r2 = 7× 462
বা, 22r2 = 3234
বা, r2 = $\frac{3234}{22}$
বা, r2 = 147
বা, r2 = 7× 7× 3
বা, r = 7√3
∴ পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ্ = 7√3 সেমি.
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ × বাহু
আবার সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য = $\frac{2}{3}$ × উচ্চতা
∴ $\frac{2}{3}$ × উচ্চতা = 7√3
বা, $\frac{2}{3}$ × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ × বাহু = 7√3
বা, বাহু = $\frac{7\sqrt{3} \times 3 \times 2}{2 \times \sqrt{3}}$
বা, বাহু = 21
∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 21 সেমি. ।
উত্তরঃ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 21 সেমি. ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
22. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 32 সেমি এবং ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গসেমি । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , ABC ত্রিভুজের পরিসীমা 32 সেমি.এবং O কেন্দ্রীয় অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ সেমি. ।
∴ AB +BC +CA = 38.5
ধরি , অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ OP = OQ = OR = r সেমি.
∴ শর্তানুসারে ,
πr2 = 38.5
বা, $\frac{22}{7}$ r2 = 38.5
বা, r2 = 38.5× $\frac{7}{22}$
বা, r2 = 12.25
বা, r2 = (3.5)2
বা, r = 3.5
এখন , ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= △AOB –এর ক্ষেত্রফল + △BOC–এর ক্ষেত্রফল + △AOC –এর ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ × AB × OP + $\frac{1}{2}$ × BC×OQ + $\frac{1}{2}$× AC × OR
= $\frac{1}{2}$ × AB × r + $\frac{1}{2}$ × BC × r + $\frac{1}{2}$ × AC×r
= $\frac{r}{2}$×( AB+BC+CA)
= $\frac{3.5}{2}$ ×32
= 56
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সেমি. ।
উত্তরঃ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সেমি. ।
23. 20 সেমি, 15 সেমিএবং25 সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ যেহেতু , 20 2 + 152 = 252 , সেহেতু বলা যায় ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি. এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য 25 সেমি. ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ ×20 ×15 বর্গ সেমি. = 150 বর্গ সেমি.
ধরি , অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ , OP =OQ =OR =r সেমি.
এখন , ABC –এর ক্ষেত্রফল
= △AOB –এর ক্ষেত্রফল + △BOC –এর ক্ষেত্রফল + △AOC –এর ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ × AB × OP + $\frac{1}{2}$ × BC × OQ +$\frac{1}{2}$ × AC × OR
= $\frac{1}{2}$ × AB × r + $\frac{1}{2}$ × BC × r + $\frac{1}{2}$ × AC × r
= $\frac{r}{2}$ ×( AB+BC+CA)
= $\frac{r}{2}$× 60
= 30r
শর্তানুসারে ,
30r = 150
বা, r = $\frac{150}{30}$
বা, r = 5
∴ অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি. এবং সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের অর্ধেক ।
∴ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ =$\frac{25}{2}$ সেমি. = 12.5 সেমি. ।
ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল
=π(5)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × 25 বর্গ সেমি.
= $\frac{550}{7}$ বর্গ সেমি.
= $78\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি.
ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল
=π (12.5)2 বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × $\frac{125}{10}$ × $\frac{125}{10}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{6875}{14}$ বর্গ সেমি.
= 491 $\frac{1}{14}$ বর্গ সেমি.
∴ ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল $78\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি. এবং পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল 491 $\frac{1}{14}$ বর্গ সেমি. ।
24. জয়া একটি বর্গক্ষেত্রের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করল ।ওই বৃত্তটি আবার একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত যার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি ।বর্গক্ষেত্র টির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি. ।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ×বাহুর দৈর্ঘ্য
= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ × 4√3 সেমি.
= 6 সেমি.
সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6 ×$\frac{2}{3}$ সেমি. = 4 সেমি.
∴ বৃত্তটির ব্যাস = (2 × 4 ) সেমি. = 8 সেমি.
∴ বৃত্তটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সেমি. ।
∴ বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8 √2 সেমি. [উত্তর ]
উত্তরঃ বর্গক্ষেত্রের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 √2 সেমি. ।
25. সুমিত একটি তারকে দুটি সমান অংশে কাটল । একটি অংশকে বর্গাকারে ও অপর অংশটিকে বৃত্তাকারে বাঁকাল । বৃত্তাকার তারটি বর্গাকার তারটির থেকে 33 বর্গ সেমি বেশি জায়গা নিলে তারটির প্রকৃত দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার তারের ব্যাসার্ধ r সেমি.
∴ বৃত্তাকার অংশের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ সেমি.
∴ বর্গাকার তারের ক্ষেত্রফল = (πr2 – 33) বর্গ সেমি.
