Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩ দশম শ্রেণী (ক্লাস ১০) |গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি 5.3 সমাধান|WBBSE Madhyamik Class 10(Ten)(X) Chapter 5 (Ratio Proportion) Exercise 5.3 Solution

গণিতপ্রভা সপ্তম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
সৌরেন্দ্রনাথ দে দ্বাদশ শ্রেণি সকল অধ্যায়ের সমাধান WBBSE Official Site
WB HS CLASS 12 ONLINE MOCK TEST WBJEE ANM GNM Online Mock Test Series
JENPAS (UG) Online Mock Test Series WBJEE Online Mock Test Series
JENPAS Previous Year Question With Answer Key PDF DownloadMadhyamik Online Mock Test Series

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

1. a:b = c:d হলে দেখাই যে ,

(i) (a2+b2) : (a2-b2) = (ac+bd) : (ac-bd)

সমাধানঃ

 ধরি , a:b = c:d = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a= bk  এবং c=dk

বামপক্ষ:

ডানপক্ষ:

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ  [ প্রমাণিত ]

1(ii) a:b = c:d হলে দেখাই যে ,

(a2+ab+b2) : (a2-ab+b2) = (c2+cd+d2) (c2-cd+d2)

সমাধান ঃ

ধরি , a:b = c:d = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a= bk  এবং c=dk

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

1(iii) a:b = c:d হলে দেখাই যে ,

সমাধানঃ

 ধরি , a:b = c:d = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a= bk  এবং c=dk

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

∴ বামপক্ষ =ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

2(i) x:a = y:b = z:c হলে প্রমান করি যে ,

সমাধানঃ 

ধরি , x:a = y:b = z:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x= ak , y=bk, z = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

2(ii) x:a = y:b = z:c হলে প্রমান করি যে ,

সমাধানঃ

ধরি , x:a = y:b = z:c = k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x= ak , y=bk, z = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

∴বামপক্ষ =ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

2(iii) x:a = y:b = z:c হলে প্রমান করি যে ,

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2

সমাধানঃ

ধরি , x:a = y:b = z:c = k  [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x= ak , y=bk, z = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

(ax+by+cz)2

= {a(ak)+b(bk)+c(ck)}2

= (a2k+b2k+c2k)2

= k2(a2+b2+c2)2 

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমানিত ]

3(i) . a:b = c:d = e:f  হলে প্রমান করি যে,

প্রত্যেকটি অনুপাত = (5a-7c-13e) / (5b-7d-13f)

সমাধানঃ

ধরি , a:b = c:d = e:f  = k

∴ a=bk , c=dk, e = fk [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ (5a-7c-13e) / (5b-7d-13f)

= {5(bk)-7(dk)-13(fk)} / (5b-7d-13f)

= k (5b-7d-13f)/ (5b-7d-13f)

= k

∴ প্রত্যেকটি অনুপাত = (5a-7c-13e) / (5b-7d-13f) [ প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

3(ii) a:b = c:d = e:f  হলে প্রমান করি যে,

(a2+c2+e2)(b2+d2+f2) = (ab+cd+ef)2

সমাধানঃ

ধরি , a:b = c:d = e:f  = k

∴ a=bk , c=dk, e = fk [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

বামপক্ষঃ

(a2+c2+e2)(b2+d2+f2)

= {(bk)2+(dk)2+(fk)2} (b2+d2+f2)

= (b2k2+d2k2+f2k2)(b2+d2+f2)

= k2(b2+d2+f2)(b2+d2+f2)

= k2 (b2+d2+f2)2  

ডানপক্ষঃ

(ab+cd+ef)2

= {(bk)b+(dk)d+(fk)f }2

= (b2k+d2k+f2k)2

= k2 (b2+d2+f 2)2

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

4(i) যদি a:b = b:c হয় , তবে প্রমান করি যে ,

সমাধানঃ

ধরি a:b = b:c = k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a = bk এবং b = ck

আবার , a = (ck).k = ck2 ,  b = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

