WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21|লগারিদম কষে দেখি 21

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21|লগারিদম কষে দেখি 21|গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি(ক্লাস ৯)কষে দেখি ২১ সমাধান|Ganit Prakash Class 9(IX) Logarithm Exercise 21 Solution.

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

WBBSE OFFICIAL SITE

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21|লগারিদম কষে দেখি 21 গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি (ক্লাস ৯) কষে দেখি ২১ সমাধান ।Gonit Prokash Class 9(IX) Logarithm Exercise 21 Solution.

লগারিদম -এর প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী|Logarithm Formula

(i) logaMN = logaM +logaN

(ii) loga(M/N) =logaM – logaN

(iii) logaMN = N logaM

(iv) logaM =logbM ✕ logab

(v) loga1 = 0

(vi) logaa = 1

(vi) aLogaM =M

(vii) logab ✕ logba =logaa =1

(viii) logba = 1/ logab

(ix) logbM = logaM / logab

(x) loga (1/a) = -1

(xi) যদি logaM = logaN হয় , তবে M =N

Koshe Dekhi-21 |কষে দেখি ২১

1. মান নির্ণয় করিঃ

(ii) log0.01 0.000001

সমাধানঃ ধরি , log0.01 0.000001 = x

বা, (0.01)x = 0.000001

বা, (0.01)x = (0.01)3

বা, x = 3

∴  log 0.01 0.000001 = 3

(iii) log6216

সমাধানঃ ধরি , log√6216 = x

বা, ( √6)x = 216

বা, (√6)x = (6)3

বা, (√6)x  = {(√6)2} 3

বা, (√6)x  = (√6 )6

বা, x = 6

∴ log√6 216 = 6

(iv) log 2√3 1728

সমাধানঃ

ধরি , log 2√3 1728

বা, (2√3)x = 1728

বা, (2√3)x = 26✕33

বা, (2√3)x = 26 ✕ {(√3)2}3

বা, (2√3)x = 26 ✕ (√3)6

বা, (2√3)x = (2√3)6

বা, x = 6

∴ log 2√3 1728 = 6  

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

2.

(a) 625 –এর লগারিদম 4 হলে , নিধান কী হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , নিধান x ।

∴ logx 625 = 4

বা, (x)4 = 625

বা, (x)4 = (5)4

বা, x = 5

∴ নিধান 5 ।

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(b) 5832 –এর লগারিদম 6 হলে , নিধান কী  হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , নিধান = x

∴ log x 5832 = 6

বা, x6 = 5832

বা, x6 = 23 ✕ 36

বা, x6 = (√2)6 ✕ 36

বা, x6 = (3√2)6

বা, x = 3√2

∴ নিধান = 3√2

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

3(a) 1 +log10a =2log10b হলে , a কে b দ্বারা প্রকাশ করি ।

সমাধানঃ

1 +log10a =2log10b

বা, log1010 + log10a =log10b2 [যেহেতু , logaa =1 এবং NlogaM = logaMN ]

বা, log10(10a) = log10b2 [যেহেতু,logaM+logaN = logaMN]

বা, 10a = b2 [যেহেতু , logaM =logaN ⇒ M=N]

বা, a = 1/10 b2 [উত্তর ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(b) 3+log10x = 2log10y হলে, x কে y দ্বারা প্রকাশ করো ।

সমাধানঃ 

3+log10x = 2log10y

বা, 3log1010 + log10x = 2log10y [যেহেতু , log1010 =1 ]

বা, log10103 + log10x = log10y2 [যেহেতু , NlogaM = logaMN ]

বা, log10 1000 + log10x = log10y2

বা, log10 1000x = log10y2

বা, 1000x = y2

বা, x = y2/1000 [উত্তর ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

4. মান নির্ণয় করিঃ

(a) log2 [log2{log3(log3273)}]

সমাধানঃ

log2 [log2{log3(log3273)}]

= log2 [log2{log3(3log327)}] [যেহেতু,NlogaM = logaMN ]

= log2 [log2{log3(3log333)}]