∴ বর্গাকার তারের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{\pi r^2 – 33}$
∴ বর্গাকার তারের পরিসীমা = $4\sqrt{\pi r^2 – 33}$
শর্তানুসারে ,
$4\sqrt{\pi r^2 – 33}$ = $2\pi r$
বা, $2\sqrt{\pi r^2 – 33}$ = $\pi r$
বা, $4\left(\pi r^2 – 33\right)$ = $\pi^2r^2$
বা, $4\pi r^2 – 132$ = $\pi^2r^2$
বা, $r^2\left(4\pi – \pi^2\right)$ = 132
বা, $r^2\left(\frac{88}{7} – \frac{22 \times 22}{7 \times 7}\right)$ = 132
বা, $r^2\left(\frac{88}{7}- \frac{484}{49}\right)$ = 132
বা, $r^2\left(\frac{616 – 484}{49}\right)$ = 132
বা, $r^2 \times \frac{132}{49}$ = 132
বা, $r^2$ = 49
বা, r = 7
∴ বৃত্তের পরিধি = 2×22/7 × 7 সেমি. = 44 সেমি. = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
∴ তারটির দৈর্ঘ্য = (44 + 44 ) সেমি. = 88 সেমি.
উত্তরঃ তারটির দৈর্ঘ্য 88 সেমি. ।
26. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x বর্গ একক, পরিধি y একক ও ব্যাসের দৈর্ঘ্য z একক হলে, x/yz এর মান
(a)1/2 (b) 1/4 (c) 1 (d) 1/8
উত্তরঃ (b) ¼
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r একক ।
∴ বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক = x বর্গ একক
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি = 2πr একক = y একক
ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r একক = z একক
∴ $\frac{x}{yz}$ = $\frac{\pi r^2}{2\pi r \times 2r}$ = $\frac{\pi r^2}{4\pi r^2}$ = $\frac{1}{4}$
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
(ii) একটি বৃত্তের পরিলিখিত ও অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 4:1 (b) 1:4 (c) 2:1 (d) 1:2
উত্তরঃ (c) 2:1
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তের ব্যাসার্ধ a একক ।
∴ র্বৃত্তের ব্যাস = 2a একক
∴ পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a একক
∴ পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (2a)2 বর্গএকক = 4a2 বর্গএকক
আবার , র্বৃত্তের ব্যাস = 2a একক
∴ অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2a একক
∴ অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a / √2 একক = a√2 একক
∴ অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (a√2)2 বর্গ একক = 2a2 বর্গ একক
∴ বৃত্তে পরিলিখিত ও অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4a2 : 2a2 = 2:1
(iii) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি ও ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান । ওই বৃত্তের পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য
(a) 4 একক (b) 2 একক (c) 4√2 একক (d) 2√2 একক
উত্তরঃ (c) 4√2 একক
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r একক ।
প্রশ্নানুসারে ,
2πr = πr2
বা, r = 2
∴ বৃত্তের ব্যাস = (2×2) সেমি. = 4 একক ।
∴ বৃত্তের পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 একক ।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক ।
(iv) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিলিখিত ও অন্তর্লিখিত বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 4:1 (b) 1:4 (c) 2:1 (d) 1:2
উত্তরঃ (a) 4:1
সমাধানঃ ধরি , সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক ।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা বা মধ্যমা = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ একক
∴ সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ একক = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ একক
এবং সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = $\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ একক = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ একক
∴ অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল
=$\pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2$ বর্গ একক
= $\pi \times \frac{a^2}{12}$ বর্গ একক
= $\frac{\pi a^2}{12}$ বর্গ একক
এবং পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল
=$\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$ বর্গ একক
= $\frac{\pi a^2}{3}$ বর্গ একক
∴ পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল ও অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= $\frac{\pi a^2}{3}:\frac{\pi a^2}{12}$
= $\frac{1}{3}:\frac{1}{12}$
= 4:1
(v) একটি বলয়াকৃতি লোহার পাতের অন্তর্ব্যাস 20 সেমি এবং বর্হিব্যাস 22 সেমি । বলয়টিতে লোহার পাত আছে
(a) 22 বর্গ সেমি (b) 44 বর্গ সেমি (c) 66 বর্গ সেমি (d) 88 বর্গ সেমি
উত্তরঃ (c) 66 বর্গ সেমি
সমাধানঃ বলয়াকৃতি লোহার পাতের অন্তর্ব্যাস 20 সেমি এবং বর্হিব্যাস 22 সেমি ।
∴ অন্তর্ব্যাসার্ধ (r ) = 20 /2 সেমি. = 10 সেমি.
এবং বহির্ব্যাসার্ধ (R ) = 22 /2 সেমি. = 11 সেমি.