4(ii) যদি a:b = b:c হয় , তবে প্রমান করি যে ,

সমাধানঃ ধরি a:b = b:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a = bk এবং b = ck

∴ a = (ck).k = ck2 এবং  b = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষঃ

a3+b3+c3

= (ck2)3+(ck)3+c3

= c3k6+c3k3+c3

= c3(k6+k3+1)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

4(iii) যদি a:b = b:c হয় , তবে প্রমান করি যে ,

সমাধানঃ ধরি, a:b = b:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a = bk এবং b = ck

আবার , a = (ck).k = ck2 ,  b = ck

বামপক্ষঃ

ডানপক্ষ =1

∴ বামপক্ষ =ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

5(i) a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান করি যে,

(a2+b2+c2)(b2+c2+d2) = (ab+bc+cd)2

সমাধানঃ

a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে,

a/b =b/c = c/d

ধরি , a/b =b/c = c/d = k [k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a= bk , b=ck , c= dk

a = bk =(ck)k=ck2=(dk)k2 =dk3

b=ck=(dk)k =dk2

c =dk

বামপক্ষঃ

= (a2+b2+c2)(b2+c2+d2)

a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই ,

= {(dk3)2+(dk2)2+(dk)2}{(dk2)2+(dk)2+d2}

= (d2k6+d2k4+d2k2)(d2k4+d2k2+d2)

= d2k2(k4+k2+1) d2(k4+k2+1)

= d4k2(k4+k2+1)2

ডানপক্ষঃ

= (ab+bc+cd)2

a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই ,

= {(dk3)(dk2)+(dk2)(dk)+(dk)d}2

= (d2k5+d2k3+d2k)2

= d4k2(k4+k2+1)2

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

5(ii) a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান করি যে,

 (b-c)2+(c-a)2+(b-d)2 = (a-d)2

সমাধানঃ

a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে,

a/b =b/c = c/d

ধরি , a/b =b/c = c/d = k [k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a= bk , b=ck , c= dk

  a = bk =(ck)k=ck2=(dk)k2 =dk3

b=ck=(dk)k =dk2

c =dk

বামপক্ষঃ

(b-c)2+(c-a)2+(b-d)2

a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই ,

= (dk2-dk)2 + (dk-dk3)2+(dk2-d)2

= d2k2(k-1)2+d2k2(1-k2)2+d2(k2-1)2

= d2{k2(k2-2k+1)+k2(1-2k2+k4)+(k4-2k2+1)}

= d2(k4-2k3+k2+k2-2k4+k6+k4-2k2+1)

= d2 (k6-2k3+1)

= d2{(k3)2-2k3+1}

= d2(k3-1)2

ডানপক্ষঃ

(a-d)2

= {(dk3)-d}2

= d2(k3-1)2

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

6(i) যদি m/a = n/b হয়  , তবে দেখাই যে , (m2+n2)(a2+b2)=(am+bn)2

সমাধানঃ

m/a = n/b

ধরি , m/a = n/b = k  [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

বা, m = ak এবং n = bk

বামপক্ষঃ

(m2+n2)(a2+b2)

m ও n এর মান বসিয়ে পাই,

= {(ak)2+(bk)2} (a2+b2)

= (a2k2+b2k2)(a2+b2)

= k2(a2+b2)(a2+b2)

= k2(a2+b2)

ডানপক্ষঃ

(am+bn)2

m ও n এর মান বসিয়ে পাই,

= {a(ak)+b(bk)}2

= (a2k+b2k)2

= k2(a2+b2)2

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

Madhyamik Math Solution Of Ratio And Proportion

6(ii) যদি a/b = x/y হয় , তবে দেখি যে , (a+b)(a2+b2)x3= (x+y)(x2+y2)a3

সমাধানঃ

a/b = x/y

বা, a/x = b/y

ধরি , a/x = b/y = k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a= xk , b =y k