= log2 [log2{log3(9log33)}] [যেহেতু,NlogaM = logaMN ]

= log2 [log2{log39}] [যেহেতু,logaa =1]

= log2 [log2{log332}]

= log2 [log2{2log33}] [যেহেতু,NlogaM = logaMN ]

= log2 [log22 ] [যেহেতু,logaa =1]

= log2 1 [যেহেতু,logaa =1]

= 0 [loga1 = 0] [উত্তর ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(c ) log34 ☓ log45 log56 log67 log73

সমাধানঃ

উত্তরঃ 1

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

= log10 384 – log10 5 + log10 81 – log10 32 +3(log10 5 –log10 3) +log10 1 – log109

= log10 (27☓3) – log10 5 + log10 (34) –log10 (25) +3log10 5 –3log10 3 + log10 1 – log10(32)

= 7log102 +log103 –log105+4log103 -5log102 +3log105 -3log103 +log101 -2log103 [যেহেতু , NlogaM = logaMN এবং loga(MN)=logaM+logaN]  ]

= 2log102 +5 log103 -5 log103 +2 log105+log101

= 2(log102 + log105) [যেহেতু , loga1 = 0]

=2 log10 (2☓5) [যেহেতু,loga(MN)=logaM+logaN] 

= 2 log10

= 2 [যেহেতু, logaa=1]  [উত্তর]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

5. প্রমাণ করিঃ

(i) log (75/16) – log (5/9) + log (32 /243) = log2

সমাধানঃ

= log 75 – log16 –2(log 5-log 9) +log 32 – log243 [যেহেতু ,loga(M/N) = logaM -logaN]

= log 75 – log16 –2log 5+2log 9 +log 32 – log243

= log(52✕3) – log(24) -2log5 +2log(32) +log(25) -log(35)

= 2log 5+log3 –4log2-2log5 +4log3 +5log2 -5log3 [যেহেতু , NlogaM = logaMN এবং loga(MN)=logaM+logaN]

= log2 [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(ii) log1015(1+log1530) +1/2 log1016(1+log47) –log106(log63+1+log67) = 2

সমাধানঃ

log1015(1+log1530) +1/2 log1016(1+log47) –log106(log63+1+log67)

= log1015  + log1015 ☓ log1530 +1/2log1016 +1/2 log1016 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 -log106 ☓ log67

= log1015  + log1015 ☓ log1530 +log10 (16) 1/2+ log10(16)1/2 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 ☓ log106 ☓ log67

= log1015  + log1015 ☓ log1530 +log10 {(4)2} 1/2+ log10 {(4)2}1/2 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 – log106 ☓ log67

= log1015  + log1015 ☓ log1530 +log10 4+ log10 4 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 – log106 ☓log67

= log1015  + log1015 ☓ log15(3☓10) +log10 4+ log10 4 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 – log106 ☓ log67

= log1015  + log1015 ☓ (log153+ log1510) +log10 4+ log10 4 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 – log106 ☓ log67

= log1015  + log1015 ☓ log153+ log1015 ☓ log1510 +log10 4+ log10 4 ☓ log47 – log106 ☓ log63 – log106 – log106 ☓ log67

= log1015  + log10 3 + 1 +log10 4+ log10 7- log103- log106 – log107 [logaM✕ logMN = logaN]

=  log1015  + log10 3 + log1010 +log10 4+ log10 7- log103-log106 – log107

= log 10 (15☓3☓10☓4☓7) –log10 (3☓6☓7) [logaM+logaN=loga(MN) ]

= log10 12600 –log10 126

= log10 (12600/126)

= log10 100

= log10 102

= 2 log10 10 [NlogaM = logaMN ]

= 2 [প্রমাণিত ] [যেহেতু , log aa =1 ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(iii) log2log2log4256+2log√2 2 =5

সমাধানঃ

log2log2log4256+2log√2 2

= log2log2log4256+2log√2 (√2)2

= log2log2log4256+4 log√2 √2 [যেহেতু , NlogaM = logaMN ]

