Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

গনিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

1. ABC-এর BC বাহুর ওপর D যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করি যে , AB +BC +CA > 2AD

∆ABC –এর BC বাহুর ওপর D যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , AB+BC+CA > 2AD

প্রমাণঃ ∆ABD থেকে পাই , AB +BD > AD

∆ADC থেকে পাই , DC + AC > AD

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই ,

AB+BD+DC+AC > AD+AD

বা, AB +(BD+DC) +AC > 2AD

বা, AB + BC +AC > 2AD

∴ AB + BC +AC > 2AD

2. ∆ABC -এর  ভিতরে O যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করি  যে , (i) AB +AC > OB +OC (ii) AB+BC+AC > OA+OB+OC

∆ABC-এর  ভিতরে O যেকোনো  একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , (i) AB +AC > OB +OC (ii) AB+BC+AC > OA+OB+OC

প্রমাণঃ

(i) ∆ABD থেকে পাই ,

AB+AD > BD

বা, AB+AD > BO +OD —(i)

আবার , ∆OCD থেকে পাই ,

OD +DC > OC —(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

AB +AD +OD+DC > BO+OD +OC

বা, AB +(AD+DC) > BO +OC

বা, AB+ AC > BO +OC [ (i) নং প্রমাণিত ] —-(iii)

অনুরূপে প্রমাণ করতে পারি ,

AB +BC > OA+OC —(iv) এবং, AC+BC > OA+OB —-(v)

(iii) , (iv) এবং (v) নং যোগ করে পাই ,

AB+AC + AB+BC + AC+BC > BO+OC + OA+OC + OA+OB

বা, 2(AB+BC+AC) > 2(OA+OB+OC)

বা, AB+BC+CA > OA+OB+OC [ (ii) নং  প্রমাণিত ]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

3. প্রমাণ করি যে ,  একটি চতুর্ভুজের পরিসীমা যেকোনো  কর্ণের   দৈর্ঘ্যের  দ্বিগুন অপেক্ষা  বৃহত্তর ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

ABCD একটি চতুর্ভুজ যার একটি কর্ণ হল AC । প্রমাণ করতে হবে যে , AB+BC+CD +DA> 2AC

 প্রমাণঃ ∆ABC থেকে পাই , AB+BC > AC  —(i)

∆ADC থেকে পাই , DA + DC > AC —(ii)

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই ,

AB+BC+DA+DC > AC+AC

∴ AB+BC +CD+DA > 2AC [প্রমাণিত ]

4. ∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি  বিন্দু । প্রমাণ করি যে , (i) AP+BP > AB   (ii) AB +BC +AC < 2(AP +BP+CP)

∆ABC এর ভিতরে P যেকোনো একটি বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে , (i) AP+BP > AB   (ii) AB +BC +AC > 2(AP +BP+CP)

প্রমাণঃ ∆ABP থেকে পাই , AP+BP >AB [ (i) নং প্রমাণিত ] —(i)

∆BCP থেকে পাই , BP+CP > BC —(ii)

∆ACP থেকে পাই , CP +AP > AC —-(iii)

(i) ,(ii) ও (iii) যোগ করে পাই ,

AP +BP + BP+CP +CP+AP > AB+BC +AC

বা, 2(AP+BP+CP ) > AB+BC +AC

∴ AB+BC+AC < 2(AP +BP+CP) [ (ii) নং প্রমাণিত ]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

5. প্রমাণ করি যে , একটি ত্রিভুজের পরিসীমা  মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড় ।

∆ABC ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি হল AD , BE এবং CF । প্রমাণ করতে হবে যে , AB+BC+CA > AD +BE +CF

অঙ্কনঃ AD –কে G পর্যন্ত  এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে AD = DG হয় । C ,G যুক্ত করা হল ।

প্রমাণঃ ∆ADB ও ∆CDG এর  মধ্যে

BD = CD [ যেহেতু  D , BC –এর মধ্যবিন্দু ]

∠ADB =  বিপ্রতীপ ∠CDG

AD =DG [ অঙ্কনানুসারে ]

∴ ∆ADB ≅ ∆CDG [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে ]

∴ AB = CG  [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ] 

∆ACG থেকে পাই , AC +CG > AG

বা, AC + AB > AD + DG [ ∵ AB =CG ]

বা, AB +AC > AD +AD [ ∵ DG =AD(অঙ্কনানুসারে ) ]

বা, AB + AC > 2AD —(i)

একইরকমভাবে , AB +BC > 2BE —-(ii)