বামপক্ষঃ

(a+b)(a2+b2)x3

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

= (xk+yk){(xk)2+(yk)2}x3

= k(x+y) (x2k2+y2k2) x3

= k(x+y) k2(x2+y2)x3

= k3x3(x+y)(x2+y2)

ডানপক্ষঃ

(x+y)(x2+y2)a3

a এর মান বসিয়ে পাই,

= (x+y)(x2+y2) (kx)3

= k3x3(x+y)(x2+y2)

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]

6(iii) x /(lm-n2) = y/(mn-l2) = z / (nl-m2) হয় , তবে দেখাই যে , lx+my+nz = 0

সমাধানঃ

ধরি ,x /(lm-n2) = y/(mn-l2) = z / (nl-m2) = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x = k(lm-n2), y = k(mn-l2) এবং z= k(nl-m2)

এখন , lx-my+nz

x ,y এবং z এর মান বসিয়ে পাই,

= lk(lm-n2)+mk(mn-l2)+nk(nl-m2)

= kl2m-kln2+km2n-kml2+kn2l-knm2

= 0 [ প্রমানিত ]

6(iv) x / (b+c-a) = y/(c+a-b) = z / (a+b-c) হলে , দেখাই যে , (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0

সমাধানঃ

x / (b+c-a) = y/(c+a-b) = z / (a+b-c) = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x = k(b+c-a)

y = k(c+a-b)

z = k(a+b-c)

∴ (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z

x ,y এবং z এর মান বসিয়ে পাই,

= k(b-c)(b+c-a) + k(c-a)(c+a-b)+k(a-b)(a+b-c)

= k(b2+bc-ba-cb-c2+ca)+k(c2+ca-cb-ac-a2+ab)+k(a2+ab-ac-ba-b2+bc)

= k(b2+bc-ba-cb-c2+ca+ c2+ca-cb-ac-a2+ab+ a2+ab-ac-ba-b2+bc)

= k ✕ (b2-b2+c2-c2+a2-a2+2bc-2bc+2ca-2ca+2ab-2ab)

= 0 [ প্রমাণিত ]

6(v) x/y = (a+2) / (a-2) হলে দেখাই যে , x2-y2 / x2+y2 = 4a / a2+4

 সমাধানঃ

∴(x2-y2)/( x2+y2 )= 4a / (a2+4) [ প্রমাণিত ]

6(vi) x = 8ab /(a+b) হলে ,

র মাণ হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

7(i) a/3 = b/4 = c/ 7 হলে দেখাই যে , (a+b+c) /c = 2

সমাধানঃ

ধরি , a/3 = b/4 = c/ 7 = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a = 3k , b = 4k এবং c = 7k

∴(a+b+c) /c

a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই,

= (3k+4k+7k)/7k

= 14k /7k

= 2 [ প্রমাণিত ] 

7(ii) a/(q-r) = b/(r-p) = c / (p-q) হলে, দেখাইযে , a+b+c =0 = pa+qb+rc

সমাধানঃ

a/(q-r) = b/(r-p) = c / (p-q) = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a = k(q-r)

b = k(r-p)

c = k(p-q)

∴ a+b+c

= k(q-r)+k(r-p)+k(p-q)

= k(q-r+r-p+p-q)

= k ✕ 0

= 0

আবার , pa+qb+rc

= pk(q-r)+qk(r-p)+rk(p-q)

= k(pq-pr+qr-pq+rp-pq)

= k ✕ 0

= 0

a+b+c =0 = pa+qb+rc [ প্রমাণিত ]

7(iii) (ax+by) /a = (bx-ay) / b হলে, দেখাই যে ,প্রতিটি অনুপাত x এর সমান ।

সমাধানঃ

বা, abx +b2y = abx –a2y [ বজ্রগুনন করে পাই ]

বা, b2y+a2y =0

বা, y(b2+a2) = 0

 এখন , (b2+a2) ≠ 0

∴ y = 0

সুতরাং প্রতিটি অনুপাতের মাণ x এর সাথে সমান (প্রমাণিত )।

8(i) যদি (a+b) / (b+c) = (c+d) / (d+a) হয় , তবে প্রমান করি যে , c = a অথবা a+b+c+d = 0