= log2log2log4256+4 [ যেহেতু , logaa =1]

= log2log2log4 (4)4+4

= log2log2 4 log4 4+4 [যেহেতু , NlogaM = logaMN ]

= log2log2 4 +4 [ যেহেতু , logaa =1]

= log2log2 22 +4

= log22log2 2 +4 [যেহেতু , NlogaM = logaMN ]

= log22 +4 [ যেহেতু , logaa =1]

= 1+4 [ যেহেতু , logaa =1]

= 5 [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(iv) log x2 x ☓ logy2 y logz2 z

সমাধানঃ

log x2 x ☓ logy2 y ☓ logz2 z

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(v) logb3 a ☓ logc3 b ☓ loga3 c = 1/27

সমাধানঃ

logb3a ☓ logc3b ☓loga3c

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(vi) 1/logxy(xyz) + 1/logyz(xyz) +1/logzx(xyz) =2

সমাধানঃ

= logxyz xy +log xyz yz +log xyz zx

= log xyz (xy ✕ yz ✕ zx) [যেহেতু ,loga (MN) =logaM+logaN]

= log xyz (x2y2z2)

= log xyz (xyz)2

= 2 log xyz xyz [যেহেতু , NlogaM = logaMN ]

= 2 [প্রমাণিত ][ যেহেতু , logaa =1]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(vii) log (a2/bc) +log(b2/ca) +log(c2/ab) = 0

সমাধানঃ

= loga2 –logbc +logb2 –log ca +logc2– logab [loga (M/N) =loga M-logaN]

= loga2+logb2+logc2 – logbc –logca-logab

= log (a2b2c2) – log(bc´ca´ab)

= log (abc)2 –log (abc)2

= 0 [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(viii) xlogy-logz ☓ y logz-logx ☓ z logx-logy =1

সমাধানঃ

xlogy-logz ☓ y logz-logx ☓ z logx-logy

ধরি , P =  xlogy-logz ☓ y logz-logx ☓ z logx-logy

উভয়পক্ষে log নিয়ে পাই ,

logP = log (xlogy-logz ☓ y logz-logx ☓ z logx-logy)

বা, logP = log xlogy-logz + log y logz-logx +log z logx-logy 

বা, logP = (logy –logz)logx +(logz- logx)logy + (logx –logy)logz [যেহেতু , NlogaM = logaMN ]

বা, logP = logylogx – logzlogx +logzlogy –logxlogy+logxlogz –logylogz

বা, logP = 0

বা, logP = log1 [যেহেতু ,log1 =0]

বা, P = 1

∴ xlogy-logz ☓ y logz-logx ☓ z logx-logy =1 [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

6. (i) যদি log (x+y) /5 = ½(logx+logy ) হয় , তবে দেখাই যে , x/y +y/x = 23

সমাধানঃ

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

(ii) যদি , a4+b4 = 14a2b2 হয় , তাহলে দেখাই যে , log(a2+b2) =loga +logb+2log2

সমাধানঃ

a4+b4 = 14a2b2

বা, (a2)2 +(b2)2 = 14a2b2

বা, (a2+b2)2 -2a2b2 = 14a2b2

বা, (a2+b2)2 = 16a2b2

বা, (a2+b2)2 =  (4ab)2

বা, (a2+b2) = 4ab

∴ log(a2+b2)

= log (4ab)

= log4+loga+logb

= log 22 +loga +logb

= 2log2 +loga +logb

= loga +logb+2log2 [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

7. যদি , logx / y-z = logy / z-x = logz / x-y হয় , তাহলে দেখাই যে , xyz=1

সমাধানঃ

[যেখানে K(≠0) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ]

∴ logx = k (y-z) ,logy =k(z-x)

এবং log z= k (x-y)

∴ logx+logy+logz = k(y-z)+k(z-x)+k(x-y)

বা, log (xyz) = k(y-z+z-x+x-y) [যেহেতু ,loga (MN)= logaM+logaN]

বা, log(xyz) = 0

বা, log(xyz) = log 1[যেহেতু ,log1 =0]

