Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali
গনিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali
1. ABC-এর BC বাহুর ওপর D যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করি যে , AB +BC +CA > 2AD
∆ABC –এর BC বাহুর ওপর D যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , AB+BC+CA > 2AD
প্রমাণঃ ∆ABD থেকে পাই , AB +BD > AD
∆ADC থেকে পাই , DC + AC > AD
(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই ,
AB+BD+DC+AC > AD+AD
বা, AB +(BD+DC) +AC > 2AD
বা, AB + BC +AC > 2AD
∴ AB + BC +AC > 2AD
2. ∆ABC -এর ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করি যে , (i) AB +AC > OB +OC (ii) AB+BC+AC > OA+OB+OC
∆ABC-এর ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , (i) AB +AC > OB +OC (ii) AB+BC+AC > OA+OB+OC
প্রমাণঃ
(i) ∆ABD থেকে পাই ,
AB+AD > BD
বা, AB+AD > BO +OD —(i)
আবার , ∆OCD থেকে পাই ,
OD +DC > OC —(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
AB +AD +OD+DC > BO+OD +OC
বা, AB +(AD+DC) > BO +OC
বা, AB+ AC > BO +OC [ (i) নং প্রমাণিত ] —-(iii)
অনুরূপে প্রমাণ করতে পারি ,
AB +BC > OA+OC —(iv) এবং, AC+BC > OA+OB —-(v)
(iii) , (iv) এবং (v) নং যোগ করে পাই ,
AB+AC + AB+BC + AC+BC > BO+OC + OA+OC + OA+OB
বা, 2(AB+BC+AC) > 2(OA+OB+OC)
বা, AB+BC+CA > OA+OB+OC [ (ii) নং প্রমাণিত ]
| Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali |
3. প্রমাণ করি যে , একটি চতুর্ভুজের পরিসীমা যেকোনো কর্ণের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুন অপেক্ষা বৃহত্তর ।
ABCD একটি চতুর্ভুজ যার একটি কর্ণ হল AC । প্রমাণ করতে হবে যে , AB+BC+CD +DA> 2AC
প্রমাণঃ ∆ABC থেকে পাই , AB+BC > AC —(i)
∆ADC থেকে পাই , DA + DC > AC —(ii)
(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই ,
AB+BC+DA+DC > AC+AC
∴ AB+BC +CD+DA > 2AC [প্রমাণিত ]
4. ∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করি যে , (i) AP+BP > AB (ii) AB +BC +AC < 2(AP +BP+CP)
∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , (i) AP+BP > AB (ii) AB +BC +AC > 2(AP +BP+CP)
প্রমাণঃ ∆ABP থেকে পাই , AP+BP >AB [ (i) নং প্রমাণিত ] —(i)
∆BCP থেকে পাই , BP+CP > BC —(ii)
∆ACP থেকে পাই , CP +AP > AC —-(iii)
(i) ,(ii) ও (iii) যোগ করে পাই ,
AP +BP + BP+CP +CP+AP > AB+BC +AC
বা, 2(AP+BP+CP ) > AB+BC +AC
∴ AB+BC+AC < 2(AP +BP+CP) [ (ii) নং প্রমাণিত ]
| Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali |
5. প্রমাণ করি যে , একটি ত্রিভুজের পরিসীমা মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড় ।
∆ABC ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি হল AD , BE এবং CF । প্রমাণ করতে হবে যে , AB+BC+CA > AD +BE +CF
অঙ্কনঃ AD –কে G পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে AD = DG হয় । C ,G যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ ∆ADB ও ∆CDG এর মধ্যে
BD = CD [ যেহেতু D , BC –এর মধ্যবিন্দু ]
∠ADB = বিপ্রতীপ ∠CDG
AD =DG [ অঙ্কনানুসারে ]
∴ ∆ADB ≅ ∆CDG [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে ]
∴ AB = CG [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
∆ACG থেকে পাই , AC +CG > AG
বা, AC + AB > AD + DG [ ∵ AB =CG ]
বা, AB +AC > AD +AD [ ∵ DG =AD(অঙ্কনানুসারে ) ]
বা, AB + AC > 2AD —(i)
একইরকমভাবে , AB +BC > 2BE —-(ii)
এবং BC + AC > 2CF —-(iii)
(i) ,(ii) ও (iii) যোগ করে পাই ,
AB+AC + AB +BC + BC+AC > 2AD+2BE +2CF
বা, 2(AB+BC+AC ) > 2(AD +BE +CF)
বা, AB +BC +AC > AD +BE +CF [ প্রমাণিত ]
গনিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।
6. প্রমাণ করি যে ,একটি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড় ।
ABCD একটি চতুর্ভুজ । AC ও BD হল চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ । কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , AC +BD > AD + BC এবং AC +BD > AB +DC
প্রমাণঃ ∆AOD থেকে পাই , OA+OD > AD —(i)
∆AOB থেকে পাই , OA +OB > AB —-(ii)
∆BOC থেকে পাই , OB +OC > BC —-(iii)
∆COD থেকে পাই , OC +OD > CD —(iv)
(i) ও (iii)যোগ করে পাই ,
OA + OD + OB +OC > AD + BC
বা, (OA +OC) + (OB +OD) > AD +BC
বা, AC + BD > AD +BC [প্রমাণিত ]
(ii) ও (iv) যোগ করে পাই ,
OA +OB +OC +OD > AB + CD
বা, (OA +OC) +(OD +OB) > AB +CD
বা, AC +BD > AB + CD [প্রমাণিত ]
| Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali |
7. প্রমাণ করি যে , যেকোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি চতুর্ভুজের অর্ধপরিসীমার চেয়ে বড় ।
ABCD একটি চতুর্ভুজ । AC ও BD হল চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ । কর্ণদুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে , AC +BD > ½ (AB +BC +CD +AD)
প্রমাণঃ ∆AOD থেকে পাই , OA +OD > AD —(i)
∆AOB থেকে পাই , OA +OB > AB —(ii)
∆BOC থেকে পাই , OB +OC > BC —(iii)
∆COD থেকে পাই , OC +OD > CD —(iv)
(i) ,(ii) ,(iii) এবং (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
OA +OD+OA +OB+OB +OC+OC +OD > AD+AB+BC+CD
বা, 2(OA+OB+OC+OD ) > AB +BC +CD +AD
বা, OA+ OB+OC+OD > ½ (AB+BC+CD+DA )
বা, (OA+OC) +(OB+OD) > ½ (AB+BC+CD+DA)
বা, AC +BD > ½ (AB+BC +CD +DA) [প্রমাণিত ]
8. প্রমাণ করি যে , যেকোনো চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ( কোনো কর্ণের ওপর নয় ) থেকে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড় । এবার দেখি যে চতুর্ভুজের ভিতরে বিন্দুটির কোন অবস্থানের জন্য চতুর্ভুজটির শীর্ষ বিন্দুগুলির সংযোজক সরল রেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতর হবে ।
ABCD একটি চতুর্ভুজ যার ভিতর P যেকোনো একটি বিন্দু । AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে , AP +BP +CP +DP > AC +BD
প্রমাণঃ ∆APC থেকে পাই , AP +CP > AC —(i)
∆BPD থেকে পাই , BP +DP > BD —-(ii)
(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই ,
AP +CP +BP +DP > AC +BD [ প্রমাণিত ]
বা, AP +CP +BP +DP > AO +CO +BO + DO
বা, AP +CP +BP +DP > AO +BO +CO +DO
∴ P বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি > O বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি
অর্থাৎ , P বিন্দুর অবস্থান যদি O হয় তাহলে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হবে ।
| Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali |
গনিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।