এবং BC + AC > 2CF —-(iii)

(i) ,(ii) ও (iii) যোগ করে পাই ,

AB+AC + AB +BC + BC+AC > 2AD+2BE +2CF

বা, 2(AB+BC+AC ) > 2(AD +BE +CF)

বা, AB +BC +AC > AD +BE +CF [ প্রমাণিত ]

গনিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

6. প্রমাণ করি  যে ,একটি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি বিপরীত বাহুর  দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে বড় ।

ABCD একটি চতুর্ভুজ । AC ও BD হল চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ । কর্ণ দুটি পরস্পরকে O  বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে  যে , AC +BD > AD + BC এবং AC +BD > AB +DC

প্রমাণঃ ∆AOD থেকে পাই , OA+OD > AD —(i)

∆AOB থেকে পাই , OA +OB > AB —-(ii)

∆BOC থেকে পাই , OB +OC > BC —-(iii)

∆COD থেকে পাই , OC +OD > CD —(iv)

(i) ও (iii)যোগ করে পাই ,

OA + OD + OB +OC > AD + BC

বা, (OA +OC) + (OB +OD) > AD +BC

বা, AC + BD > AD +BC [প্রমাণিত ]

(ii) ও (iv) যোগ করে পাই ,

OA +OB +OC +OD > AB + CD

বা, (OA +OC) +(OD +OB) > AB +CD

বা, AC +BD > AB + CD  [প্রমাণিত ]

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

7. প্রমাণ  করি যে , যেকোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি চতুর্ভুজের  অর্ধপরিসীমার চেয়ে  বড় ।

ABCD একটি চতুর্ভুজ । AC ও BD হল চতুর্ভুজটির  দুটি কর্ণ । কর্ণদুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে  । প্রমাণ করতে হবে যে , AC +BD > ½ (AB +BC +CD +AD)

প্রমাণঃ ∆AOD থেকে পাই , OA +OD > AD —(i)

∆AOB থেকে পাই , OA +OB > AB —(ii)

∆BOC থেকে পাই , OB +OC > BC —(iii)

∆COD থেকে পাই , OC +OD > CD —(iv)

(i) ,(ii) ,(iii) এবং (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

OA +OD+OA +OB+OB +OC+OC +OD > AD+AB+BC+CD

বা, 2(OA+OB+OC+OD ) > AB +BC +CD +AD

বা, OA+ OB+OC+OD > ½ (AB+BC+CD+DA )

বা, (OA+OC) +(OB+OD) > ½ (AB+BC+CD+DA)

বা, AC +BD > ½ (AB+BC +CD +DA) [প্রমাণিত ]

8. প্রমাণ করি যে , যেকোনো চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোনো   বিন্দু থেকে (  কোনো কর্ণের ওপর নয় ) থেকে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক  সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি  চতুর্ভুজটির  কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির চেয়ে  বড় । এবার দেখি যে চতুর্ভুজের  ভিতরে বিন্দুটির  কোন  অবস্থানের  জন্য চতুর্ভুজটির শীর্ষ বিন্দুগুলির  সংযোজক  সরল রেখাংশের  দৈর্ঘ্যের সমষ্টি   ক্ষুদ্রতর  হবে ।

  ABCD একটি চতুর্ভুজ যার ভিতর P যেকোনো  একটি বিন্দু  । AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে  ছেদ করেছে ।  প্রমাণ করতে হবে যে , AP +BP +CP +DP > AC +BD

প্রমাণঃ ∆APC থেকে পাই , AP +CP > AC  —(i)

∆BPD থেকে পাই , BP +DP > BD —-(ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই ,

AP +CP +BP +DP  > AC +BD  [ প্রমাণিত ]

বা, AP +CP +BP +DP > AO +CO +BO + DO

বা, AP +CP +BP +DP > AO  +BO +CO +DO

∴ P বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি > O বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি

অর্থাৎ , P বিন্দুর অবস্থান  যদি O  হয়  তাহলে  শীর্ষবিন্দুগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হবে ।

Ganit Prabha Class 8 Koshe Dekhi 20.1|জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১|গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি জ্যামিতিক প্রমাণ কষে দেখি ২০.১ সমাধান|গণিতপ্রভা ক্লাস ৮ সমাধান|WBBSE Class Eight Math Chapter 20 Solution In Bengali

WBBSE OFFICIAL SITE

গনিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন ।

ধন্যবাদ । এই POST টি ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল। এইরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!