সমাধানঃ

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয়, (a-c) =0

বা, a = c

অথবা,

(a+b+c+d) = 0

∴ a=c অথবা (a+b+c+d ) = 0 [ প্রমাণিত ]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

গণিত প্রকাশ বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

8(ii) যদি x / (b+c)  = y / (c+a) = z / (a+b) হয় ,

তবে দেখাই যে , a / (y+z-x) = b / (z+x-y) = c / (x+y-z)

সমাধানঃ

ধরি , x / (b+c)  = y / (c+a) = z / (a+b) = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ x = k(b+c) , y = k(c+a) এবং z = k (a+b)

প্রথমপক্ষঃ

দ্বিতীয়পক্ষঃ

তৃতীয়পক্ষঃ

8(iii)

হলে্‌, দেখাই যে ,

সমাধানঃ

∴ x+y = k(3a-b)—(i)

(y+z) = k(3b-c)—(ii)

(z+x) = k(3c-a)—(iii)

(i),(ii) ও(iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

∴ x+y+y+z+z+x = k(3a-b)+k(3b-c)+k(3c-a)

বা, 2(x+y+z)= k(3a-b+3b-c+3c-a)

বা, 2(x+y+z)= k(2a+2b+2c)

বা, 2(x+y+z)= 2k(a+b+c)

বা, (x+y+z) = k(a+b+c)

এখন , x = (x+y+z)-(y+z)

(x+y+z) এবং (y+z) -এর মান বসিয়ে পাই,

   =k(a+b+c)-k(3b-c)

   = k(a+b+c-3b+c)

   = k(a-2b+2c)

y = (x+y+z)-(x+z)

(x+y+z)এবং (x+z)-এর মান বসিয়ে পাই,

   = k(a+b+c)-k(3c-a)

   = k(a+b+c-3c+a)

   = k(b-2c+2a)

z = (x+y+z)-(x+y)

(x+y+z) এবং (x+y)-এর মান বসিয়ে পাই,

   = k(a+b+c)-k(3a-b)

   = k(a+b+c-3a+b)

   = k(c-2a+2b)

9(i) যদি ,

 হয় , তবে দেখাই যে ,

সমাধানঃ

মাধ্যমিক পরীক্ষার বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন

9(ii) (a+b+c+d) : (a+b-c-d) = (a-b+c-d) : (a-b-c+d) হলে , প্রমান করি যে , a:b = c:d

সমাধানঃ

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

10(i)

হলে , দেখাই যে ,

সমাধানঃ

10(ii) x2 : (by+cz) = y2 : (cz+ax) : z2 : (ax+by) =1 হলে , দেখাই যে ,

সমাধানঃ

x2 : (by+cz)=y2 : (cz+ax) = z2 : (ax+by) = 1

∴ x2 = (by+cz)

বা, x2+ax=by+cz+ax [উভয়পক্ষে ax যোগ করে পাই] ——(i)

আবার, y2+by=cz+ax+by [উভয়পক্ষে by যোগ করে পাই] ——(ii)

এবং z2 = ax+by

বা, z2+cz=ax+by+cz [উভয়পক্ষে cz যোগ করে পাই] ——(iii)

প্রথম রাশির লব ও হরকে x দ্বারা, দ্বিতীয় রাশির লব ও হরকে y দ্বারা এবং তৃতীয় রাশির লব ও হরকে z দ্বারা গুণ করে পাই,

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

11(i)

হলে , দেখাই যে , প্রতিটি অনুপাত 1 / (a+b+c) এর সাথে সমান

সমাধানঃ

∴ প্রতিটি অনুপাতের মান 1/(a+b+c) এর সাথে সমান ।

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

11(ii) (x2-yz) / a = (y2-zx) / b = (z2-xy) /c হলে , প্রমান করো যে ,

(a+b+c)(x+y+z) = (ax+by+cz)