বা, xyz = 1 [প্রমাণিত ]

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

8. যদি , logx /b-c = logy / c-a = logz / a-b হয় , তাহলে প্রমাণ করি যে ,

(a) x b+c . yc+a. z a+b =1

(b) x b^2+bc+c^2 . yc^2+ca+a^2. Z a^2+ab+b^2 =1

সমাধানঃ

[যেখানে K(≠0) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ]

∴logx = k(b-c)

বা, (b+c) logx = k(b-c)(b+c)

বা, (b+c) logx = k(b2-c2) —(i)

এবং ,  logy = k(c-a)

বা, (c+a) logy = k(c+a)(c-a)

বা, (c+a) logy = k(c2-a2) —(ii)

এবং logz = k(a-b)

বা, (a+b) logz =  k (a-b)(a+b)

বা, (a+b) logz = k(a2-b2) —(iii)

∴  log (x b+c . yc+a. z a+b)

= log x b+c +logy c+a + log z a+b

= (b+c) logx +(c+a) logy +(a+b) logz [যেহেতু ,NlogM=logMN ]

= k(b2-c2) +k(c2-a2) +k(a2-b2) [(i) ,(ii) (iii) থেকে পাই ]

= k( b2-c2+c2-a2 +a2-b2)

= k. 0

= 0

= log 1

∴ log (x b+c . yc+a. z a+b) = log1

বা, (x b+c . yc+a. z a+b) =  1 [প্রমাণিত ]

[যেখানে K(≠0) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ]

∴logx = k(b-c)

বা, (b2+bc+c2)logx = k(b-c) (b2+bc+c2)

বা, (b2+bc+c2)logx = k(b3-c3) —(i)

 logy = k(c-a)

বা, (c2+ca+a2) logy = k(c-a) (c2+ca+a2)

বা, (c2+ca+a2) logy = k(c3-a3) —(ii)

এবং logz = k(a-b)

বা, (a2+ab+b2) logz =  k (a-b) (a2+ab+b2)

বা, (a2+ab+b2) logz = k(a3-b3) —(iii)

= (b2+bc+c2) logx +(c2+ca+a2) logy +(a2+ab+b2) logz

= k (b3-c3) +k(c3-a3) +k(a3-b3) [ (i) ,(ii) (iii) থেকে পাই ]

= k(b3-c3-c3-a3 +a3-b3)

= k.0

= 0

WBBSE Class 9 Math Koshe Dekhi 21. লগারিদম কষে দেখি 21

9. যদি , a 3-x . b5x = a5+x . b3x হয় , তাহলে দেখাই যে , x log (b/a)= loga

সমাধানঃ

a 3-x . b5x = a5+x . b3x

বা, a 3-x -5-x = b3x-5x

বা, a -2-2x = b -2x

বা, a-2 . a-2x = b-2x

বা, a -2 = (b/a)-2x

উভয়পক্ষে log নিয়ে পাই ,

Log a-2 = log (b/a) -2x

বা, -2 loga = -2x log (b/a) [যেহেতু, NlogM= logMN]

বা, loga = xlog(b/a) [প্রমাণিত]

10. সমাধান করিঃ  

(a) log8 [log2{log3 (4x+17)}] = 1/3

সমাধানঃ

log8 [log2{log3 (4x+17)}] = 1/3

বা, (8) 1/3 = log2{log3(4x+17)}

বা, (2)3 1/3 = log2{log3(4x+17)}

বা, 2 = log2{log3(4x+17)}

বা,  log3(4x+17)} =22

বা, log3(4x+17)} = 4

বা, (4x+17)} = (3)4

বা, 4x+17 = 81

বা, 4x= 81-17

বা, 4x = 64

বা, 4x = (4)3

বা, x = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 3 ।

(b) log8x +log4x+log2x = 11

সমাধানঃ

log8x +log4x+log2x = 11

বা, 11☓ logx2 = 11☓6

বা, log2x = 6 [যেহেতু, logaM = 1/ logM a ]