∴ বলয়টিতে লোহার পাতের ক্ষেত্রফল
= π(R2-r2) বর্গ সেমি.
= π(112-102)বর্গ সেমি.
= π(121-100) বর্গ সেমি.
= $\frac{22}{7}$ × 21 বর্গ সেমি.
= 66 বর্গ সেমি.
27. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় হিসাব করি ।
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ 100 একক ।
∴ বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = π(100)2 বর্গ একক = 10000π বর্গ একক
এখন বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ 10% বৃদ্ধি করলে পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = (100 +10 ) একক = 110 একক
∴ পরিবর্তিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(110 )2 বর্গ একক = 12100π বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বাড়লো
$\left(\frac{12100\pi – 10000\pi }{10000\pi } \times 100\right)\%$
= $\left(\frac{2100\pi }{10000\pi } \times 100\right)\%$
= 21%
উত্তরঃ বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেল 21% ।
WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 18| বৃত্তের ক্ষেত্রফল কষে দেখি ১৮
(ii) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা 50% হ্রাস করলে, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পায় হিসাব করি ।
সমাধানঃ ধরি , বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক ।
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং ক্ষেত্রফল = πr2বর্গ একক
এখন বৃত্তের পরিধি 50% হ্রাস পেলে পরিবর্তিত পরিধি হবে
=$\left(2\pi r – 2\pi r \times \frac{50}{100}\right)$ একক
= (2πr – πr ) একক
= πr একক
= 2 × π × $\frac{r}{2}$
∴ পরিবর্তিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ $\frac{r}{2}$ একক ।
এখন বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= $\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2$ বর্গ একক
= $\frac{\pi r^2}{4}$ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস পেল
=$\left(\pi r^2 – \frac{\pi r^2}{4}\right)$ বর্গ একক
= $\frac{3\pi r^2}{4}$ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার
=$\left(\frac{\frac{3\pi r^2}{4}}{\pi r^2} \times 100\right)\%$
= $\left(\frac{3\pi r^2}{4\pi r^2} \times 100\right)\%$
= $\left(\frac{3}{4} \times 100\right)\%$
= 75%
উত্তরঃ বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পেল 75% ।
(iii) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r মিটার । অন্য একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত হলে, তার ক্ষেত্রফল প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফলের x গুন হবে তা হিসাব করে দেখি ।
সমাধানঃ ধরি , অন্য বৃত্তটির ব্যাসার্ধ R মিটার
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πR2 বর্গ মিটার
শর্তানুসারে ,
πR2 = x×πr2
বা, R2 = xr2
বা, R = r√x
∴ অন্য বৃত্তাকার ক্ষেত্রটির ব্যাসার্ধ্যের দৈর্ঘ্য r√x মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফলের x গুন হবে ।
(iv) 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হিসাব করি ।
সমাধানঃ স্পষ্টতই , 32 +42 = 52
∴ 3 সেমি. ,4 সেমি ও 5 সেমি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = $\frac{5}{2}$ সেমি. = 2.5 সেমি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= $\pi \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25\pi }{4}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{25}{4} \times \frac{22}{7}$ বর্গ সেমি.
= $\frac{275}{14}$ বর্গ সেমি.
= $19\frac{9}{14}$ বর্গ সেমি.
উত্তরঃ 3 সেমি , 4 সেমি. ও 5 সেমি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল $19\frac{9}{14}$ বর্গ সেমি. ।
(v) সমবেধবিশিষ্ট একটি টিনের পাত থেকে তিনটি বৃত্তাকার চাকতি কেটে নেওয়া হলো । বৃত্তাকার চাকতি তিনটির ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:5:7 হলে,তাদের ওজনের অনুপাত কত হিসাব করে দেখি ।
সমাধানঃ ∵ বৃত্তাকার চাকতি তিনটির ব্যাসের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 :5 : 7
∴ বৃত্তাকার চাকতি তিনটির ব্যাসার্ধ্যের অনুপাত 3 : 5 : 7
ধরি , বৃত্তাকার চাকতি তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3r একক , 5r একক এবং 7 r একক ।
∴ বৃত্তাকার চাকতি তিনটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= π(3r )2 : π(5r)2 : π(7r)2
= 9r2 : 25r2 : 49r2
= 9 : 25 : 49
টিনের পাতটি সমবেধ বিশিষ্ট ,তাই তাদের ওজনের অনুপাত 9 : 25 : 49
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।
ধন্যবাদ ।এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন এবং টেলিগ্রাম চ্যানেল জয়েন করুন।
HELPFUL.
ধন্যবাদ।
Help ful
Too much helpful
Thanku so much
Your help
Thank you so much for your help .
THANKS FOR ANUSHILAN.COM
Helpful
Yes it’s very helpful
Thank you soo much for your help
Thanks for your help anushilan.com