সমাধানঃ

∴ x2-xy=ak —(i)

বা, x3-xyz=akx —-(ii) [উভয়কে x দ্বারা গুণ করে পাই]

y2-zx=bk —-(iii)

বা, y3-xyz=bky — (iv) [উভয়কে y দ্বারা গুণ করে পাই]

z2-xy=ck —-(v)

বা, z3-xyz=ckz — (vi) [উভয়কে z দ্বারা গুণ করে পাই]

(i) ,(iii) ও (v) নং সমীকরণ  যোগ করে পাই ,

x2 –xy +y2-zx+z2-xy= ak+bk+ck

বা, x2+y2+z2 –xy-yz-zx = k(a+b+c) —-(vii)

(ii),(iv)এবং (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

x3+y3+z3-3xyz= k(ax-by-cz)

বা, (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=k(ax+by+cz)

বা, (x+y+z)k(a+b+c)=k(ax+by+cz) [∵ x2+y2+z2 –xy-yz-zx = k(a+b+c)  ]

বা, (x+y+z)(a+b+c)=(ax+by+cz)[যেহেতু k≠0 ,উভয়পক্ষে k দ্বারা ভাগ করে পাই ]

∴ (x+y+z)(a+b+c)=(ax+by+cz) [প্রমাণিত]

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩

11(iii) a/ (y+z) = b /(z+x) = c / (x+y) হলে , প্রমান করি যে,

a(b-c) /(y2-z2) = b(c-a) / (z2-x2) = c(a-b) / (x2 –y2)

সমাধানঃ

∴ a = k(y+z) এবং b = k(z+x) এবং c = k(x+y)

12. অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (V.S.A)

A. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) 3 , 4  এবং 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী

(a) 8

(b) 10

(c ) 12

(d) 24

Ans: (a) 8

সমাধানঃ ধরি 3,4 এবং 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী হল x

বা, 3x = 24

বা, x = 24/3

বা, x = 8

নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী হল 8 ।

(ii) 8 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী

(a) 12

(b) 16

(c ) 18

(d) 20

Ans: (c ) 18

সমাধানঃ ধরি, 8 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী হল x

বা, 8x = 12✕12

বা, x = 144/8

বা, x = 18

∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী হল 18

(iii) 16 এবং 25 এর মধ্যসমানুপাতী

(a) 400

(b) 100

(c ) 20

(d) 40

Ans: 20

সমাধানঃ ধরি , 16 এবং 25 এর মধ্যসমানুপাতী x

বা, x2 = 16✕25

বা , x = √16✕25

বা, x = 4✕5

বা , x = 20

∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী হল 20

(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং a : 27/64 = ¾ : a হলে, a এর মাণ কত ?

(a) 81/256

(b) 9

(c ) 9/16

(d) 16 / 9

Ans: (c ) 9/16

সমাধানঃ

(v) 2a=3b=4c হলে, a:b:c হবে ,

(a) 3:4:6

(b) 4:3:6

(c) 3:6:4

(d) 6:4:3

Ans: (d) 6:4:3

সমাধানঃ  ধরি ,  2a=3b=4c=k [ k (≠ 0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a = k/2

 b = k/3

c = k/4

∴ a:b:c

= k/2 : k/3 : k/4

B. নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) ab:c2 , bc:a2 এবং ca:b2 এর যৌগিক অনুপাত 1:1

Ans: সত্য

সমাধানঃ ab:c2 , bc:a2 এবং ca:b2 এর যৌগিক অনুপাত

= (ab)(bc)(ca) : a2b2c2

= a2b2c2 : a2b2c2

= 1 : 1

(ii) x3y , x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী

Ans: সত্য

সমাধানঃ

বা , x3y: x2y2 :: x2y2 : xy3

∴ x3y , x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী

(C ) শূন্যস্থান পূরণ করি ঃ

(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে , তাদের মধ্যসমানুপাতী ____________