বা, 26 =x

বা, x = 64

∴ নির্ণেয় সমাধান x = 64 ।

11. দেখাই log 102 –এর মান ¼ এবং 1/3 এর মধ্যে অবস্থিত ।

সমাধানঃ

ধরি ,  log 102 = x

∴ (10)x = 2

বা, (10 )12x = 212 = 4096

আবার , 1000 < 4096  < 10000

বা, 103 < 212 < 104

বা, 103 < 1012x < 104

বা, 3 < 12x < 4

বা, 3/12 < x < 4/12

বা ,1/4 < x < 1/3 [প্রমাণিত ]

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

12. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) যদি , log√x 0.25 = 4 হয় , তাহলে x এর মান

(a) 0.5

(b) 0.25

(c ) 4

(d) 16

Ans: (a) 0.5

সমাধানঃ 

log√x 0.25 = 4

বা, (√x )4 = 0.25

বা, (√x )4 = 0.25

বা, x2 = 0.25

বা, x2 = (0.5)2

বা, x = 0.5

(ii) log10 (7x-5) = 2 হলে , x –এর মান

(a) 10

(b) 12

(c ) 15

(d) 18

Ans: (c ) 15

সমাধানঃ

log10 (7x-5) = 2

বা, 10 2 = 7x-5

বা, 7x-5 = 100

বা, 7x = 105

বা, x = 105/7

বা, x = 15

(iii) log23 = a হলে, log827 হবে

(a) 3a

(b) 1/a

(c ) 2a

(d) a

Ans:  (d) a

সমাধানঃ

log23 = a

বা, 2a = 3

∴ log827

= log 8 (3)3

= 3log8(3)

= 3log8(2a)

= 3a log82

= a [যেহেতু , logaa =1]

(iv) log√2 x = a হলে, log2√2 x হবে

(a) a/3

(b) a

(c ) 2a

(d) 3a

Ans: (a) a/3

সমাধানঃ   

log√2 x = a

∴ (√2)a = x

∴ log2√2 x

= log2√2(√2)a

= a log2√2 (√2)

(v) log x 1/3 = -1/3 হলে, x-এর মান হবে

(a) 27

(b) 9

(c ) 3

(d) 1/27

Ans: (a) 27

সমাধানঃ

log x 1/3 = -1/3

বা, x-1 = (27)-1

বা, x =27

13.সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নঃ

(i) log4log4 log4 256-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

log4log4 log4 256

= log4log4 log4 44

= log4log4 4log4 4

= log4log4 4  [যেহেতু,logaa =1]

= log41 [যেহেতু,logaa =1]

= 0 [ যেহেতু,log 1 =0] [উত্তর ]

(ii) log (an/bn) + log (bn/cn) +log(cn/an) –এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

= 0 [উত্তর]

(iii) দেখাই যে , alogax = x

সমাধানঃ ধরি ,logax = u

∴ au = x

∴ alogax

= au

= x

∴ alogax = x [প্রমাণিত ]

(iv) loge2  . logx 25 = log 10 16 . loge 10 হলে x –এর মান কত ?

সমাধানঃ

loge2 . logx 25 = log 10 16 . loge 10

বা, loge2 . logx 25  = log e 16

বা, loge2 . logx 25 = log e (2)4

বা, loge2 . logx 25 = 4log e (2) [যেহেতু , NlogaM = loga MN ]

বা, logx 25 = 4log e (2) / loge2

বা,  logx 25 = 4

বা, x4 = 25

বা, x4 = (√5)4

বা, x = √5

∴ x = √5 [উত্তর]

গণিত প্রকাশ নবম শ্রেণি বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধানের জন্য এখানে CLICK করুন।

ধন্যবাদ। এই POST টি আপনাদের ভালো লাগলে SHARE করার অনুরোধ রইল । এইরকম সুন্দর সুন্দর POST পেতে , আমাদের FACEBOOK PAGE টি LIKE করুন ।

2 Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

  1. Very very useful your contents which are helping students as well as teachers so much. No word to appreciate your efforts.

error: Content is protected !!