Ans: 4

সমাধানঃ ধরি , a ,b,c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা ।

∴ a/b = b/c

বা, b2 = ac

বা, b3 = abc

বা, b3 = 64 [ যেহেতু তিনটি সংখ্যার গুনফল 64]

বা, b3 = 43

বা, b = 4

সুতরাং মধ্য সমানুপাতী হল 4 ।

(ii) a:2 = b:5 = c:8 হলে a এর 50% = b এর 20% = c এর ___________

Ans: 12.5%

সমাধানঃ

(iii) (x+2) এবং (x-3 ) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে , x এর মাণ ___________

Ans: -6

সমাধানঃ  (x+2) এবং (x-3 ) এর মধ্য সমানুপাতী x

∴ (x+2):x :: x : (x-3)

বা, (x+2) / x = x / (x-3)

বা, x2 = (x+2)(x-3)

বা, x2 = x2+2x-3x-6

বা, x= -6

13. সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর (S.A):

(i) a/2 = b/3 = c/4 = (2a-3b+4c) / p হলে , p এর মাণ নির্ণয় করো

সমাধানঃ ধরি , a/2 = b/3 = c/4 = k [ k(≠ 0)একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a =2k , b = 3k এবং c = 4k

∴ p = 11

(ii) (3x-5y) : (3x+5y) = ½ হলে , (3x2-5y2) / (3x2+5y2) এর মাণ কত ?

সমাধানঃ

∴(3x2-5y2) / (3x2+5y2) = 7/8

(iii) a:b = 3:4 এবং x:y = 5:7 হলে, (3ax-by) : (4by -7ax ) কত নির্ণয় করি

সমাধানঃ

a:b = 3:4

ধরি , a = 3k , b= 4k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

আবার , x:y = 5:7

ধরি , x = 5m , y = 7m [m(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক]

এখন , (3ax-by) : (4by -7ax )

= {3(3k)(5m)–(4k)(7m)} : {4(4k)(7m)-7(3k)(5m)} [∵ x = 5m , y = 7m]

= (45km-28km) : (112km : 105km)

= 17km : 7km

= 17:7

∴(3ax-by) : (4by -7ax ) = 17:7

(iv) x ,12 , y ,27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে , x ও y এর ধনাত্মক মাণ নির্ণয় করি

সমাধানঃ x ,12 , y ,27 ক্রমিক সমানুপাতী

∴ x/12 =12/y = y/27

বা, y2 = 12✕27

বা, y= √324

বা, y = 18

∴ x= 8 এবং y =18

(v) a:b = 3:2 এবং b:c = 3:2 হলে , (a+b) : (b+c) কত নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

a:b = 3:2 =9:6

 b:c = 3:2=6:4

∴ a:b:c = 9:6:4

ধরি , a = 9k , b=6k এবং c = 4k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ a+b : b+c

= (9k+6k) : (6k+4k)

= 15k : 10k

= 3 : 2

∴ a+b : b+c =3:2

Koshe Dekhi 5.3 Class 10|অনুপাত সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩
গণিতপ্রভা সপ্তম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন
সৌরেন্দ্রনাথ দে দ্বাদশ শ্রেণি সকল অধ্যায়ের সমাধান WBBSE Official Site
WB HS CLASS 12 ONLINE MOCK TEST WBJEE ANM GNM Online Mock Test Series
JENPAS (UG) Online Mock Test Series WBJEE Online Mock Test Series
JENPAS Previous Year Question With Answer Key PDF DownloadMadhyamik Online Mock Test Series

ধন্যবাদ । POST টি ভাল লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এরকম আরও সুন্দর সুন্দর POST পেতে আমদের FACEBOOK PAGE টি অবশ্যই LIKE করুন এবং টেলিগ্রাম চ্যানেল জয়েন করুন ।

Leave a Reply

Your email address will not be published.

error: Content is protected !!